BAB 2 PROBABILITAS

PENGERTIAN PROBABILITAS Probabilitas atau Peluang adalah derajat tau tingkat kepastian atau keyakinandari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P

Himpunan Penulisan himpunan Cara pendaftaran Dengan cara pendaftaran, unsur himpunan ditulis satu per satu atau didaftar. Contoh: A = {a, I, u, e, o} B = {1, 2, 3, 4, 5} => data diskrit Cara pencirian Unsur-unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri himpunan tersebut Contoh : A = { X : x huruf hidup } B = { X : 1 ≤ x ≤ 2 } => data kontinu

himpunan yang tidak memiliki anggota. Lambang { } atau Ф Macam-macam himpunan Himpunan semesta Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau himpunan yang menjadi objek pembicaraan. Lambang S atau U Contoh S = U = {a, b, c, ….} S = U = {X : x bilangan asli } Himpunan kosong himpunan yang tidak memiliki anggota. Lambang { } atau Ф Himpunan bagian Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Lambang ⊂, A ⊂ B. banyaknya himpunan bagian dari sebuah himpunan dengan n unsur adalah 2. Jika diketahui A= {1, 2, 3}, tentukan banyaknya himpunan dari A dan tuliskan himpunan-himpunan bagian tsb

Penyelesaian Banyaknya himpunan bagian A adalah 23 = 8 Himpunan-himpunan bagian itu adalah : { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} Himpunan kosong merupakan bagian dari semua himpunan. Dalam statistik, himpunan bagian merupakan sampel. Himpunan komplemen Himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya adalah A maka himpunan komplemennya dilambangkan Ac atau A1 contoh jika diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {2, 4, 6} Tentukan Bc ..............?

Diagram venn himpunan Bc Penyelesaian: Bc = {1, 3, 5, 7} Diagram vennya adalah Diagram venn himpunan Bc S Bc B

Operasi himpunan Operasi gabungan (union) gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B atau di dalam A dan B sekaligus. gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A ∪ B atau A+B. dituliskan: A∪B = {X : x ε A, x ε B, x ε AB} Diagram vennya A ∪ B daerah yang Berwarna kuning Diagram venn dari A ∪ B

Jika diketahui: S = { X : 0 ≤ x ≤ 10 } P = { 2, 3, 5, 7 } Contoh soal Jika diketahui: S = { X : 0 ≤ x ≤ 10 } P = { 2, 3, 5, 7 } G = { 2, 4, 6, 8, 10 } tentukan: P ∪ G…? P ∪ G = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } RUANG CONTOH Ruang adalah contoh himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan. Dilambangkan dengan S. Contoh 1 : Perhatikan percobaan pelemparan sebuah dadu berisi enam. Bila ditarik pada bilangan yang muncul, maka ruang contohnya adalah : S1 = {1,2,3,4,5,6}

KEJADIAN Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh Terdapat dua kejadian yaitu : Kejadian yang hanya mengandung satu unsur ruang sampel disebut kejadian sederhana. Gabungan beberapa kejadian sederhana disebut kejadian majemuk Contoh : Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali Maka ruang contohnya adalah S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6} N=6. Kejadian A Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali maka contohnya adalah A = {sisi-2, sisi-4, sisi-6} n = 3

RUANG NOL Ruang nol merupakan himpunan bagian ruang sampel yang tidak mempunyai satupun anggota, ruang nol dilambang Ø. Contoh : Bila B menyatakan kejadian manusia yang berhasil mencapai matahari, maka B = Ø. Hubungan antara kejadian dengan ruang sampelnya dapat digambarkan dengan diagram Venn

Soal : Gambarkan diagram Venn untuk menggambarkan situasi pengambilan sebuah kartudari seperangkat (52 helai) kartu bridge dan mengamati apakah kejadian berikut terjadi: A : kartu yang terambil berwarna merah. B : kartu yang terambil adalah jack, queen atau king wajik. C : kartu yang terambil adalah as.

PENGOLAHAN TERHADAP KEJADIAN Irisan (Union) Dua Kejadian Irisan adalah dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A ∩ B, adalah kejadian yang mengandung unsur persekutuan kejadian A dan B. Kejadian saling Terpisah adalah dua kejadian A dan B bila A ∩ B = Ø artinya A dan B tidak memiliki unsur pendukung Paduan (Interaksi) Dua Kejadian adalah Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan A Ս B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya. Komplemen suatu Kejadian adalah Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A, dilambangkan dengan A’.

Soal : 1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 7}, maka: A ∩ B = A Ս B = 2. Misalkan R adalah kejadian terambilnya kartu merah dari seperangkat kartu bridge dan S adalah ruang sampelnya yang berupa seluruh kartu tersebut. Maka R’ adalah 3. Misalkan P = {a,i,u,e,o} dan Q = {r,s,t} maka A ∩ B adalah Dalil-dalil berikut merupakan akibat dari definisi-definisi di atas adalah : 1. A ∩ Ø = Ø 5. S’ = Ø 2. A Ս Ø =A 6. Ø’ = S 3. A Ս A’ = S 7. (A’) = A 4. A Ս A’ = S

MENGHITUNG TITIK SAMPEL KAIDAH PENGGANDAAN UMUM Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara pertama operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, dan demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1.n2…nk cara Contoh 1 : Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya? Penyelesaian : Dadu pertama dapat mendarat dalam 6 cara. Untuk masing-masing dari keenam cara itu. Dadu kedua mendarat dalam 6 cara pula. Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat mendarat dalam (6)(6) = 36 cara.

PERMUTASI Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian darisekumpulan benda. Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah : Banyaknya permutasi n benda yang berbeda disusun dalam suatu lingkaran adalah Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 di antaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk berjenis ke-k

Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua, dan demikian seterusnya Sedangkan dalam hal ini n1 + n1 + ... + nr = n

KOMBINASI Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :

Contoh : Dari 4 orang anggota partai Republik dan 3 orang anggota partai Demokrat, hitunglah banyaknya komisi yang terdiri dari 3 orang dengan 2 orang dari partai Republik dan 1 orang dari partai Demokrat yang dapat dibentuk. Penyelesaian : Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang partai Republik: Banyaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang partai Demokrat: Komisi yang dapat dibentuk dengan 2 orang partai Republik dan 1 orang partai Demokrat ada (6)(3) = 18

Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki? Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya

Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja? Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur? Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.