PROBABILITAS BERSYARAT

CONTOH KASUS: Pendukung sebuah klub juara bertahan memperkirakan bahwa klub mereka akan menjadi juara tahun ini Disebut probabilitas awal “prior probability” Setelah kompetisi berlangsung selama 6 bulan, ternyata klub mereka menderita banyak kekalahan. Kini, mereka harus merevisi probabilitas yang sudah ada, dengan membuat probabilitas yang lebih baik menggunakan informasi tambahan yang dimiliki Disebut probabilitas revisi “posterior probability”

PELUANG BERSYARAT Peluang terjadinya kejadian B jika diketahui suatu kejadian lain A telah terjadi

CONTOH: Sebuah penerbangan reguler berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0,83. Peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah P (A) = 0,92 dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepat pada waktunya adalah P(AB) = 0,78. Hitung peluang suatu pesawat pada penerbangan tersebut : mendarat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat itu berangkat tepat pada waktunya berangkat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat tersebut mendarat tepat waktu.

Jawab: Peluang pesawat mendarat tepat waktu bila diketahui pesawat tersebut berangkat tepat waktu adalah : (B)

Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui pesawat tersebut mendarat tepat waktu adalah :

CONTOH: Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin dan status bekerja seperti dalam tabel berikut: Bekerja Tdk bekerja Jumlah Laki-laki Wanita 460 140 40 260 500 400 600 300 900 Populasi Orang Dewasa Telah Tamat SMU Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagai obyek wisata keseluruh negeri. Berapa probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus bekerja?

Jawab: E = orang yang terpilih berstatus bekeja Misalkan ; E = orang yang terpilih berstatus bekeja M = Lelaki yang terpilih Probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus bekerja adalah Dari tabel diperoleh: & Jadi:

P(A/B)=P(A) Atau P(B/A)=P(B) Jadi: Apabila terdapat suatu kondisi dimana probabilitas P(A/B) menjadi bernilai sama dengan P(A), maka dalam hal ini peristiwa B tidak mempunyai pengaruh terhadap terjadinya peristiwa A, sehingga : P(A/B)=P(A) Atau P(B/A)=P(B) dinamakan sebagai peristiwa yang saling bebas (independent)

antara A dan B, sesuai dengan aturan perkalian maka kondisi saling bebas tersebut : Dengan demikian, bila terdapat peristiwa A1, A2,.....,Ak yang saling bebas maka:

Kaidah penggandaan Bila suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka P(AB) = P(A)P(BA) Karena kejadian AB dan BA setara, dapat ditulis juga: P(AB) = P(BA) = P(B)P(AB)

CONTOH: Jika A adalah kejadian bahwa sekering pertama rusak, dan B kejadian sekering kedua rusak, maka P(AB) dapat ditafsirkan sebagai A terjadi, dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. Peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan pertama adalah ¼, dan peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan kedua adalah 4/19, sehingga:

Jika SEKERING A dimasukkan kembali ke dalam kotak, maka peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan kedua adalah TETAP sebesar ¼, sehingga P(BA) = P(B) dan kedua kejadian A dan B dikatakan BEBAS. Sehingga diperoleh penggandaan khusus: P(AB) = P(A)P(B)

2. Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3 diantaranya rusak. Hitung peluang bila 2 buah gulungan film rusak diambil acak satu persatu secara berurutan. Jawab: Misal A: peristiwa terambil gulungan pertama rusak B: peristiwa terambil gulungan kedua rusak Maka peluang kedua gulungan rusak adalah : = 1/15

Teorema Bayes A= (B ∩A) ∪ (B’ ∩ A) P(A) = P(B∩A) + P(B’∩A) = P(B).P(A│B) + P(B’).P(A│B’) S B A B’

Aturan Bayes Pandang diagram venn berikut: saling terpisah, jadi Diperoleh rumus Diagram Venn untuk kejadian A,E dan

Contoh   Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin dan status bekerja seperti pada tabel sbb: Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagai obyek wisata keseluruh negeri. Dan diketahui bahwa ada 36 orang yang berstatus bekerja dan 12 orang berstatus menganggur adalah anggota koperasi. Berapa peluang orang yang terpilih ternyata anggota koperasi?  Bekerja Tdk bekerja Jumlah Laki-laki Wanita 460 140 40 260 500 400 600 300 900

A = orang yang terpilih anggota koperasi  Jawab: Misal: E = orang yang terpilih berstatus bekeja A = orang yang terpilih anggota koperasi Dari tabel diperoleh: Jadi peluang orang yang terpilih anggota koperasi adalah

Diagram pohon untuk data Jika dalam ruang sampel (S) terdapat kejadian-kejadian saling lepas dengan probabilitas ≠ 0, dan bila ada kejadian A yang mungkin dapat terjadi pada kejadian , maka probabilitas kejadian A adalah: dengan: dan saling terpisah

Diagram Venn: Penyekatan ruang sampel S Jika kejadian-kejadian merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan , maka utk sembarang kejadian A , berlaku untuk r = 1,2, …. , k

Contoh:   Tiga anggota dari sebuah organisasi dicalonkan sebagai ketua. Telah diketahui peluang bpk Ali (A) terpilih 0,3 ; peluang bpk Basuki (B) terpilih 0,5 dan peluang bpk Catur (C) terpilih 0,2. Juga telah diketahui peluang kenaikan iuran anggota jika A terpilih 0,8 ; jika B terpilih 0,1 dan jika C terpilih 0,4. a). Berapa peluang iuran anggota akan naik ? b). Berapa peluang bpk C terpilih sbg ketua jika terjadi kenaikan iuran?? Jawab: Misal: I : iuran anggota dinaikan A : pak Ali terpilih B : pak Basuki terpilih C : pak Catur terpilih Iuran naik!!! Hikkkssss!!!

a). Peluang iuran anggota akan naik adalah Diketahui dari soal: ; ; a). Peluang iuran anggota akan naik adalah b). Peluang bapak C terpilih sebagai ketua jika terjadi kenaikan iuran adalah

Teorema Bayes dan Kasus Salah deteksi (false positive) Pada suatu daerah, terdapat penyakit langka yang menyerang 1 dari 1000 orang di dalam populasi tsb. Terdapat suatu tes yang bagus untuk suatu jenis penyakit, tapi tes tersebut belum sempurna. Jika seseorang terjangkit penyakit itu, tes menunjukkan hasil positif 99% benar. Di sisi lain, tes ini juga salah deteksi. Sekitar 2% pasien yang tidak terinfeksi juga positif. Kamu baru saja dites dan hasilnya positif. Berapa peluangmu sungguh2 terinfeksi??

Hwaaaaa......terinfeksi cacar air!!!! Jawab: Hwaaaaa......terinfeksi cacar air!!!! Terdapat 2 keadaan untuk dianalisa: A: pasien mengidap penyakit/terinfeksi B: hasil tes pasien positif Informasi keefektifan tes dapat ditulis: P(A) = 0,001 (1 dari 1000 orang terinfeksi) P (BA) = 0,99 (probabilitas tes positif, dengan infeksi sebesar 0,99) P((Btidak A) = 0,02 (probabilitas tes positif, tapi tidak terinfeksi) Masalahya adalah: P (AB)= berapa?? (probabilitas terinfeksi, hasil positif)

Jawab (lanjutan) Buat tabel 2 x 2 yang membagi ruang sampel menjadi 4 peristiwa yang saling meniadakan. Tabel ini menyajikan semua kombinasi yang mungkin dari kondisi penyakit dan hasil tes. A TIDAK A B A DAN B TIDAK A DAN B TIDAK B A DAN TIDAK B TIDAK A DAN TIDAK B

Jawab (lanjutan) Probabilitas masing-masing peristiwa: TIDAK A jumlah B P(A DAN B) P(TIDAK A DAN B) P(B) TIDAK B P(A DAN TIDAK B) P(TIDAK A DAN TIDAK B) P(TIDAK B) P(A) P(TIDAK A) 1 Sekarang kita hitung: P(A dan B) = P(A)P(BA) = (0,001)(0,99) = 0,00099 P(Tidak A dan B) = P(tidak A) P(B tidak A) = (0,999)(0,02) = 0,01998

Jawab (lanjutan) Sehingga diperoleh: 0,001 0,999 1 A TIDAK A jumlah B 0,00099 0,01998 0,02097 TIDAK B A DAN TIDAK B P(TIDAK A DAN TIDAK B) P(TIDAK B) 0,001 0,999 = 1 – 0,001 1 A TIDAK A jumlah B 0,00099 0,01998 0,02097 TIDAK B 0,00001 0,97902 0,97903 0,001 0,999 1

P(AB) = P(A)P(BA) P(A)P(BA)+ P(TIDAK A)P(B TIDAK A) Diperoleh: P(AB) = P(A dan B) = 0,00099 = 0,0472 P(B) 0,02097 P(AB) = P(A)P(BA) P(A)P(BA)+ P(TIDAK A)P(B TIDAK A) Teorema Bayes

Latihan Soal Tiga kotak masing-masing memiliki 2 laci. Di dalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Di dalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan di dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?

Latihan Soal Diketahui bahwa mata kuliah SI 2 diikuti oleh 40 mahasiswa semester III, 20 mahasiswa semester V, 10 mahasiswa semester VII. Hasil ujian akhir, final test menunjukkan bahwa 10 mahasiswa semester III, 7 mahasiswa semester V, dan 5 mahasiswa semester VII mendapat nilai A. Jika seseorang mahasiswa dipilih secara acak dan diketahui mendapat nilai A, berapa probabilitas ia berasal dari semester VII?