PROBABILITAS Teori probabilitas sering disebut teori kemungkinan, teori peluang dan merupakan dasar bagi pemahaman statistika A. Probabilitas Sederhana Probabilitas adalah jumlah hasil yang diharapkan dari seluruh hasil yang mungkin terjadi. P(E ) = atau P(E) = dimana E = jumlah hasil yang diharapkan N atau S = Jumlah seluruh hasil yang mungkin terjadi (Ruang sampel) Peristiwa bukan E : p( )= 1 – p(E) Azas komplementaritas

Percobaan tunggal Contoh 1 Data : Sekeping mata uang yang mempunyai sisi gambar dan sisi angka dilempar sekali Masalah : a. Berapa probabilitas keluarnya gambar? b. Berapa probabilitas keluarnya bukan gambar? c.Berapa probabilitas keluarnya gambar atau angka?

CONTOH 2 Data : Sebuah dadu dilempar sekali Masalah : a. Berapa probabilitas keluarnya sisi tiga? b. berapa probabilitas keluarnya sisi bukan tiga? c. Berapa probabilitas keluarnya sisi genap? d. Berapa probabilitas keluarnya sisi kurang dari tiga?

Percobaan majemuk ( Probabilitas bersyarat) Sifat independen. Dua percobaan atau lebih dikatakan independen apabila hasil percobaan satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain. Kasus dependen dan independen muncul pada percobaan yang berlangsung berurutan. Sifat mutually exclusive. Dua percobaan atau lebih dikatakan mutually exclusive (saling meniadakan) apabila hasil-hasil yang diharapkan dari kejadian-kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersamaan. Kasus mutually exclusive dan un-mutually exclusive muncul pada percobaan yang berlangsung bersamaan.  

Percobaan-percobaan berlangsung berurutan Independen : p ( B I A ) = p(B) Dependen : p (B I A ) p(B) Contoh 1 Data : Sekeping mata uang dilemparkan dua kali. A merupakan peristiwa keluarnya sisi angka pada lemparan pertama, B merupakan peristiwa keluarnya hasil angka pada lemparan kedua. Masalah: Berapa probabilitas keluarnya hasil angka pada lemparan kedua?(independen)

CONTOH 2 Data : Dari setumpuk kartu bridge ditarik dua kali selembar kartu berturut-turut. A merupakan peristiwa penarikan pertama yang menghasilkan kartu King, dan B merupakan peristiwa penarikan kedua yang menghasilkan Queen. Masalah : Berapa probabilitas pada penarikan kedua diperoleh kartu Queen, jika Setelah penarikan pertama kartunya tidak dikembalikan? (dependen ) Berapa probabilitas pada penarikan kedua diperoleh kartu Queen, jika penarikan pertama dikembalikan? (independen)  

Percobaan-percobaan berlangsung bersamaan P(A.B) = p(A).p(B) P(A+B) = p(A) + p(B) CONTOH 1 Data : Dua keping mata uang masing-masing dilemparkan sekali secara bersamaan. G1 merupakan peristiwa keluarnya gambar dari mata uang pertama dan G2 merupakan peristiwa keluarnya sisi gambar dari mata uang kedua. Masalah : a. Berapa probabilitas keluarnya gambar dari kedua mata uang tersebut. b. Berapa probabilitas keluarnya gambar dan angka dari kedua mata uang tersebut.  

CONTOH 2 Data : Dua keping mata uang masing-masing dilemparkan sekali secara bersamaan. G1 merupakan peristiwa keluarnya gambar dari mata uang pertama dan G2 merupakan peristiwa keluarnya sisi gambar dari mata uang kedua. Masalah : Berapa probabilitas kedua mata uang itu sama-sama menghasilkan angka atau sama-sama menghasilkan gambar?

ATURAN BAYES Jika Aj (j = 1,2,3,...,n) merupakan sekatan-sekatan dari sebuah sempel S dan setiap peristiwa Aj bersifat saling meniadakan serta probabilitasnya tidak sama dengan 0 {p(Aj) 0} Maka probabilitas tejadinya A adalah : P(A) = p(A1).p(AIA1) + p(A2).p(AIA2) + ...+ p(An.)p(AIAn) Atau secara ringkas :  P(A)= ATURAN BAYES I

Sedangkan Jika Aj (j = 1,2,3,...,n) merupakan sekatan-sekatan dari sebuah sempel S dan setiap peristiwa Aj bersifat mutually exclusive serta probabilitasnya tidak sama dengan 0, kemudian kita mempunyai peristiwa lain Ak yang merupakan sekatan tertentu dari Aj dimana 1 dan p(Ak) 0, maka probabilitas terjadinya peristiwa A dari setiap sekatan Ak tertentu adalah : P(AkIA) = ATURAN BAYESII  

CONTOH 1 Data : Tiga unit mesin masing-masing menghasilkan 50%, 30%, 20% dari seluruh output yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan. Persentase output yang rusak dari mesin pertama adalh 3%, dari mesin kedua 4%, dari mesin ketiga 5%. Masalah : Sebuah output diambil secara rambang, berapa kemungkinan produk tersebut rusak?(Aturan Bayes I)

CONTOH 2 Serupa dengan contoh 1 Masalah : Sebuah output diambil secara rambang dan ternyata rusak, berapa kemungkinannya bahwa produk yang rusak tersebut adalah produk yang dihasilkan dari mesin pertama?(Aturan Bayes II) CONTOH 3 Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng biru, sementara kotak II berisi 2 kelereng merah dan 8 kelereng biru. Sebuah koin ideal dilempar. Jika muncul kepala sebuah kelereng dipilih dari katak I. Jika muncul ekor sebuah kelereng dipilih dari kotak II. Tentukan probabilitas terpilihnya sebuah kelereng merah. (ATURAN BAYES I)

Misalnya pada contoh 3 orang yang melempar koin tidak memberitahu apakah yang muncul kepala atau ekor (sehingga kotak dari mana kelereng dipilih tidak diungkapkan) tetapi diketahui bahwa sebuah kelereng merah dipilih. Bagaimana probabilitas terpilihnya kotak I ( koin menghasilkan kepala).

TUGAS 1 1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan probabilitas munculnya mata dadu 2 atau 5. 2. sebuah kelereng diambil secara acak dari dalam sebuah kotak yang berisi 10 kelereng merah, 30 kelereng putih, 20 kelereng biru dan 15 kelereng oranye. Tentukan probabilitas bahwa kelereng tersebut adalah a. oranye atau merah b. bukan biru c. putih d. merah, putih atau biru   3. sebuah kotak berisi 3 kelereng biru dan 2 kelereng merah, sementara kotak yang lain berisi 2 kelereng biru dan 5 kelereng merah. Sebuah kelereng yang diambil secara acak dari salah satu kotak adalah biru. Berapa probabilitas bahwa kelereng biru tersebut dari kotak kedua. Isi

4. Kendi I berisi 2 bola putih dan 3 hitam; kendi II berisi 4 bola putih dan 1 bola hitam; kendi III, 3 bola putih dan 4 bola hitam. Ketika sebuah kendi diambil secara acak dan sebuah bola diambil secara acak ternyata bola tersebut adalah bola putih. Tentukanlah probabilitas terpilihnya kendi III. 5. Komposisi group paduan suara mahasiswa “FIK UDINUS” terdiri dari 25% mahasiswa TI, 30% mahasiswa SI, 15% mahasiswa DKV, 20% mahasiswa MI, dan selebihnya mahasiswa KA. 30% dari mahasiswa TI, 40% dari mahasiswa SI, 30% dari mahasiswa DKV, 25% mahasiswa MI, dan 20% mahasiswa KA-yang menjadi anggota grup paduan suara tersebut sudah duduk di semester 3. berapa probabilitasnya bahwa : a. Ia adalah mahasiswa semester 3. b. Ia adalah mahasiswa semester 3 yang berasal dari SI.

Jika nilai tertentu tersebut X HARAPAN MATEMATIS Jika nilai tertentu tersebut X Probabilitas dari X = p(X) maka nilai yang diharapkan adalah : E(X) = untuk variabel diskrit E(X) = untuk variabel kontinyu

Berapa harapan matematis keuntungannya? CONTOH 1 Data : Seorang pedagang es akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 6.000,00jika cuaca cerah, tetapi jika cuaca buruk dia akan rugi Rp. 1.500,00. Probabilitas cuaca cerah adalah 0,70. Masalah : Berapa harapan matematis keuntungannya?

CONTOH 2 Data : Dalam permainan ketangkasan dengan menggunakan dadu, seorang pemain akan memenangkan hadiah sebesar Rp. 15.000,00 apabila sisi dadu yang keluar lebih dari empat. Masalah : Berapa harapan matematis seorang akan memenangkan hadiah tersebut?

Latihan soal 2 1.Dalam suatu pertaruhan menggunakan dua butir dadu seorang pemain akan memenangkan hadiah sebesar 1 juta jika jumlah kedua sisi yang timbul tidak kurang dari 10. Untuk satu kali permainan, pemain membayar Rp. 200ribu. Adilkah permainan tersebut? 2. Seorang pengusaha supermarket di Jakarta bermaksud membuka cabangnya di Bandung, semarang, dan Surabaya. Masing-masing kota menjanjikan keuntungan, Rp 4 juta, Rp 6 juta dan Rp 5juta setahun. Tetapi jika usahanya gagal dia akan menderita kerugian di masing-masing kota Rp 1 juta, Rp 2 juta, dan Rp 1,4 juta, sedangkan probabilitas dia akan memperoleh keuntungan di ketiga kota tersebut adalah 0,80 dan 0,65 serta 0,75. Dimana sebaiknya pengusaha tersebut membuka cabang usahanya?