FONDASI DAN BUKTI MATEMATIKA (MPMT5103) PASCASARJANA UNIVERSITAS TERBUKA

INISIASI 6 Kompetensi Umum: menyelesaikan permasalahan perhitungan dengan kombinatorik Kompetensi Khusus: menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan permutasi; menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kombinasi; menyelesaikan permasalahan aljabar dengan memakai Teorema Binomial; dan menyelesaikan permasalahan perhitungan peluang suatu kejadian dengan memakai Teorema Binomial.

Prinsip Berhitung Perkalian Misalkan string-string itu dihasilkan dari suatu prosedur yang mengandung k langkah berurut dan itu adalah: langkah ke-1 dapat dilakukan dengan n1 cara, langkah ke-2 dapat dilakukan dengan n2 cara, ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: dan langkah ke-k dapat dilakukan dengan nk cara. Maka banyaknya string adalah n1 . n2 . … . nk. Apa itu string, jika lupa lihat modul Fondasi dan Bukti Matematika hal. 7.4 3

Contoh 1 Hitung banyaknya plat nomor 6-simbol berbeda yang mungkin disusun jika empat simbol pertama adalah angka manapun dari 0 sampai 9 dan dua simbol terakhir adalah salah satu huruf dari 26 huruf alpabet. Jawab: (terdapat 6.760.000 kemungkinan plat nomor berbeda) Latihan: Jika jumlah kendaraan 10.000.000, maka dengan 6- simbol sudah tidak memadai lagi. Tolong, bantu bagaimana cara dan berapa banyak kemungkinannya sehingga 10.000.000 kendaraan tersebut dapat diberikan nomor baru. 4

Permutasi Definisi: permutasi dari simbol-simbol a1, a2, ..., an adalah string dari simbol-simbol ini tanpa adanya pengulangan. Misal, permutasi tiga angka 1,2, dan 3: 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, dan 3 2 1 sehingga terdapat 6 permutasi Teorema: Terdapat n! permutasi dai n anggota yang berbada. Misal, permutasi a, b, c, dan d adalah 4! = 4.3.2.1 = 24. Pemeriksaan dengan definisi: abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc,bcad,bcda,bdac,bdca, …, dcba (ada 24 permutasi). 5

Permutasi P(n,r) Definisi: Misalkan S adalah suatu himpunan dengan n anggota (berbeda) dan misalkan r  n. Permutasi dari n anggota S yang diambil sebanyak r pada satu waktu adalah sebuah string r dari anggota-anggota S tanpa pengulangan. Teorema: Banyak permutasi P(n, r) dari n anggota yang digunakan sebanyak r pada satu waktu diperoleh dari P(n, r) = Contoh: 6

Kombinasi Definisi: Misalkan S adalah kumpulan dari n anggota (berbeda) dan misalkan r  n. Kombinasi dari n anggota yang digunakan sebanyak r pada satu waktu adalah subset r-anggota dari S, atau secara ekuivalen, himpunan tak berurut tanpa pengulangan r dari anggota-anggota tersebut. Teorema: Banyaknya kombinasi C(n, r) dari n anggota yang diambil sebanyak r pada satu waktu diperoleh dari C(n, r) = Contoh: 7

Teorema Binomial Ilustrasi: Teorema: Contoh : 8

Latihan 1. Ada 15 orang pelamar akan mengisi 3 lowongan pekerjaan pada bidang yang berbeda. Ada berapa banyak cara berbeda sehingga ketiga lowongan tersebut dapat terisi? 2. Perkumpulan remaja di kampung A terdiri 40 remaja putra dan 25 remaja putri. Mereka ingin memilih pengurus yang terdiri ketua, sekretaris dan bendahara.Ketua dan sekretaris harus remaja putra dan bendahara harus remaja putri. Ada berapa banyak cara untuk memilih pengurus perkumpulan remaja tersebut? 3. Hitung suku ke-3 dan ke- 11 dari (r – 2s)15 . 9

Penutup Anda telah selesai membahas sebagian dari Modul 7 Fondasi dan Bukti Matematika (MPMT5103). Oleh karena itu, dalam kesempatan lain, Anda masih dituntut untuk mempelajari bagian lain yang belum dibahas pada pertemuan (Inisiasi) 6 ini. Semoga Sukses! 10

Terima Kasih Terima Kasih