Bab 5 : PENDAHULUAN ANALISA DIFFERENTIAL PADA GERAKAN FLUIDA 5.1. Konservasi Masa Sistem Koordinat - Rectangular - Silindris - Bola/Sirkular 5.1.1. Sistem Koordinat Rectangular

5.1.1. Sistem Koordinat Rectangular Di pusat O : - densitasnya : r - kecepatannya: Volume CV : Berdasarkan Ekspansi Deret Taylor untuk permukaan sebelah KIRI: Analog untuk kecepatan: Dengan cara yang sama kita dapat mengevaluasi untuk permukaan KANAN : diabaikan 2

5.1.1. Sistem Koordinat Rectangular Konservasi masa: dimana: dan 3

5.1.1. Sistem Koordinat Rectangular + Jadi 4

5.1.1. Sistem Koordinat Rectangular Sehingga Persamaan Differential dari Konservasi masa dalam Koordinat Rectangular ditulis sbb.: Dalam Koordinat Rectangular Operator Vektor (NABLA) ditulis : Sehingga: Maka Pers. Differential dari Konservasi Masa ditulis sbb. : 5

5.1.1. Sistem Koordinat Rectangular Kondisi Khusus: Aliran Inkompresibel  r = konstan atau Aliran Steady  6

5.1.2. Sistem Koordinat Silindris Di pusat O : - densitasnya : r - kecepatannya: Volume CV : 7

5.1.2. Sistem Koordinat Silindris 8

5.1.2. Sistem Koordinat Silindris Konservasi masa: dimana: dan 9

5.1.2. Sistem Koordinat Silindris + Jadi 10

5.1.2. Sistem Koordinat Silindris Sehingga Persamaan Differential dari Konservasi masa dlm Koordinat Silindris ditulis sbb.: atau Bila dibagi dengan r didapat: Dalam Koordinat Silindris Operator Vektor (NABLA) ditulis : Sehingga Pers. Differential dari Konservasi masa ditulis sbb. 11

5.1.2. Sistem Koordinat Silindris Kondisi Khusus: Aliran Inkompresibel  r = konstan atau Aliran Steady  Contoh Soal 12

Mengenal Bentuk Aliran, meliputi: Bentuk Streamline 5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi Mengenal Bentuk Aliran, meliputi: Bentuk Streamline Skala kecepatan pada titik dalam aliran Persamaan Matematik yang dapat membantu maksud tersebut Fungsi Aliran (y) (Stream Function) Fungsi aliran (y) diformulasikan sebagai hubungan antara Streamline dan Konservasi Masa dimana: 13

Konservasi masa untuk aliran inkompresibel 2-D (dalam x & y ) : 5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi Konservasi masa untuk aliran inkompresibel 2-D (dalam x & y ) : Jika adalah fungsi kontinyu, maka dapat didefinisikan : Sehingga persamaan konservasi masa ditulis sbb.: 14

5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi INGAT: Bahwa stream line adalah garis-garis yang dilukiskan dalam medan aliran, sedemikian rupa sehingga setiap saat garis singgung di setiap titiknya pada garis-garsi tsb adalah merupakan arah kecepatan aliran Sehingga karena 15

Berarti y konstan sepanjang streamline 5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi Maka persamaan streamline dalam 2-D : atau karena maka: Karena pada saat to  Sehingga pada suatu saat/waktu tertentu, perubahan y dapat dievaluasi dari Jadi pada waktu tertentu (setiap saat): maka bila persamaan (a)&(b) dibandingkan: Berarti y konstan sepanjang streamline 16

Karena differential y adalah exact maka: 5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi Karena differential y adalah exact maka: Dari definisi Streamline:  bahwa tidak ada aliran memotong Streamline  maka kapasitas aliran antara y1 dan y2 yang menembus AB, BC, DE dan DF adalah sama

5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi Debit Q antara streamline y1 & y2 dapat dihitung berdasarkan aliran yang menembus AB dan BC. Debit aliran yang menembus AB per satuan lebar (tegak lurus bidang xy) adalah sbb.: sepanjang AB, x = konstan (dx = 0)  maka : Debit aliran yang menembus BC per satuan lebar (tegak lurus bidang xy) adalah sbb.: sepanjang BC, y = konstan (dy = 0)  Jadi Debit aliran persatuan lebar antara 2 streamline berurutan adalah sama dengan selisih nilai 2 streamline berututan tersebut (y2 – y1) = 0 = 0

Untuk aliran Incompressible 2-Dimensi pada bidang 5.2. Fungsi Aliran (Stream Function) untuk Aliran Inkompresibel 2-Dimensi Untuk aliran Incompressible 2-Dimensi pada bidang rq, persamaan konservasi masa dapat ditulis sbb.: Dimana Fungsi aliran y(r, q, t) didefinisikan sebagai: Contoh Soal : Diketahui medan kecepatan 2-D dalam (x, y) didefinisikan sebagai : dimana A = 2 s-1. Tentukan: a). Apakah aliran incompressible atau compressible ? b). Tentukan Fungsi aliran c). Gambarkan bentuk fungsi aliran tersebut pada kuadran I dan II

5.3. Gerakan Elemen Fluida (Kinematika) Bila sebuah elemen fluida dm bergerak di dalam medan aliran, maka akan mengalami beberapa gerakan yang mungkin terjadi: - Translasi : yaitu mengalami perpindahan secara linear dari lokasi x, y, z ke lokasi x1, y1, z1. - Rotasi : yaitu mengalami perputaran, dimana sisi/bidang elemen yang semula paralel dengan sumbu2 koordinat (x, y, z) dapat berubah akibat gerakan rotasi terhadap salah satu atau mungkin ketiga sumbu koordinat (lihat gambar).

5.3. Gerakan Elemen Fluida (Kinematika) Elemen fluida dapat juga mengalami deformasi : - Deformasi linear : meliputi suatu deformasi dimana bidang elemen yang semula tegak lurus tetap tegak lurus - Deformasi anguler : meliputi distorsi element dimana bidang elemen yang semula tegak lurus menjadi tidak tegak lurus

5.3.1. Translasi Fluida: Akselerasi Partikel Fluida dalam Medan Kecepatan Dalam Fluida sebagai continuum, medan kecepatan merupakan fungsi dari kedudukan dan waktu : Pada saat t : - posisi partikel pada : x, y, z - kecepatannya: Pada saat t + dt : - posisi partikel berpindah ke: (x+dx),(y+dy),(z+dz)

5.3.1. Translasi Fluida: Akselerasi Partikel Fluida dalam Medan Kecepatan Perubahan kecepatan partikel ( ) dari posisi ke adalah: Sehingga percepatan total partikel adalah: karena maka: Untuk diingat bahwa perhitungan percepatan partikel fluida dalam medan kecepatan dibutuhkan derivative khusus, yang umumnya disebut sebagai substantial derivative yang disimbolkan sbg

5.3.1. Translasi Fluida: Akselerasi Partikel Fluida dalam Medan Kecepatan Arti Fisik: persamaan tersebut tertulis dalam koordinat x, y, z disebut sebagai persamaan percepatan total partikel dalam koordinat Rectangular. Selanjutnya, percepatan konvektif dapat ditulis dalam bentuk vektor tunggal sebagai: Sehingga persamaan percepatan total partikel fluida dapat ditulis juga sebagai : selanjutnya dapat disebut sebagai bentuk umum dari persamaan percepatan total partikel (dalam koordinat apapun) Percepatan Total Percepatan konvektif Percepatan lokal

Untuk aliran 1-D & Unsteady (mis: dlm x)  5.3.1. Translasi Fluida: Akselerasi Partikel Fluida dalam Medan Kecepatan Kondisi Khusus: Untuk aliran 2-D & unsteady (mis: dlm x & y)  maka persamaan percepatan menjadi: Untuk aliran 1-D & Unsteady (mis: dlm x)  maka persamaan percepatan menjadi: Untuk aliran 3-D & steady (mis: dlm x, y, z)  Note Pada aliran steady  partikel dpt mengalami percepatan, yaitu  percepatan KONVEKTIF jadi Aliran Steady tidak selalu sama degan aliran kecepatan konstan

Dalam bentuk skalar, persamaan percepatan tsb 5.3.1. Translasi Fluida: Akselerasi Partikel Fluida dalam Medan Kecepatan Dalam bentuk skalar, persamaan percepatan tsb dapat ditulis dalam komponen2nya relatif terhadap: Koordinat rectangular (x, y, z) sbb.: Koordinat silindris (r, q, z) sbb.: Contoh soal

5.3.2. Rotasi Fluida ROTASI  Besaran VEKTOR Menurut 3-sumbu koordinat (x, y, z): dimana: = kecepatan sudut/rotasi rata-rata suatu partikel fluida yang dihitung biasanya berdasarkan perubahan kedudukan salib- sumbu partikel fluida ybs. = rotasi terhadap sumbu x = rotasi terhadap sumbu y = rotasi terhadap sumbu z

5.3.2. Rotasi Fluida Rotasi garis oa dengan panjang Dx akibat kecepatan v dalam arah y. Bila kecepatan ke arah y di titik o = vo, maka berdasarkan Deret Taylor kecepatan di titika dalam arah y =

5.3.2. Rotasi Fluida Kecepatan sudut dari garis oa didapat dari: Karena : maka: Rotasi garis ob dengan panjang Dy akibat kecepatan u dalam arah x. Bila kecepatan ke arah x di titik o = uo, maka berdasarkan Deret Taylor kecepatan di titik b dalam arah x =

5.3.2. Rotasi Fluida Kecepatan sudut dari garis ob didapat dari: Karena : maka: Tanda (-) disini dipakai untuk membedakan harga positip dapa wob, dimana putaran dalam arag CCW adalah positip.

5.3.2. Rotasi Fluida Rotasi dari elemen fluida terhadap sumbu z adalah kecepatan sudut rata-rata dari garis oa & ob pada bidang xy : Analog untuk yang lain :

5.3.2. Rotasi Fluida Selanjutnya didapat: Dalam notasi vektor selanjutnya ditulis sbb.: Bila Pusaran/Vorticity ( ) adalah dua-kali rotasi, maka ditulis: Dalam koordinat Rectangular: Dalam koordinat Silindris:

5.3.2. Rotasi Fluida Note: Vorticity adalah suatu ukuran dari rotasi sebuah elemen fluida yang bergerak dalam aliran Sirkulasi (G) : didefinisikan sebagai garis gabungan (the line integral) dari komponen kecepatan tangential pada suatu kurva tertutup yang berada dalam aliran dimana: adalah vektor elemen sepanjang ds yang menyinggung kurva (tangent to the curve); yang bertanda positip bila lintasan integrasi dalam kurva berlawanan arah jarum jam (CCW). Hubungan antara Sirkulasi & Vorticity:

Theorema STOKES (2-Dimensi) 5.3.2. Rotasi Fluida Hubungan antara Sirkulasi & Vorticity: maka: Theorema STOKES (2-Dimensi)

5.3.3. Aliran Tidak Berrotasi (Irrotational Flow) yaitu element fluida yang bergerak disepanjang medan aliran tidak mengalami rotasi sama sekali sehingga: Untuk koordinat Rectangular: Untuk koordinat Silindris

5.4. Persamaan Momentum Hukum Newton II untuk sebuah partikel bermasa dm yang bergerak dalam medan aliran: atau bila ditulis dalam komponen-komponennya (dFx, dFy, dFz): ………persamaan (a)

5.4.1. Gaya yang Bekerja pada Partikel Fluida Gaya yang berkeja pada elemen fluida meliputi Gaya Body dan Gaya Permukaan (Surface Force): dimana: Gaya Permukaan meliputi Gaya Normal & GayaTangential/Shear Gaya Body ( ) :

5.4.1. Gaya yang Bekerja pada Partikel Fluida Gaya Permukaan ( ) : Dalam Arah x ( ) :

5.4.1. Gaya yang Bekerja pada Partikel Fluida Gaya Total Dalam Arah x ( ): Analog untuk arah y & z: ……persamaan (b)

5.4.2. Peramaan Diferensial dari Momentum Substitusi permaan (b) ke persaman (a) didapat Persaman Diferensial tentang gerak dalam arah x, y dan z : …….persaman (c) Persaman (c) adalah persamaan gerakan dalam bentuk diferensial untuk setiap fluida dengan asumsi continuum. Note: Agar persamaan (c) dapat digunakan untuk memecahkan persoalan, diperlukan persamaan tentang tegangan dalam bentuk medan kecepatan dan tekanan.

5.4.3. Persamaan NAVIER-STOKES Khusus untuk Fluida Newtonian: (dimana tegangan geser berbanding lurus dengan kecepatan deformasi) Tegangan dapat ditulis dalam bentuk gradien kecepatan dan property fluida yang dalam koordinat Rectangular ditulis sbb.: dimana : p = tekanan termodinamik lokal

5.4.3. Persamaan NAVIER-STOKES Sehingga persamaan (c) menjadi: …….persamaan (d)…. Persaman (d) disebut persamaan NAVIER-STOKES Untuk Aliran Incompressible & m = konstan, pers (d) menjadi:

5.4.3. Persamaan NAVIER-STOKES Untuk Aliran Inviscid (m = 0), pers (d) menjadi: Persamaan EULER