PEMROGRAMAN LINIER Oleh : Inne Novita Sari

Definisi Program Linear Salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input. Dua macam fungsi dalam Program Linear Fungsi Tujuan : tujuan perumusan masalah Fungsi kendala : sumber daya yang terbatas

Ciri–ciri Program Linier Penyelesaian mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi dan minimisasi (objective function) Ada kendala (constrain) yang membatasi tingkat pencapaian tujuan Ada beberapa alternatif penyelesaian (variable) Hubungan matematis bersifat linear

Prosedur untuk membentuk Model Matematika untuk PL Tentukan besaran yang akan dioptimisasi dan nyatakan sebuah fungsi tujuan Identifikasi semua kendala/pembatas dan nyatakan dalam simbol matematis Nyatakan setiap persyaratan terselubung (eksplisit) cth: persyaratan tak negatif / variabel-variabel masukkannya bilangan bulat dll.

Model Matematika untuk PL Maksimumkan/minimumkan z=f(x1 ,x2,...,xn) Dengan kendala g1(x1,x2,...xn) b1 g2(x1,x2,...xn) ≥ b2 ⁞ = gm(x1,x2,...xn) ≤ bm Syarat nonnegatif x1,x2,...xn ≥ 0

Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis mainan dari kayu,berupa boneka dan kereta api. Boneka dijual Rp. 27.000/lusin dan memerlukan biaya material Rp. 10.000 dan biaya tenaga kerja Rp.14.000. Kereta api dijual seharga Rp. 21.000/lusin memerlukan biaya material Rp. 9.000 dan biaya tenaga kerja Rp. 10.000. Untuk membuat boneka dan kereta api diperlukan dua kelompok kerja yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan dan 1 jam pekerjaan kayu. Sedangkan setiap lusin kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam perkerjaan kayu. Meskipun pada setiap minggunya setiap minggu perusahaan dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, jam kerja yang tersedia 100 jam untuk pemolesan dan 80 jam untuk pekerjaan kayu. Dari pengamatan pasar diketahui bahwa kebutuhan akan kereta api tidak terbatas sedangkan untuk boneka penjualan tidak lebih dari 40 lusin terjual setiap minggunya. Buatlah model matematika dari permasalahan diatas. Dan tentukan berapa sebaiknya berapa lusin diproduksi boneka kayu dan kereta api, agar keuntungan penjualan maksimal.

Model Matematika Misal : x1 = banyaknya boneka kayu yang harus diproduksi x2 = banyaknya kereta api yang harus diproduksi Maksimumkan z = 3x1+ 2x2 Dengan kendala 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 Syarat non negatif x1, x2 ≥ 0 Dengan metode grafik maka: 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1, x2 ≥ 0 x1 x2 (x1,x2) 100 (0,100) 50 (50,0) x1 x2 (x1,x2) 80 (0,80) (80,0)

Penyelesaian dengan Metode Grafik Persamaan-persamaan yang telah dicari sebelumnya kemudian sigambarkan pada sebuah diagram cartesius Daerah Fisibel Titik Kritis / Titik Ekstrim/ Critical Point 2x1+x2=100 x1+x2=80 x1=40 x1=0 x2=0 Z= 3x1+2x2

Mencari Titik Potong dari 2 Grafik Cari titik potong dari garis 2x1 + x2 = 100 dengan x1 + x2 = 80 menggunakan metode eliminasi diperoleh titik (20,60) 2x1 + x2 = 100 dengan x1 = 40 dengan mensubtitusi x1 = 40 ke persamaan 2x1 + x2 = 100 diperoleh titik (40,20) Cari nilai Z maksimal dari kordinat titik Yang telah diperoleh Koordinat Titik Nilai z=3x1+2x2 (0,0) (40,0) 120 (0,80) 160 (40,20) (20,60) 180

Kesimpulan Untuk memaksimalkan keuntungan maka jumlah boneka yang diproduksi adalah 20 lusin dan jumlah kereta api yang diproduksi 60 lusin dan total keuntungan yang diperoleh adalah Rp. 160.000,00

CONTOH SOAL Pdagang eceran Lumayan menyediakan biaya advertensi bulan mendatang Rp. 200.000,-. Ada dua alternatif media yang sedang dipertimbangkan yaitu majalah dan surat kabar. Biaya advertensi daam majalah hanya Rp. 2.500,- dan dapat menjangkau 50 konsumen. Biaya surat kabar 12.000,- dan dapat menjangkau 600 konsumen. Perusahaan merencakan paling sedikit 5 x permuatan dalam surat kabar, tetapi tidak lebih dari 30 x selama satu bulan. Jumlah advertensi di surat kabar paling sedikit 2x jumlah advertensi di majalah. Tentukan kombinasi advertensi yang terbaik, agar memaksimumkan jumlah konsumen yang dapat dijangkau selama satu bulan ? Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m 2 , untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas 10m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat seluas 20m 2 . Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir yang didapat ?

Seorang petani memiliki 7 ha tanah, sedang memikirkan berapa ha tanah yang harus ditanami jagung dan berapa ha tanah yang harus ditanami gandum. Dia mengetahui bahwa jika ditanami jagung, setiap ha tanah akan menghasilkan 10 ton jagung, untuk itu diperlukan 4 jam-orang / minggu. Jika ditanami gandum akan menghasilkan 25 ton / ha setiap minggu dengan kebutuhan 10 jam-orang / minggu. Setiap kg jagung dapat dijual seharga Rp 30. sedangkan gandum Rp. 40/kg. petani tersebut hanya memiliki 40 jam-orang/ minggu. Karena ada peraturan pemerintah yang mengharuskan setiap petani untuk menghasilkan gandum paling sedikit 30 ton setiap kali panen, bagaimanakah formulasi persoalan ini agar petani tersebut dapat menggarap tanahnya dengan optimal.