Sistem persamaan linier Metode Numerik S1 Teknik Informatika Sumarni Adi

Persamaan linier simultan Adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yg secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dgn m persamaan dan n variabel bebas dpt dituliskan : ) a₁₁ x ₁ +a ₁₂ x₂+a₁₃x₃+…+a₁nxn =b₁ ) a₂₁ x ₁ +a ₂₂ x₂+a₂₃x₃+…+a₂nxn =b₂ ) a₃₁ x ₁ +a ₃₂ x₂+a₃₃x₃+…+a₃nxn =b₃ ) a₄₁ x ₁ +a ₄₂ x₂+a₄₃x₃+…+a₄nxn =b₄ ----------------------------------------------------- am₁x₁ + am₂x₂ + am₃x₃ +… + amnxn = bm Dimana : aij untuk i =1 sampai m dan j = 1 sampai n adalah koefisien atau persamaan simultan Xi untuk i =1 sampai n adalah variabel bebas pada persamaan simultan. Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i =1 sampai n yang memneuhi semua persamaan yang diberikan Metode Numerik 2013

matriks Persamaan linier simultan di atas dpt dinyatakan dlm bentuk matriks, yaitu : a11 a12 a13 ... a1n x₁ b1   a21 a22 a23 … a2n x₂ b2 a31 a32 a33 … a3n x₃ b3 …. …. …. …. …. … = … am₁ am₂ am₃ .… amn xn bn Dapat dituliskan : A x = B, matriks A dinamakan matriks koefisien dari persamaan linier simultan. Vektor x disebut sebagai vektor variabel vektor B disebut sebagai vektor konstanta

Augmented matriks (matriks perluasan) adalah matriks yg merupakan perluasan matriks A dgn menambahkan Vektor B pada kolom terakhirnya dan di tuliskan : Augmented (A) = [AB] Sehingga secara detail, augmented matriks dr persamaan linier simultan dpt dituliskan : a11 a12 a13 ... a1n b1   a21 a22 a23 … a2n b2 a31 a32 a33 … a3n b3 …. …. …. …. …. am₁ am₂ am₃ .… amn bn

Operasi aritmatika matriks Ingat kembali operasi penjumlahan pada matriks Ingat kembali operasi pengurangan pada matriks Ingat kembali operasi perkalian pada matriks Masih Ingat ???? 

contoh Seorang engineering komputer ingin merakit 2 jenis komputer yaitu komputer A dan komputer B. kedua komputer tersebut menggunakan 3 hardware utama yaitu RAM, processor, dan HDD. Komputer pertama menggunakan 2 RAM, 1 Processor, dan 2 HDD, sedangkan komputer kedua menggunakan 3 RAM, 2 Processor, dan 1 HDD. Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier simultannya jika hardware yg dimiliki 82 RAM, 62 processor dan 72 HDD ?

jawaban Permasalahn di atas dapat dimodelkan dgn menyatakan : x = jumlah komputer A Y = jumlah komputer B Setiap HW dpt dinyatakan : RAM  2 RAM untuk Komputer A + 3 RAM untuk Komputer B Processor  1 Processor untuk Komputer A + 2 Processor untuk Komputer B HDD  2 HDD untuk Komputer A + 1 HDD untuk Komputer B Atau dapat dituliskan dengan : 2x + 3y = 82 X+2y = 62 2x+y = 72

latihan Sebuah garmen membuat 3 macam produk yaitu kursi, meja dan lemari. Produk-produk tsb membutuhkan 3 jenis bahan yaitu kayu papan, kayu ring dan paku. Spesifikasi produk : 1 kursi membutuhkan 2 kayu papan, 6 ring dan 10 paku 1 meja membutuhkan 2 kayu papan, 6 ring dan 12 paku 1 lemari membutuhkan 10 kayu papan, 10 ring dan 20 paku Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier simultannya jika tersedia 108 kayu papan, 204 kayu ring dan 376 paku ?

latihan 2. Seorang petani ingin menanam padi, jagung dan ketela diatas tanah seluas 12 hektar dgn ketentuan : Setiap hektar padi membutuhkan 10 kg pupuk urea dan 6 kg pestisida Setiap hektar jagung membutuhkan 8 kg pupuk urea dan 4 kg pestisida Setiap hektar ketela pohon membutuhkan 5 kg pupuk urea dan 3 kg pestisida Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier simultannya jika tersedia 97 kg pupuk urea dan 55 kg pestisida ?

latihan Perusahaan IBM memproduksi komputer,keputusan yang akan dibuat adalah berapa komputer yang akan diproduksi bulan depan untuk pasar di boston. Untuk memproduksi CC7 diperlukan labor 300hari kerja dan material $10.000 Untuk memproduksi CC8 diperlukan labor 500hari kerja dan material $15.000 Profit yg diinginkan $8000/CC7 dan $12000/CC8 Kapasitas produksi 200.000 hr kerja/bln,budget material $8.000.000/bln. Kebutuhan komputer dipasar boston 100 unit CC7/bln Kebutuhan komputer dipasar boston 200 unit CC8/bln Permasalahannya : Tentukan persamaan simultannya ???

Jawaban X = jml komputer CC7 yg diproduksi y= jml komputer CC8 yg diproduksi Labor : 300x+500y <=200.000 Material : 10.000x+15.000y <=8.000.000 Kebutuhan pasar : x >=100, y >=200 Profit/bln : z = 8000x+12.000y

Theorema pers linier simultan Persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat : Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan = jml variabel bebas Persamaan linier simultan non-homogen, dimana minimal ada satu nilai vektor konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0 Determinan dari matriks koefisien persamaan linier simultan ≠ 0

Untuk menyelesaikan permaslahan persamaan linier simultan dpt dilakuakn dgn metode grafis atau aturan crammer (Invers) Permasalahan akan muncul ketika jumlah variabel dan jumlah persamaanya >=4, sehingga metode di atas akan sulit dilakukan, maka metode numerik mengusulkan beberapa metode, yaitu : Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan

1. Metode eliminasi gaUss Metode ini merupakan pengembangan dr metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga diperoleh nilai dari suatu variabel bebas Untuk menggunakan metode eliminasi gauss ini, terlebih dahulu bentuk matriks diubah menjadi augmented matriks

Algoritma metode eliminasi gauss Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n Buat augmented matriks [A|B], namakan dgn A Untuk baris ke-i dimana i = 1 sampai n, perhatikan apakah nilai ai,i = 0. Bila ya : tukarkan baris ke – i dan baris i+k<=n, dimana ai+k,i ≠ 0, bila tdk ada berarti perhitungan tdk bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dgn tanpa penyelesaian. Bila Tidak : Lanjutkan 4. untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris elementer : Hitung c = aj,i/ai,i Untuk kolom k dimana k =1 sampai n+1 Hitung aj,k = aj,k - c.ai,k 5. Hitung akar, untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) Xi = 1 (bi-ai,i+1xi+1 - ai,i+2xi+2 - … - ai,nxn), dimana nilai i+k<=n ai,i Catatan : Metode eliminasi gauss ini merupakan metode eliminasi yg sering digunakan semasa SMA, hanya saja tekniknya menggunakan persamaan bukan menggunakan augmented matriks

Contoh Selesaikan sistem persamaan berikut : X₁+X₂+X₃ = 6

Jawab Buat menjadi augmented matriks : 1 1 1 6 1 2 -1 2 2 1 2 10 Lakukan operasi baris elementer sbg berikut : B2-B1 B3 - 2B1, Menjadi : 0 1 -2 -4 0 -1 0 -2

Lanjut B3+B2 1 1 1 6 0 1 -2 -4 0 0 -2 -6 Dengan demikian diperoleh penyelesaian : X₃ = -6/-2 = 3 X₂ = 1/1 (-4-(2)3) = 2 X₁ = 1/1 (6-2-3) = 1

2. Eliminasi gauss-Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi gauss, hanya saja metode ini menggunakan augmented matriks pada sebelah kiri dibawah menjadi matriks diagonal. Contohnya : a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁n b₁ 1 0 0 … 0 d₁ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂n b₂ 0 1 0 … 0 d₂ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃n b₃ 0 0 1 … 0 d₃ … … … … … … … … … … … an₁ an₂ an₃ ann bn 0 0 0 0 0 dn

2. Eliminasi gauss-jordan Penyelesaian dari persamaan linier simultan di atas adalah nilai d₁, d₂, d₃,…. dn Atau penyelesaiannya x₁ = d₁, x₂ = d₂, x₃ = d₃, …, Xn = dn Teknik yg digunakan pada metode eliminasi gauss-jordan ini sama seperti metode eliminasi gauss, yaitu menggunkan OBE (Operasi Baris Elementer) Bedanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir setiap baris

Algoritma metode eliminasi gauss-jordan Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n Buat augmented matriks [A|B], namakan dgn A Untuk baris ke-i dimana i = 1 sampai n, perhatikan apakah nilai ai,i = 0. Bila ya : tukarkan baris ke – i dan baris i+k<=n, dimana ai+k,i ≠ 0, bila tdk ada berarti perhitungan tdk bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dgn tanpa penyelesaian. Bila Tidak : Lanjutkan 2. Jadikan nilai diagonalnya menjadi 1, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k = 1 sampai n+1, hitung ai,k = ai,k/ai,i 4. untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris elementer : Untuk kolom k dimana k =1 sampai n Hitung c = aj,i Hitung aj,k = aj,k - c.ai,k 5. Penyelesaian, untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke-n sampai baris pertama) Xi = ai,n+1

2. Eliminasi gauss-jordan Contoh : Selesaikan persamaan linier simultan : x₁ + x₂ = 3 2x₁ + 4x₂ = 8

1 1 3 2 4 8  AUGMENTED MATRIKS Lakukan operasi OBE : 0 2 2 B2-2B₁ 0 1 1 B2/2 1 0 2 B1-B2 0 1 1 Penyelesaian persamaan linier simultan tsb adalah : x₁ = 2, x₂ = 1

latihan Selesaikan SPL simultan berikut dengan metode Gauss-Jordan : X₁+X₂+X₃ = 6 X₁+2X₂ - X₃ = 2 2X₁+X₂+2X₃ = 10

Jawaban 1 1 1 6 1 1 1 6 1 2 -1 2 1 2 -1 2 B2-B1 2 1 2 10 B3-B1 1 0 1 4 1 1 1 6 B1-B2 1 0 3 10 0 1 -2 -4 0 1 -2 -4 1 0 1 4 1 0 1 4 B3-B1

Jawaban 1 0 3 10 1 0 3 10 B1-3B3 0 1 -2 -4 0 1 -2 -4 0 0 -2 -6 B3/-2 0 0 1 3 1 0 0 1 1 0 0 1 X1 = 1 0 1 -2 -4 B2+2B3 0 1 0 2 X2 = 2 0 0 1 3 0 0 1 3 X3 = 3