INTEGRAL Pertemuan ke-13

Tujuan Pembelajaran Umum Mahasiswa mampu memahami konsep matematika yang dapat digunakan pada penerapan ekonomi sehingga dapat diaplikasikan untuk memecahkan persoalan-persoalan ekonomi.

Tujuan Pembelajaran Khusus Mampu menjelaskan mengenai pengertian integral. Mampu menjelaskan mengenai kaidah- kaidah integral. Mampu menggunakan konsep integral pada penerapan ekonomi yaitu surplus produsen dan konsumen.

PENGERTIAN INTEGRAL Integral pada dasarnya merupakan kebalikan proses dari Diferensial / Turunan Kegunaan ilmu integral: Mencari fungsi asal jika hanya diketahui fungsi turunannya saja  integral tak tentu (indefinite integral) Menentukan luas bidang dari sebuah kurva yang dibatasi sumbu X  integral tertentu (definite integral)

INTEGRAL TAK TENTU (Indefinite Integral) Syarat: jika nilai domainnya tidak ditentukan Jika Y = F(x) dan Y’ = F’(x) atau dilambangkan lagi dengan f(x), maka integral tak tentu dari f(x) terhadap x adalah: Keterangan:  : tanda integral f(x) : integral F(x) : fungsi primitive dx : proses integral c : konstanta

INTEGRAL TERTENTU (Definite Integral) Syarat: Jika nilai domainnya ditentukan (dari a sampai b) Nilai a  b a : batas bawah b : batas atas

KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL Jika F’(x) = 0, maka integralnya adalah f(x) dx = c Jika F’(x) = a, maka integralnya adalah f(x) dx = ax + c Jika F’(x) = xn, maka integralnya adalah f(x) dx = 𝟏 (𝒏+𝟏) xn+1 + c dan dengan asumsi bahwa n tidak boleh negatif

KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL Jika F’(x) = 1/x , maka integralnya adalah f(x) dx = ln x + c Jika F’(x) = 1/(ax+b) , maka integralnya adalah f(x) dx = 𝟏 𝒂 ln (ax+b) + c

CONTOH SOAL DASAR (x3 – 5x2 + x + 7 𝑥 ) dx Diketahui f ’(x) = 3x2 – 6x + 10 dan f(2) = 20. Tentukan f(x) ! Hitung f (6) Hitung

JAWABAN SOAL DASAR (x3 – 5x2 + x + 7 𝑥 ) dx = 𝟏 𝟒 𝒙𝟒−𝟓. 𝟏 𝟑 𝒙𝟑+ 𝟏 𝟐 𝒙𝟐+𝟕 𝐥𝐧 𝒙 +𝒄 a) (3x2 – 6x + 10) dx = x𝟑 – 3x𝟐 + 10x + c b) f(x) = x3 – 3x2 + 10x + c , dimana f(2) = 20  (2)3 – 3(2)2 + 10(2) + c = 20  c = 4  f(x) = x𝟑 – 3x𝟐 + 10x + 4 Maka f(6) = (6)3 – 3(6)2 + 10(6) + 4 = 172

JAWABAN SOAL DASAR =  (x3 - 3x2 + 10x + 4) dx c) = 𝟏 𝟒 𝒙𝟒−𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟐+𝟒𝒙 ] = [ 𝟏 𝟒 (𝟑)𝟒−(𝟑)𝟑+𝟓(𝟑)𝟐+𝟒(𝟑)] – [ 𝟏 𝟒 (𝟏)𝟒−(𝟏)𝟑+𝟓(𝟏)𝟐+𝟒(𝟏)] = 50,25 – 8,25 = 42 3 1

APLIKASI INTEGRAL DALAM ILMU EKONOMI

APLIKASI INTEGRAL Menghitung Fungsi Biaya Total (TC) jika hanya diketahui Fungsi Biaya Marginal (MC) Ingat bahwa TC merupakan fungsi gabungan dari Biaya Tetap (FC) dan Biaya Variabel (VC) FC adalah biaya yang nilainya selalu konstan selama jangka waktu tertentu VC adalah biaya yang nilainya berubah-ubah menurut jumlah barang yang diproduksi

APLIKASI INTEGRAL TC = f(x) + k , dimana k = FC dan f(x) = VC MC = TC’ TC =  MC MC (Biaya Marginal): Biaya ekstra yang harus dikeluarkan untuk memperoleh tambahan output sebanyak satu unit.

C =  MPC atau C =  F’(Y) dy = F(Y) + c APLIKASI INTEGRAL Menghitung Fungsi Konsumsi Total (C) jika hanya diketahui Fungsi Marginal Prospensity to Consume (MPC) C = jumlah konsumsi dalam satuan Rupiah untuk setiap tingkat pendapatan Y Rupiah Turunan dari C’ = F’(Y) atau C’ = MPC Jika MPC diketahui dan fungsi konsumsi (C) tidak diketahui maka C =  MPC atau C =  F’(Y) dy = F(Y) + c Dimana, c melambangkan autonomous consumption

APLIKASI INTEGRAL Diketahui MC = 9Q2 + 30Q + 25 dan TC akan menjadi sebesar 4880 ketika jumlah produksinya (Q) adalah 10 unit Berapa FC ? Tentukan fungsi TC yang final ! Diketahui MPC = 18Q2 + 10Q + 8 dan autonomous consumption = 1000. Tentukan fungsi konsumsi (C) ! 1) TC = 3Q3 + 15Q2 + 25Q + c  4880 = 3(10)3 + 15(10)2 + 25(10) + c  4880 = 3000 + 1500 + 250 + c  c = 4880 – 4750  c atau FC = 130 Sehingga, TC = 3Q3 + 15Q2 + 25Q + 130 2) C = 6Q3 + 5Q2 + 8Q + 1000

APLIKASI INTEGRAL Menghitung Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP) Surplus Konsumen (SK) : Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk setiap unit barang yang dibeli. Surplus Produsen (SP) : Penjual yang bersedia menjual barangnya dibawah harga equilibrium akan memperoleh kelebihan harga jual untuk setiap unit barang yang terjual.

Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP) Kasus SK dan SP kebanyakan akan menggunakan prinsip Integral Tertentu

Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP) Contoh soal: Fungsi permintaan Q = 90 - 3P. Hitung surplus konsumen ketika Qe = 30 Fungsi penawaran P = Q2 + 3. Hitung surplus produsen ketika Pe = 12 1)

Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP) Q = 90 - 3P Jika P = 0  Q = 90  koordinat (90 , 0) Jika Q = 0  P = 30  koordinat (0 , 30) Ketika Qe = 30  Pe = (90−30) 3 = 20 atau koordinat ekuilibrium (30 , 20) Dari gambar berikutnya akan kelihatan bahwa ada selisih harga sebesar 10 unit, yaitu dari 20 unit sampai dengan 30 unit. Di sinilah kita menggunakan Integral tertentu.

Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP)

Surplus Konsumen (SK) dan Surplus Produsen (SP) Integral Tertentu dari Q = 90 - 3P 20 30 90−3𝑃 𝑑𝑃= 90P – 1,5P2 = {90(30) – 1,5(30)2} – {90(20) – 1,5(20)2} = (2700 – 1350) – (1800 – 600) = 1350 – 1300 = 50 Jadi akan terdapat surplus konsumen sebesar 50 jika kuantitas ekuilibriumnya berada di tingkat 30 unit 30 20