Modul X Probabilitas

Probabilitas Pengertian Probabilitas Macam-macam event Pendekatan asas probabilitas dengan menggunakan diagram venn Marginal Probability Teorema Bayes Expected Value Permutasi dan Kombinasi

Pengertian Probabilitas Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. 3 Kata kunci yang harus diketahui dalam mempelajari Probabilitas: Eksperimen Hasil (Outcome) Kejadian / Peristiwa

Macam-macam Event Kejadian saling meniadakan Kejadian tidak saling meniadakan Kejadian tak bebas Kejadian bebas

Aturan Dasar Probabilitas Aturan Penjumlahan Dilihat dari jenis kejadiannya apakah bersifat: Saling meniadakan (Mutually Exlusive) Tidak saling meniadakan Aturan Perkalian Kejadian bebas Kejadian tak bebas

Kejadian Saling meniadakan Kejadian saling meniadakan adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan. Jika 2 kejadian A dan B saling meniadakan, aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A dan B sama dengan penjumlahan dari masing-masing nilai probabilitasnya:

Kejadian Tidak Saling Meniadakan Aturan umum penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan pada 2 kejadian A dan B dapat ditulis:

Kejadian Tak Bebas Probabilitas bersyarat (Conditional Probability) yaitu Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi. Probabilitas kejadian Interseksi Untuk menghitung probabilitas bersyarat, seolah-olah kita sudah mengetahui P(A) dan P(B), berdasarkan apa yang diketahui, akan kita hitung atau untuk menghitung :

Kejadian Bebas Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Dari definisi yang ada, jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka dan

Pendekatan asas probabilitas dengan menggunakan Diagram Venn Himpunan dari seluruh kejadian yang ada disebut Himpunan semesta (Universal Set) Himpunan bagian yang paling kecil dari suatu himpunan disebut himpunan kosong (nullset) dengan simbol Ø Oleh karena himpunan maupun himpunan bagian dapat merupakan kejadian atau event, maka selanjutnya akan dijelaskan antara lain : Kejadian komplementer, Interseksi (Perpotongan) dan Union (Gabungan).

Komplemen Suatu kejadian Misalnya s bahwa adalah ruang sampel, a adalah himpunan bagian s, dan komplemen dari A. Hubungan tersebut dapat digambarkan dalam diagram Venn

Interseksi Dua Kejadian Interseksi Dua Kejadian, misalnya A dan B, yang sering ditulis , terdiri dari elemen-elemen anggota s yang selain mempunyai sifat atau ciri-ciri A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B.

Union Dua Kejadian Union Dua Kejadian A dan B ditulis merupakan himpunan bagian S, yang terdiri dari elemen-elemen anggota S yang menjadi anggota A saja, B saja atau menjadi anggota A dan B saja sekaligus.

Marginal Probability Suatu kejadian yang terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama. Menurut definisi, jika R merupakan suatu kejadian sedemikian rupa sehinnga salah satu kejadian-kejadian yang saling meniadakan S1, S2, ….Sk, harus terjadi bersama (Joint) dengan salah satu kejadian dari R, Kemudin P(R) disebut Probabilitas Marginal

Teorema Bayes Jika kejadian B1, B2,……, Bk. Merupakan mutually exclusive dari ruang sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0

Expected Value Apabila x adalah variabel random dengan nilai X1, X2,….,Xn dan probabilitasnya adalah P(X1), P(X2),…..,P(Xn) maka nilai harapan ( Expected Value) dari x adalah:

Permutasi Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda Banyak permutasi n benda yang berbeda adalah n! ditulis dengan nPn! Contoh : Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari 3 huruf A, B, C. Jawab: Banyaknya permutasi dari 3 unsur 3P3 = 3! = 3.2.1 = 6 Susunannya: A B C 4. B C A A C B 5. C A B B A C 6. C B A

Permutasi Banyaknya permutasi akibat pengambilan n benda berbeda Contoh : Dari Lima orang calon pejabat, tersedia 3 macam jabatan : Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyaknya susunan jabatan yang mungkin dibuat dari kelima calon itu: Jawab: n = 5 dan r = 3

Permutasi Permutasi melingkar Permutasi yang berasal dari penyusunan benda dalam bentuk melingkar Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …nk berjenis ke-k adalah

Kombinasi Banyak kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah Contoh : Dari suatu kelompok yng terdiri dari 5 orang, akan dibentuk suatu komisi atau (Comitte) yang terdiri dari 3 orang. Berapa banayk susunan komisi yang dapat dibuat? Jawab: