Teori Antrian Antrian-Antrian Lain Sukiswo sukiswok@yahoo.com Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Outline Burke’s Theorem Antrian Markovian lain (M/M/…) Sistem antrian state-dependent M/M/1 Antrian M/M/1/K Antrian M/M/ Antrian M/M/m Antrian M/M/m/m Multi-channel call concentration Antrian M/G/1 Priority Queuing Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Burke’s Theorem Stochastic process adalah reversible jika sample-sample {X(t1), X(t2), …, X(tm)} memp. distribusi yg sama sbg {X(-t1), X(-t2), …, X( -tm)} utk setiap  dan t1, t2, …, tm Burke’s theorem: departure process dari sistem antrian M/M/1, dlm kesetimbangan adalah Poisson Rekayasa Trafik, Sukiswo

State-Dependent M/M/1 Queues Antrian standar M/M/1 mengasumsikan arrival rate dan departure rate konstan Dlm bbrp sistem, arrival rate dan/atau departure rate dp tergantung dari jumlah pelanggan dlm sistem Sistem spt ini adalah state-dependent Rekayasa Trafik, Sukiswo

State-Dependent M/M/1 Queues Rekayasa Trafik, Sukiswo

State-Dependent M/M/1 Queues Analisa menggunalan local balance equations Rekayasa Trafik, Sukiswo

State-Dependent M/M/1 Queues Hasil Rekayasa Trafik, Sukiswo

State-Dependent M/M/1 Queues Ukuran Performansi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Sistem Antrian Markov Lain Sejumlah sistem antrian lain serupa dg antrian M/M/1 Proses kedatangan Poisson Waktu pelayanan Eksponensial Sistem-sistem serupa M/M/1/N : buffer terbatas dg kapasitas sistem N M/M/m : m server M/M/ : server tak terhingga (tdk ada antrian) M/M/m/m : m server tanpa antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/1/N Fitur dari antrian M/M/1/N Proses kedatangan Poisson Waktu pelayanan eksponensial Single server Kapasitas terbatas utk N pelanggan dlm sistem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/1/N Markov chain model Terminasi dg N dlm sistem Local balance equations menghasilkan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/1/N Solusi steady-state Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/1/N Probabilitas blocking adalah ukuran performansi yg penting utk sistem dg kapasitas terbatas Probabilitas blocking adalah probabilitas bhw pelanggan yg datang akan mendpkan sistem penuh, yaitu ada N pelanggan dlm sistem Probabilitas blocking : pN Rate pelanggan yg ditolak : . pN Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo In-Class Excersise Misalkan message tiba sesuai dg proses Poisson dg rate satu message setiap 4 ms, dan waktu transmisi message terdistribusi eksponensial dg mean 3 ms. Sistem memp. buffer utk kapasitas 4 message termasuk satu yg sedang dilayani (a) Berapa probabilitas blocking? (b) Brp jumlah rata-rata message dlm sistem? Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/ Antrian M/M/ adalah kasus khusus dari antrian M/M/m dg jumlah server yg tak terbatas (m = ) Tiap pelanggan yg datang ditempatkan dlm service Tdk ada delay antrian, hanya waktu pelayanan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/ Probabilitas ada n pelanggan dlm sistem pn: Valid utk 0  /  , krn ada jumlah server yg tak terhingga Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/ Jumlah pelanggan dlm sistem utk antrian M/M/ terdistribusi Poisson dg parameter / Jumlah pelanggan dalam sistem N = / Teorema Little memberikan rata-rata delay per pelanggan T = N/ = 1/ Ini sesuai dg yg diharapkan krn ini adalah waktu pelayanan dan tdk ada antrian Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Identik dg antrian M/M/1 kecuali ada m server (atau m kanal) Sembarang pelanggan (paket) yg datang diteruskan ke sembarang server yg tersedia; jika tdk ada yg tersedia, pelanggan memasuki antrian tunggal Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Menggunakan hasil dari sistem state-dependent, M/M/1, dg Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Probabilitas n pelanggan dlm sistem, utk  = /(m) < 1 Probabilitas 0 pelanggan dlm sistem (idle) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Berapa probabilitas paket yg datang akan mendapatkan m kanal sibuk? Ini adalah probabilitas paket akan mengantri Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Ekspetasi jumlah pelanggan dalam antrian, tetapi bukan dalam service Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Little’s law memberikan rata-rata waktu dlm antrian Rata-rata delay per-pelanggan (antrian dan service) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/M/m Jumlah rata-rata pelanggan dlm sistem (menggunakan Little’s law) Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/M/m Statistical Multiplexing Perhatikan dua pilihan utk statistical multiplexing Menggunakan kanal tunggal (spt didiskusikan sebelumnya) Share m kanal (cat. sembarang paket dp menggunakan sembarang kanal, jadi tdk betul-betul TDM atau FDM) Asumsi Kedangan Poisson dg rate overall  Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial Rate m utk kasus kanal tunggal Rate  utk tiap m kanal terpisah Kasus kanal tunggal adalah antrian M/M/1, kasus m-kanal adalah antrian M/M/m Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/M/m Statistical Multiplexing Kasus 1: kanal tunggal dg service rate m Cat. PQ adalah probabilitas paket yg datang menemukan single server sibuk shg PQ,1 =  = /m Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/M/m Statistical Multiplexing Kasus 2: m-kanal, masing-masing dg service rate  Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/M/m Statistical Multiplexing Perhatikan sistem dg beban rendah Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/M/m Statistical Multiplexing Perhatikan sistem dg beban tinggi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo M/M/m/m Antrian M/M/m/m dikenal sbg sistem rugi (loss) m- server Ada m server (spt pd M/M/m) Antrian tdk dibolehkan, shg pelanggan yg datang saat semua server sibuk akan loss m terakhir pada notasi M/M/m/m menunjukan kapasitas sistem dibatasi m pelanggan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo M/M/m/m Contoh : Saluran transmisi pada jar circuit switch yg terdiri dari m circuit m circuit adalah m server utk koneksi Waktu pelayanan 1/, adalah waktu pendudukan koneksi (hold time) Permintaan panggilan diluar m akan di-blocked (lost) Blocking adalah ukuran performansi yg penting Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo M/M/m/m Analisa menggunakan hasil state-dependent M/M/1 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo M/M/m/m Probabiliti n dlm sistem Probabiliti 0 dlm sistem Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo M/M/m/m Probabilitas blocking adalah probabilitas bahwa paket yg datang akan menemui semua server (circuit) sibuk dan krnnya akan lost Probabiltas blocking adalah pm, probabilitas semua m server sibuk Dikenal sbg Erlang B Formula atau Erlang Loss Formula Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan Multi-Kanal Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan Multi-Kanal Aplikasi circuit switched Konsentrasi panggilan-panggilan ke kanal high-speed Dlm contoh, aplikasi memerlukan 1 atau 2 kanal B ISDN (64 Kbps utk tiap kanal B) Aplikasi-aplikasi dikonsentrasikan ke 1 kanal H0 ISDN (384 Kbps atau 6 kanal) Asumsi kedatangan panggilan adalah Poisson dan durasi panggilan terdistribusi eksponensial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Notasi K : jumlah tipe panggilan berbeda (perlu jumlah basis kanal berbeda) - Dlm contoh ini, K = 2 vL : jumlah kanal diperlukan utk panggilan tipe-L - Dlm contoh ini v1 = 1, v2 =2 mL : jumlah panggilan membangkitkan panggilan tipe-L -Dlm contoh ini, m1 = 8, m2 =4 S : total jumlah kanal link akses - Dlm contoh ini S = 6 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Notasi L : rate kedatangan panggilan tipe-L dari tiap terminal L : rate service panggilan tipe-L utk tiap terminal Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Markov Chain Kita dp menggambarkan masalah ini menggunakan two-dimensional Markov chain State (a,b) merepresentasikan a panggilan tipe-1 (telepon), b panggilan tipe-2 (fax) sedang berlangsung saat ini Analisa mengikuti K. Miyake Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Markov Chain Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Markov Chain Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Markov Chain Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Balance Equations Mis. kj probabilitas steady-state dari state (k,j) Mis. 00 = C Pertama lakukan horizontal … Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Balance Equations Sekarang lakukan “vertikal” ... Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Blocking Probabilitas blocking utk tipe panggilan-L adalah probabilitas ada dlm state terminal utk tipe panggilan tsb State terminal utk panggilan tipe-L adalah satu dimana jumlah kanal lainnya lebih kecil drpd vL Rekayasa Trafik, Sukiswo

Konsentrasi Panggilan: Blocking P[blocking] utk panggilan tipe-1 (telepon) P[blocking] utk panggilan tipe-2 (fax) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1: Motivasi Sistem M/M/… sangat mudah ditangani krn sifat memoryless dari waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan Namun, waktu pelayanan eksponensial, mungkin bukan merupakan asumsi yg baik, misalnya ... Waktu pelayanan adalah deterministik dlm jaringan ATM Ada batasan dlm ukuran paket Asumsi kedatangan Poisson lebih krn karena agregasi aliran kedatangan Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1: Motivasi Antrian M/G/1, seperti antrian M/M/1, mempunyai proses kedatangan Poisson, tetapi memungkinkan distribusi yg general utk waktu pelayanan Tetap diasumsikan bhw waktu pelayanan Identically distributed Mutually independent Waktu antar kedatangan independen Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 sbg Markov Chain? Kita akan perlu mencakup cukup banyak informasi state shg transisi state masa depan hanya tergantung pd state saat ini (informasi state) Jumlah dlm sistem, N(t) saja tidak mencukupi Waktu pelayanan tdk memoryless, shg kita perlu tahu juga berapa lama pelanggan saat ini telah dilayani - sebut itu s0(t) perlu menggunakan pasangan state {n(t), s0(t)} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 sbg Markov Chain? Masalah signifikan mempengaruhi penanganan State dua-dimensi s0(t) adalah kontinyu, yaitu state space tdk lagi diskrit Formula Pollaczeck-Khinchin (formula “P-K”) memberikan hasil utk antrian M/G/1 Analisa didasarkan pd residual service time Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 : Residual Service Time Mis. s1, s2, … adalah deretan service time iid dlm sistem M/G/1 Jika pelanggan yg datang mendpkan server sibuk, residual service time adalah waktu sisa dr service time dari pelanggan yg sekarang dlm pelayanan E[R] = E[s2] 2E[s] Bukti lihat textbook Probability & Random Processes Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Analisa M/G/1 Mis E[Q] waktu utk menunggu service pd M/G/1 Jika service FIFO, dan R’ residual service time pelanggan yg ada dlm service (jika ada), maka: E[Q] = E[R’] + E[Nq(t)].E[s] E[Q] = E[R’] + . E[Q] .E[s] = E[R’] +  E[Q] … (*) E[R’] = 0.P[N(t)=0] + E[R].(1 – P[N(t) = 0]) =(E[s2]/2E[s]). .E[s] = .E[s2]/2 ………... (**) Dari (*) dan (**) E[Q] =  Formula P-K .E[s2] 2.(1 - ) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo In-Class Exercise Berapakah mean residual service time dr sistem dg service time exponential dg mean m? E[s] = m E[s2] = 2m2 E[Rexp] = 2m2/2m = m Berapakah mean residual service time dari sistem dg service time konstan m? E[s] = m E[s2] = m2 E[Rkonst] = m2/2m = m/2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1: Formula P-K Mis. Xi adalah service time dari pelanggan ke-i, contohnya waktu transmisi dari paket ke-i {X1, X2, …} adalah iid random variables dan independen thd waktu kedatangan Service time rata-rata Moment ke-2 dari service time Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1: Formula P-K Formula P-K memberikan waktu tunggu dlm antrian M/G/1 dimana  adalah utilisasi Cat. Hanya momen ke-1 dan ke-2 dari distribusi service time harus diketahui! Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/G/1: Hasil Ekspektasi waktu total dlm sistem, dlm antrian dan service adalah Formula P-K dan Little’s law memberikan jumlah pelanggan dlm antrian NQ Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Antrian M/G/1: Hasil Jumlah pelanggan dlm sistem N, dp juga diturunkan menggunakan Little’s law Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1: Kasus Khusus Antrian M/M/1 mempunyai distribusi service time eksponensial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1: Kasus Khusus Antrian M/D/1 mempunyai service time deterministik, yaitu X1, X2, … Xi … = 1/ Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo In-Class Exercise Perhatikan dua sistem mempunyai kedatangan Poisson dan service time iid. Kedua sistem mempunyai laju kedatangan dan rata-rata service time yg sama. Satu sistem mempunyai distribusi service time eksponensial. Sistem yg lain mempunyai service time yg konstan. Antrian mana yg lebih panjang? Dg faktor berapa? Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Perhatikan skim Go-Back-N ARQ Paket tiba di sumber sesuai dg proses Poisson dg laju  Setiap frame memerlukan 1 unit waktu utk transmit, tetapi bbrp paket harus mengalami retransmisi shg service time efektif lebih besar dari 1 unit waktu Sumber harus menunggu paling lama n-1 frame (n-1 unit waktu) sebelum retransmisi paket (dan paket-paket berurutannya) Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Retransmisi paket terjadi disebabkan oleh salah satu dari dua alasan … Paket dari frame i di penerima di tolak krn error Sumber pertama-tama akan mengirimkan paket-paket baru dlm frame i+1, i+2, … i+n-1 (jika ada) Paket yg mengalami error akan diretransmisikan dlm frame i+n Acknowledgemnet tdk diterima sumber pd saat selesai transmisi frame i+n-1 bisa disebabkan krn error, delay propagasi yg panjang, ... Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Utk menyederhanakan masalah … Hanya error pd arah maju (sumber ke tujuan) yg diperhitungkan (tdk realistik!) Frame mengalami error dg probabilitas p independen thd frame-frame lain Service time utk paket Dg probabilitas (1 - p), tdk ada error dan service time utk paket 1 unit waktu Dg probabilitas (1 - p)p, ada satu error diikuti retraansmisi yg sukses, shg service time adalah 1+n unit waktu Dg probabilitas (1 - p)pk, service adalah 1 + kn Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Contoh Service time dari paket 1: X1 = 1 + n Service time dari paket 2: X2 = 1 Service time dari paket 3: X3 = 1 + kn Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Antrian pd sumber mempunyai kelakuan spt antrian M/G/1 Kedatangan Poisson dg rate  Distribusi dari service time: Service time adalah iid Service time dan interarrival time adalah independen Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Service time, moment pertama Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Service time, moment kedua Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Hasil dg formula P-K Rekayasa Trafik, Sukiswo

M/G/1 : Delay pd Go-Back N ARQ Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 dg Prioritas Pertimbangkan pelanggan dg prioritas Non-preemptive: prioritas mempengaruhi pelanggan berikutnya yg akan dilayani, tetapi pelanggan yg sedang dilayani akan tetap dilayani dlm service sampai selesai Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 dg Prioritas: Model K kelas prioritas pelanggan Pelanggan tipe-k tiba sesuai dg proses Poisson dg laju k dan memp. service time dg pdf fs,k(x) dan mean E[sk] Antrian terpisah utk tiap prioritas, jika server menjadi tersedia, maka akan memilih dari antrian prioritas tertinggi yg tdk kosong Non-preemptive operation Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 dg Prioritas: Utilisasi Utilisasi server utk pelanggan tipe-k Utilisasi total Rekayasa Trafik, Sukiswo

Antrian M/G/1 dg Prioritas: Utilisasi Ekspektasi waktu dlm antrian utk pelanggan tipe-k Ekspektasi waktu dlm sistem utk pelanggan tipe-k Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo In-Class Exercise Suatu komputer menangani dua tipe ‘job’. Job tipe 1 memerlukan waktu layanan konstan 1 ms, dan job tipe 2 memerlukan waktu layanan yg terdistribusi secara eksponensial dg waktu rata-rata 10 ms. Cari rata-rata waktu tunggu jika sistem beroperasi sbb: a. Sistem M/G/1 biasa b. Sistem M/G/1 dg 2 prioritas dimana prioritas utama diberikan pd job tipe 1 (asumsi laju kedatangan kedua job Poisson dg laju sama). Rekayasa Trafik, Sukiswo