MATRIKS, RELASI & FUNGSI Nelly Indriani W. Matematika Diskrit IF UNIKOM

MATRIKS Susunan skalar elemen-elemen yang terdiri dari baris dan kolom A mxn , m baris dan n kolom

Jenis – jenis Matriks Matriks Segitiga Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks Komutatif Matriks Invers

Matriks Segitiga Untuk setiap matriks persegi A berdimensi nxn Matriks segitiga atas, jika untuk semua i > j, aij = 0. A = B = C = Matriks segitiga bawah, jika untuk semua i < j, aij = 0. A = H = K =

Matriks Diagonal Matriks persegi A berdimensi nxn dengan aij = 0 untuk semua i > j dan i < j. D = D = diag(d11, d22, …, dnn) Atau D = diag(4,7,0,-5) D = Jika D = diag(d11, d22, …, dnn) dengan d11 = d22 = … = dnn = k, maka matriksnya disebut matriks skalar S =

Matriks Identitas Matriks Komutatif Dari matriks skalar jika k = 1, matriknya disebut matriks identitas. I2 = I3 = B I2 = B Dan I3 B = B Andaikan B = Matriks Komutatif Dua matriks persegi A dan B yg berdimensi sama disebut komutatif (commute) jika berlaku AB = BA. Sebaliknya, disebut anti komutatif (anti-commute) jika berlaku AB = - BA.

Matriks Invers Andaikan A dan B dua matriks persegi berdimensi sama sehingga berlaku : AB = BA = I, maka B disebut invers A, atau A invers B. B = A-1 A A-1 = A-1 A = I A = B-1 B-1 B = B B-1 = I Matriks yang mempunyai invers disebut matriks nonsingular atau matriks yang invertibel. Sifat : (A-1)-1 = A (AB)-1 = B-1 A-1

Tranpose Matriks Matriks A = (aij) berdimensi mxn, tranposenya adalah AT = (aji) yg berdimensi nxm. Sifat-sifat : 1. (AT)T = A 2. (A + B)T = AT + BT 3. (AB)T = BT AT

RELASI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A  B. a R b , untuk (a, b)  R  a dihubungankan dengan b oleh R. a R b , untuk (a, b)  R  a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R.

Contoh : A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323} A  B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Ilustrasi Amir IF221 IF251 IF342 IF323 Budi Cecep R = mata kuliah yang diambil mahasiswa R={(Amir,IF251),(Amir,IF323),(Budi,IF221),(Budi,IF251),(Cecep,IF323)}

Representasi 1. Diagram Panah

2. Tabel

3. Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

4. Graf berarah Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh graf berarah R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

Sifat relasi Reflexive Transitive Symmetric Antisymmentric Invers

Reflexive Jika (a, a)  R untuk setiap a  A maka refleksif Tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)  R. A={1,2,3,4} Contoh : R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} R2= {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } Matriks relasi yang refleksif Graf memiliki loop pada tiap simpul

Transitive (menghantar) Jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)  R, untuk a, b, c  A. A={1,2,3,4} Contoh : R1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } R2= {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } menghantar Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar R = {(3, 4)} selalu menghantar

Symmetric (setangkup) Jika (a, b)  R, maka (b, a)  R. Tidak setangkup, jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)  R. Elemen-elemen matriks diantara diagonal utama merupakan hasil pencerminan , atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n

Antisymmetric (tolak setangkup) Jika untuk semua a, b  A, (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b Tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R. Matriks jika mij = 1 dengan i  j, maka mji = 0 matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i  j

Contoh R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } setangkup R2 = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup R4 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup R5 = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup R6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup dan juga tolak-setangkup R7 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun tidak tolak-setangkup

Inversi R–1 = {(b, a) | (a, b)  R } Contoh : P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. (p, q)  R jika p habis membagi q maka R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) } R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu Q ke P dengan (q,p) E R–1 jika q kelipatan dari p

Klosur Relasi (closure of relation) Misalkan R adalah relasi pada himpunan A. R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P, seperti refleksif, setangkup, atau menghantar. Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan sifat P yang mengandung R, maka S disebut klosur (closure) atau tutupan dari R [ROS03].

Klosur Refleksif Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur refleksif dari R adalah R  , yang dalam hal ini  = {(a, a) | a  A}.

Contoh: R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3} maka  = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, sehingga klosur refleksif dari R adalah   R   = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}  {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

Contoh: Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a  b} pada himpunan bilangan bulat. Klosur refleksif dari R adalah   R   = {(a, b) | a  b}  {(a, a) | a  Z} = {(a, b) | a, b  Z}

Contoh 1: Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak refleksif. Bagaimana membuat relasi refleksif yang sesedikit mungkin dan mengandung R?

Tambahkan (2,2) dan (3,3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam R) Relasi baru, S, mengandung R, yaitu   S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) } Relasi S disebut klosur refleksif (reflexive closure) dari R.

Klosur setangkup Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur setangkup dari R adalah R  R-1, dengan R-1 = {(b, a) | (a, b) a  R}.

Contoh: R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka R-1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} sehingga klosur setangkup dari R adalah   R  R-1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}  {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} ={(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

Contoh 2: Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak setangkup. Bagaimana membuat relasi setangkup yang sesedikit mungkin dan mengandung R?

Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam S agar S menjadi setangkup). Relasi baru, S, mengandung R:   S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}   Relasi S disebut klosur setangkup (symmetric closure) dari R.

Contoh: Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulat. Klosur setangkup dari R adalah  RR-1 = {(a, b)|a habis membagi b}  {(b, a)|b habis membagi a} = {(a, b) | a habis membagi b atau b habis membagi a}

Klosur menghantar Contoh: R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}. R tidak transitif karena tidak mengandung semua pasangan (a, c) sedemikian sehingga (a, b) dan (b, c) di dalam R. Pasangan (a, c) yang tidak terdapat di dalam R adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).  

Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi   S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1)} tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1)  S dan (1, 4)  S, tetapi (3, 4)  S.

Klosur menghantar dari R adalah   R* = R2  R3  …  Rn Jika MR adalah matriks yang merepresentasikan R pada sebuah himpunan dengan n elemen, maka matriks klosur menghantar R* adalah

Kombinasi Relasi R1  R2 , R1  R2, R1 – R2, dan R1  R2 Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R1  R2 , R1  R2, R1 – R2, dan R1  R2 juga adalah relasi dari A ke B

Contoh R1  R2 = R1  R2 = R1  R2 = R2  R1 = R1  R2 = A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} R1  R2 = R1  R2 = R1  R2 = R2  R1 = R1  R2 =

Kombinasi Relasi dalam Matriks Jika relasi R1 dan R2 dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2 maka MR1  R2 = MR1  MR2 MR1  R2 = MR1  MR2

Contoh Relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks R1 = R2 = MR1  R2 = MR1  MR2 = MR1  R2 = MR1  MR2 =

Komposisi Relasi R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S  R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S  R = {(a, c )  a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b )  R dan (b, c )  S }

S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Contoh R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari {1, 2, 3} ke {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} relasi dari {2, 4, 6, 8} ke {s, t, u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

Komposisi dalam diagram panah

Komposisi dalam Matriks Jika relasi R1 dan R2 dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka komposisi dari kedua relasi tersebut adalah MR2  R1 = MR1  MR2

Contoh R1 = R2 = R2  R1 adalah MR2  R1 = MR1 . MR2 =

FUNGSI A dan B adalah himpunan Relasi biner f dari A ke B adalah fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. f : A  B f memetakan A ke B. A : daerah asal (domain) dari f B : daerah hasil (codomain) dari f.

Himpunan semua harga fungsi f disebut daerah hasil (range) f. range f = {b Є B | B = f(a) untuk suatu a Є A} f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Syarat Agar suatu relasi f dari X ke Y menjadi fungsi, maka harus dipenuhi : Setiap elemen x Є X mempunyai kawan di Y (disebut f(x)). f(x) tunggal

Contoh Tentukan manakah dari gambar relasi berikut ini yang merupakan fungsi dari X = {a, b, c} ke Y = {1, 2, 3, 4}!

A={1,2,3} B={u,v,w} f = {(1, u), (2, v), (3, w)} f = {(1, u), (2, u), (3, v)} f = {(1, u), (3, w)} f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}

Sifat Fungsi (injektif) Satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama

Contoh A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} f = {(1, w), (2, u), (3, v)} adalah fungsi satu-ke-satu A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} f = {(1, u), (2, u), (3, v)} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

Sifat Fungsi (Surjektif ) Pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen A.

Contoh Surjektif A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} f = {(1, u), (2, u), (3, v)} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. f = {(1, w), (2, u), (3, v)} fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Sifat Fungsi (Bijeksi) berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada

Fungsi Invers Misalkan f : X Y adalah suatu fungsi. Relasi dari Y ke X belum tentu pula merupakan fungsi. Jika f : X Y merupakan suatu fungsi Bijektif, maka relasi Y ke X juga merupakan fungsi. Jadi dengan demikian, fungsi tersebut dapat diinvers. f(x) = y f-1(y) = x f-1(1) = k1; f-1(2) = k3; f-1(3) = k3; f-1(3) = k4

Contoh Fungsi Invers Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1. Penyelesaian: Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1.

Komposisi Fungsi Komposisi fungsi (dinotasikan dengan “o”), digunakan untuk menghasilkan fungsi baru dari beberapa fungsi. Misalkan : f : XY dan g : YZ didefinisikan dengan komposisi fungsi f dan g (simbol gof) sebagai berikut : (x Є X) (gof)(x) = g(f(x)) invers : (gof)-1(x) = f-1og-1(x) = f-1(g-1(x))

Contoh Komposisi Fungsi Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi pada himpunan bilangan bulat Z yang didefinisikan dengan rumus f(n) = n + 1 dan g(n) = n2 , n Є Z. Hitunglah (gof)(n), (fof)(n), dan (fog)(n)! Jawab : (gof)(n) = g(f(n)) = (n+1)2 (fof)(n) = ? (fog)(n) = ?

Fungsi Khusus Floor Misalkan f : R (real) R (real) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut : f(x) = |_x_| = bilangan bulat terkecil yang kurang atau sama dengan x. maka f disebut fungsi floor. Contoh : f(3,23) = 3 ; f(5, 87) = 5 ; f(-4, 29) = ?

Ceiling Misalkan f : R (real) R (real) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut : f(x) = = bilangan bulat terbesar yang lebih atau sama dengan x maka f disebut fungsi ceiling. Contoh : f(3,23) = 4 ; f(5, 87) = 6 ; f(-4, 29) = ?

Fungsi modulo Fungsi modulo a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m. Contoh : 25 mod 7 = 4 16 mod 4 = 0 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 0

Fungsi-fungsi Lain Fungsi Faktorial Fungsi Eksponensial Fungsi Logaritmik Fungsi Rekursif Fungsi Chebysev Fungsi Fibonnaci