Bilangan Bulat Matematika Diskrit

Materi Pembagian Bilangan prima Greatest Common Divisor dan Least Common Multiple Modulo Materi Viny Christanti M.

Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0 Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a  0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac. Notasi: a | b jika b = ac, c  Z dan a  0. (Z = himpunan bilangan bulat) Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga “b kelipatan a”.

Contoh 1: 4 | 12 karena 12:4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3. Tetapi 4 | 13 karena 13:4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).

Algoritma Pembagian Definisi 1: Notasi: Jika a dan b adalah bilangan bulat dimana a≠0 maka dinyatakan membagi b. Jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = a.c Jika a membagi b maka a adalah faktor b dan b disebut pengali dari a. Notasi: a | b menyatakan a membagi b. a | b menyatakan a tidak membagi b

Algoritma Pembagian… Teorema 1 Contoh: Misalkan a, b dan c adalah bilangan bulat maka: Jika a | b dan a | c maka a | (b+c) Jika a | b maka a | b.c untuk semua bilangan bulat c Jika a | b dan b | c maka a | c Contoh: 3 | 9 dan 3 | 27 , maka 3 | (9+27). Benar karena 3 | 36 3 | 6 maka 3 | 6.4 (sesuai teorema 1) 3 | 6 dan 6 | 18 maka3 | 18 (sesuai teorema 1)

Bilangan Bulat

Bilangan Bulat Prima Definisi 2 : Teorema 2: Bilangan bulat positif p > 1 disebut bilangan prima jika faktor positif dari p hanya 1 dan p. Bilangan bulat positif yang >1 tetapi bukan bilangan prima disebut bilangan komposit Teorema 2: Setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan secara unik sebagai produk dari bilangan bulat, dimana faktor prima tersebut ditulis dengan urutan menaik. Contoh: Bilangan prima dari 28 = 2.2.7 Bilangan prima dari 37 = 37

Bilangan Bulat Prima… Teorema 3: Contoh: Jika n adalah bilangan bulat komposit maka n memiliki pembagi (faktor) prima ≤√n Contoh: Apakah 123 merupakan bilangan prima atau komposit? Bilangan prima ≤√123 adalah 2, 3, 5 dan 7 3 | 123 maka 123 adalah bilangan komposit

Memeriksa apakah prima atau bukan Is 97 a prime? The floor of Ö97 = 9 The primes less than 9 are 2, 3, 5, and 7 We need to see if 97 is divisible by any of these numbers It is not, so 97 is a prime. Is 301 a prime? The floor of Ö301 = 17 We need to check 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 The numbers 2, 3, and 5 do not divide 301, but 7 does Therefore 301 is not a prime.

Bilangan Bulat Prima… Teorema 4: Contoh: Misalkan a bilangan bulat dan d bilangan bulat positif maka ada bilangan bulat unik yaitu q dan r dengan r ≤ d sehingga a=d.q + r Contoh: 237 = 35.6 + 27 a=237 d=35 q=6 r=27

A prime is divisible only by itself and 1. There is an infinite number of primes. Number of Primes

GCD dan LCM Definisi 1 : Definisi 2 : Definisi 3 : Definisi 4 : Jika a dan b adalah bilangan bulat bukan nol maka bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b disebutGCD dari a dan b dan dinyatakan sebagai GCD(a,b). Definisi 2 : Bilangan bulat a dan b disebut relatif prima jika GCD(a,b)=1 Definisi 3 : Bilangan bulat a1, a2, …, an adalah pasangan relatif prima jika GCD(ai,aj) = 1 selama 1 ≤i ≤j ≤n Definisi 4 : LCM dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh a dan b dan dinyatakan sebagai LCM(a,b).

Greatest Common Divisor Let a and b be integers, not both zero. The largest integer d such that d | a and d | b is called the greatest common divisor of a and b. Example : gcd(48, 72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 dan 72 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 dan 48 Maka gcd(48, 72) = 24

Greatest Common Divisor GCD menggunakan faktor prima: a = p1a1p2a2…pnan b = p1b1p2b2…pnbn Dimana p1< p2< …< pn dan ai, bi ∈ N for 1≤i≤n maka gcd(a, b) = p1 min(a1, b1). p2 min(a2, b2)…pn min(an, bn) Contoh: Berapa gcd(60,54)? 60 = 22 31 51 54 = 21 33 50 gcd(60,54) = 21.31.50 = 6

Least Common Multiple LCM menggunakan faktor prima: a = p1a1p2a2…pnan b = p1b1p2b2…pnbn Dimana p1< p2< …< pn dan ai, bi ∈ N for 1≤i≤n maka lcm(a, b) = p1 max(a1, b1). p2 max (a2, b2)…pn max (an, bn)

GCD dan LCM a.b = GCD(a,b).LCM(a,b) Teorema 1 : Jika a dan b adalah bilangan bulat positif maka a.b = GCD(a,b).LCM(a,b)

Relatif Prima Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCD(a, b) = 1. Contoh: 20 dan 3 relatif prima sebab GCD(20, 3) = 1. 7 dan 11 relatif prima karena GCD(7, 11) = 1. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab GCD(20, 5) = 5  1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga  ma + nb = 1

Relatif Prima Contoh : Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena GCD(20, 3) =1, atau dapat ditulis 2 . 20 + (–13) . 3 = 1   dengan m = 2 dan n = –13. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena GCD(20, 5) = 5  1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1.

Contoh GCD(24,36) = ? Maka GCD(24,36)=12 GCD(7,19)=1 Maka 7 dan 19 adalah relatif prima Apakah 10, 17 dan 21 adalah pasangan relatif prima ? GCD(10,17)=1 GCD(10,21)=1 GCD(17,21)=1 Maka 10,17,21 adalah relatif prima

Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m. Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1} (mengapa?).

Modulo Definisi 1 Definisi 2 Definisi 3 Jika a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif maka dapat dinyatakan a mod m adalah sisa hasil bagi dari a dibagi m Definisi 2 Jika a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif maka kongruen dengan b mod m jika m dapat membagi a – b a≅b mod m jika m|(a-b) a≅b mod m jika dan hanya jika a mod m = b mod m Definisi 3 Zm adalah himpunan bilangan bulat hasil modulo m

Contoh 23 mod 5 = 3 (23 = 5  4 + 3) 27 mod 3 = 0 (27 = 3  9 + 0) * Karena a negatif, bagi |a| dengan m mendapatkan sisa r’. Maka a mod m = m – r’ bila r’  0. Jadi |– 41| mod 9 = 5, sehingga –41 mod 9 = 9 – 5 = 4.

Algoritma ganjil genap Bagaimana dengan algoritma untuk bilangan prima JIKA A mod 2 = 0 MAKA A adalah bilangan genap SEBALIKNYA A adalah bilangan ganjil

Latihan Tunjukkan benar atau salah 19 | 89 19 | 561 19 | 209 19 | 8721

Latihan … Hitunglah -173 mod 21 0 mod 34 -340 mod 9 1987 mod 97

Latihan… Berapa GCD dan LCM dari pasangan berikut? 220, 1400 315, 825 2475, 32670 -456, 688

Selamat Belajar