VIBRASI KRISTAL x x+dx dx 3.1. Gelombang Elastis Zat padat secara mikroskopik tersusun atas atom-atom yang diskri. Kediskritan ini digunakan dalam pembahasan vibrasi kisi x x+dx dx Bila gelombang yang merambat adalah gelombang longitudinal dan perpindahan secara elastis pada titik x adalah u(x), maka sesuai dengan hukum Newton II pada segmen dx berlaku hubungan dimana  = rapat masa ; A = luas penampang ; S = stress yang didefinisikan sebagai gaya persatuan luas, sesuai dengan hukum Hooke S = Ye Dengan Y = modulus Young (atau modulus elastis “bulk” K), e = strain yang didefinisikan sebagai

Sehingga dapat diperoleh persamaan gelombang satu dimensi. Bentuk penyelesaian persamaan ini adalah berbentuk : U=Cei(kx–t) C = amplitudo ; k = bilangan gelombang ;  = frekuensi sudut gelombang dengan relasi  = vk Gelombang dari vibrasi kisi dalam kristal adalah pengulangan perpindahan atomik (longitudinal, transversal atau kombinasi keduanya). dikarakterisasi oleh : Cepat rambat gelombang v Panjang gelombang  atau vektor gelombang | k |= 2/ Frekuensi  atau frekuensi sudut  = 2   = v k

Modulus elastis Bulk (1010 N/m²) Zat Padat Tipe Struktur Rapat Masa (Kg/m3) Modulus elastis Bulk (1010 N/m²) Hasil cal. (m/s) Hasil eksp. (m/s) Sodium B.C.C. 970 0.52 2320 2250 Copper F.C.C. 8960 13.4 3880 3830 Zine H.C.P 7130 8.3 3400 3700 Aluminium F.C.C 2700 7.35 5200 5110 Lead 11340 4.34 1960 1320 Nickel 8900 19.0 4650 4970 Germanium Diamon 5360 7.9 5400 Silicon 2330 10.1 6600 9150 SiO2 Hexagonal 2650 5.7 5720 NaCl Rocksalt 2170 2.5 4730 LiF 2600 6.7 5100 4950 CaF2 Fluorite 3180 8.9 5300 5870

3.2. Vibrasi Pada Kisi Monoatomik Gelombang elastik dari vibrasi pada kisi disebut sebagai fonon, yang mana merupakan vibrasi kolektif suatu bahan. Model kisi dengan basis monoatomik dalam satu bidang s dengan konstanta kisi a sebagai berikut . Us-1 Us Us+1 Us+2 Us+3 Us+4 K Model kisi monotomik : Bidang atom berpindah pada gelombang longitudinal Koordinat U menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya.

Us-1 Us Us+1 Us+2 Us-2 K Model kisi monotomik : Bidang atom berpindah pada gelombang transversal. Koordinat U menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya.

Bila terdapat gaya yang bekerja pada bidang s sehingga mengakibatkan perpindahan atom-atom pada bidang s ke s+p, dimana gaya tersebut sebanding dengan perbedaan perpindahan kedua bidang, (Us+p – Us). Bila kita hanya memperhatikan interaksi antara bidang terdekat saja, yaitu p = ± 1 saja, gaya total pada s yang datang dari bidang s ± 1 dengan  adalah konstanta gaya. Ini adalah ungkapan dari hukum Hooke dengan perpindahan linier Pada zat padat yang homogen transmisi suatu gelombang bidang dalam arah tertentu, arah x dapat diungkapkan dalam bentuk persamaan perpindahan, U=Aexp.[i(kx–t)] A = amplitudo, k = bilangan gelombang,  = frekwensi sudut, t = waktu

Lebih khusus seamalog dengan pers.(3-9), perpindahan bidang ke s, Us=Aexp.[i(k.s.a – t)] (3-10) s.a = posisi kesetimbangan bidang ke s ; a = jarak antar bidang. Turunan dua kali pers.(3-10) terhadap waktu t, diperoleh Sesuai dengan hukum Newton kedua, gaya pemulih pada bidang s adalah :

Relasi dispersi gelombang dalam kisi monotomik adalah : . Tanda + dan - menunjukkan perambatan gelombang ke kanan atau ke kiri. kemiringan (slope) kurva dari  sebagai fungsi k adalah nol pada batas zona Brillouin

karena pada k = ±/a, sin(k.a) = sin(±) = 0. Plot  terhadap k sbb : 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

Daerah | k | < /a adalah zona Brillouin pertama Daerah k yang kecil merupakan daerah spektrum dari gelombang yang panjang. Bagi k.a <<1, maka sin (k.a/2)  (k.a/2) dan relasi frekwensi sudut terhadap bilangan gelombang adalah

3.3. Kecepatan Fase dan Kecepatan Group Besaran v0=/k adalah kecepatan fasa untuk panjang gelombang yang panjang dalam medium elastis. Besaran m/a adalah kerapatan (masa persatuan panjang)  adalah modulus “bulk” dalam satu dimensi. Dalam tiga dimensi zat padat berbentuk kubus, rapat masa  = m/a3 dan modulus bulk B = /a. Dengan besaran besaran ini harga koefisien kekakuan (stiffness) antar atomik dapat diungkapkan sebagai Kecepatan transmisi suatu paket gelombang disebut dengan kecepatan group, yang didefinisikan sebagai

Ini adalah kecepatan rambat energi di dalam medium Ini adalah kecepatan rambat energi di dalam medium. Sedangkan kecepatan fasanya adalah : Harga  adalah maksimum pada | sin (ka/2) | = 1. Ini dapat diperoleh pada k= ± (2n+1)/a, dengan n = 0,1,2,3, …. Kecepatan fasa gelombang misalnya pada n = 0, atau k = ±/a adalah sedangkan kecepatan groupnya adalah nol untuk k mendekati 0, di mana sin(ka/2)  ka/2 kecepan fasenya adalah

Pada daerah k<</a atau 2a<< (panjang gelombang jauh lebih besar dari pada jarak antar atom) kecepatan fasa dan kecepatan group adalah sama, di mana 2a << dinamakan batas gelombang panjang. Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang masih mempunyai makna fisis adalah pada =2a, dengan a adalah jarak antara atom terdekat di dalam kristal pada kedudukan kesetimbangnya. =2a adalah sesuai dengan harga k=/a. Daerah antara -/ak/a dinamakan daerah Billouin pertama. Derah ini merepresentasikan semua gelombang yang masih bermakna fisis di dalam kristal. Kasus dimana k=/a disebut juga sebagai kondisi refleksi Bragg. Pada kasus ini atom yang bertetangga bergetar dengan fase yang berlawanan, sebagaimana dengan gelombang tegak. Untuk k=0 yang mana sesuai dengan  = ~, menunjukkan bahwa semua atom atom secara bersamaan bergerak ke satu arah tertentu atau bertranslasi sebagai satu kesatuan.

3.4. Kristal Linier Diatomik Anadaikan terdapat dua jenis atom yang bermasa M yang terletak dalam satu bidang dan atom yang bermasa m pada bidang yang lain. Kedua atom tersebut dapat dipandang sebagai satu rantai linier dimana jarak antara dua atom terdekat pada saat keadaan kesetimbangannya adalah a. Diasumsikan bahwa interaksi hanya terjadi diantara atom terdekat saja dan konstanta gaya adalah identik . Persamaan gaya bagi perpindahan U2r dan U2r + 1 adalah

Persamaan ini mempunyai solusi yang berbentuk : U2r = Aei[ka (2r) – t U2r+1=Be i[ka (2r+1) – t] Substitusi persamaan ini ke dalam persamaan gerak di atasdiperoleh persamaan linier simultan. M2 B =  A [eika + e-ika] – 2 B m2 A =  B [eika + e-ika] – 2 A Atau M2 B =  A [2 Cos (ka)] – 2 B m2 A =  B [2 Cos (ka)] – 2 A Persamaan ini memiliki solusi yang tidak trivial hanya jika determinan koefisien A dan B sama dengan nol, yaitu (2  - M2 ) - 2  Cos (ka) = 0 - 2 Cos (ka) (2 - m2)

Dengan demikian dapat diperoleh dua solusi, yaitu Dengan 12 = 0 untuk k = 0 dan 12 = 2/M untuk ka = /2 22 = 2  (1/m + 1/M) untuk k = 0 dan 22 = 2/m untuk ka = /a Spektrum yang dihasilkan dari hubungan  sebagai fungsi k seperti diperlihatkan pada Gambar berikut

12 = 2/M 22 = 2/m Gelombang vector k Frekuensi Sudut ω (-/2a) Gelombang vector k Modus Optik Modus Akustik Cabang bagian bawah adalah bagian negatifnya. Cabang ini disebut dengan cabang akustik. Cabang bagian atas adalah bagian positifnya . Cabang ini disebut dengan cabang optik

Analisis gambar : Perpindahan sekarang dapat diungkapkan dalam bentuk vektor gelombang dengan besar absolut tidak lebih besar dari /2a sedangkan batas daerah Brillouin pada rantai linier monoatomik adalah ± /a Dari cabang akustiknya Frekwensi sudut maksimum ragam vibrasi akustik adalah : Tampak bahwa frekuensi sudut maksimum tidak tergantung pada masa atom yang lain di dalam rantai. Frekuensi sudut berkisar antara 0 sampai 1 2. Perbandingan amplitudo kedua atom sebagai fungsi frekwensi Tampak perbandingan amplitudo tersebut mendekati satu (seluruh atom bergerak dengan cara yang sama, pada gelombang yang panjang, amplitudonya sefasa, vektor gelombang | k | << /2a

3. Pada | k | = /2a Frekuensi sudut Dari cabang optiknya, daerah vibrasi adalah

Panjang-gelombang yang panjang pada modus optic memnuhi kondisi 1. * Pada k  0 ; Kecepatan fasa /k  ~ Kecepatan group d/dk  0 * Pada k  /2a 2. Pada k = 0 perbandingan amplitudo B/A adalah negatif : Artinya, getaran atom bermasa m berlawanan fasa dengan getaran atom bermasa M ; MB + mA=0 menyatakan bahwa titik pusat masa atom tidak berubah

3.5. Kuantisasi Gelombang Elastis Gelombang elastis dalam kristal dibangun oleh apa yang disebut dengan fonon. Energi kuantum fonon adalah seanalog dengan foton gelombang elektromagnetik. Oleh karena itu energi vibrasi kisi (fanon) adalan terkuantisasi, dapat diungkapkan sebagai n = bilangan kuantum utama ;  = frekwensi sudut. Suku ½ adalah energi titik nol dari ragam (modus) vibrasi. Persamaan di atas dapat diperoleh dari model fonon dalam kristal sebagai kuantum osilator harmonik. Telah diperlihatkan dalam bab terdahulu hukum Bragg dapat ditulis dengan cara rang berbeda, k = Ghkl Dengan k = k’- k adalah vektor hamburan, Ghkl adalah vektor dalam kisi balik.

Hubungan tersebut kemudian dapat dituliskan menjadi k = k’+ Ghkl Ini dapat diinterpretasikan sebagai : k adalah momentum linier foton datang, k’ adalah momentum linier foton terhambur. Ghkl diinterpretasikan sebagai momentum linier seluruh kristal Dengan demikian pers.(3-36) dapat diinterpretasikan sebagai kekekalan momentum linier dalam proses tumbukan Energi kinetik yang berkaitan dengan momentum linier kristal tersebut adalah dengan M adalah masa kristal. Masa kristal adalah sangat besar dibandingkan dengan energi foton yang terlibat, sehingga energi kinetik di atas hampir mendekati nol.

Bila suatu kristal riil ditembaki dengan berkas netron monokromatik sehingga terjadi interaksi antara netron dengan inti atom yang dalam keadaan bergetar yang diinterpretasikan sebagai fonon. Hukum kekekalam momentum linier dinyatakan sebagai, k = k’+ Ghkl+ K (3-37) dengan k adalah momentum linier netron datang, k’ adalah momentum linier netron terhambur, Ghkl adalah momentum kristal, K adalah momentum linier fonon. Dalam hal ini K dapat berharga + atau – (: dapat dihasilkan fonon (phonon creation) atau fonon sirna (phonon annihilation)), tergantung keadaan dalam proses). Hubungan di atas adalah hamburan tak-elastis. Kekekalan energi dalam proses tersebut dinyatakan sebagai m= masa netron ; M=masa seluruh kristal; K adalah frekuensi fonon.

Telah disebutkan di atas bahwa energi kinetik kristal adalah mendekati nol, sehingga Dengan demikian dapat disimpulkan Fonon adalah kuantisasi dari getaran kisi kristal. Dalam interaksinya dengan partikel, fonon berprilaku sebagai partikel dengan momentum tertentu. Hubungan antara frekunsi fonon dengan momentumnya tidak perlu linier, tergantung pada bentuk persamaan dispersi  = (K)