ANOVA (Analysis of Variance) 22/10/2017

TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan Umum Setelah mengikuti materi ini diharapkan memahami Uji Hipotesis Beda Rata-rata lebih dari 2 kelompok independen Tujuan khusus, untuk memahami: Pemanfaatan uji beda rata-rata lebih dari 2 kel. indep Asumsi Uji Anova Macam-macam Uji Anova Prosedur Uji Anova Latihan soal 22/10/2017

ANOVA Uji hipotesis perbedaan nilai rata-rata lebih dari 2 kelompok independen Contoh: Adakah perbedaan nilai debit pengukuran di station hulu, tengah dan hilir. Adakah perbedaan Nilai rata rata parameter DO dari station, I dan II Jika uji 2 mean  “Z”, “t-test” Kel 1 X Uji t atau t-test Kel 2 X 22/10/2017

ANOVA Jika >2 mean  uji Z dan t-test tidak efektif lagi karena dilakukan berulang kali  akan menyebabkan error type I (α) menjadi besar Prinsip uji Anova adalah melakukan telaah variabilitas data menjadi dua sumber variasi yaitu variasi dalam kelompok (within) dan variasi antar kelompok (between) α* = 1-(1-α)n 22/10/2017

PRINSIP UJI ANOVA X Treatment 1 Treatment 2 Treatment k Xi … X Deviasi X dengan Xi  Varian Within (S2w) Deviasi X dengan X  Varian Between (S2b) X 22/10/2017

ANOVA Asumsi Uji Anova Hipotesis Varian semua populasi adalah sama (homogen) Sampel/kelompok independen Populasi terdistribusi secara normal Jenis data yang dihubungkan adalah numerik dengan kategori (untuk kategori yang lebih dari 2 kelompok) Ho:μ1=μ2=μ3 (semua μ adalah sama) Ha: μ1≠μ2=μ3 (Tidak semua μ adalah sama) atau setidaknya salah satu dari μ berbeda dengan lainnya Hipotesis 22/10/2017

ANOVA Macam-macam Uji ANOVA Satu arah (one way anova) Melihat perbedaan bermacam-macam data hujan yang ada dalam rekaman data statiun (sampel) Dua arah (two way anova) Sampel dibedakan lagi berdasarkan lokasi station (station A dan B) Multi arah (MANOVA) Masing-masing data dibedakan lagi berdasarkan musim Sampel Stasiun A maupun station B dibedakan lagi berdasarkan kelompok lokasi 22/10/2017

ANOVA Prosedur Uji ANOVA Ho:μ1=μ2=μ3 (semua μ adalah sama) Ha: μ1≠μ2=μ3 (Tidak semua μ adalah sama) atau setidaknya salah satu dari μ berbeda dengan lainnya Tentukan tingkat kepercayaan Test Statistik : Uji Anova Critical region (Ho ditolak, jika: F hitung ≥ F tabel (k-1, N-k;α) (k-1 = numerator), (N-k=denominator) Perhitungan uji Anova Keputusan: Kesimpulan: 22/10/2017

ANOVA F-rasio adalah perbandingan antara variasi antar group (between group) dengan variasi di dalam group (within group) Jika rasio tersebut besar, berarti variasi yang terjadi adalah akibat dari perbedaan treatment/kelompok Jika rasio tersebut kecil berarti variasi yang terjadi hanyalah akibat perbedaan antar individu Berapa rasio yang disebut besar? Tergantung dari derajat kemaknaan yang dapat diterima 22/10/2017

ANOVA Ada dua sumber varians untuk mengestimasi σ2 Between group (antar group) n1(x1 – x)2 + n2(x2 – x)2 + …+ nk(xk – x )2 S2b = k – 1 k = jumlah kelompok Within groups (pooled variance) (n1– 1)S12 + (n2– 1)S22 + …+ (nk– 1)Sk2 S2w = N – k Ratio Variance S2b F = S2w 22/10/2017

ANOVA Data Lay-out n1X1 + n2X2 + … + nkXk X = N Treatment 1 Treatment k Total X1 x2 X2 … Xn n1 n2 nk N=… Xk X S12 S22 Sk2 S2 n1X1 + n2X2 + … + nkXk X = N 22/10/2017

ANOVA Contoh Kasus No Obat 1 Obat 2 Obat 3 1 47 55 54 2 53 58 50 3 49 Tiga macam pencatatan dilakukan trialnya terhadap data debit sungai. Buktikan apakah efek ketiga data tersebut sama (α=0,05) No Obat 1 Obat 2 Obat 3 1 47 55 54 2 53 58 50 3 49 51 4 61 5 46 62 Rata-rata 56 Varians 7.5 12.5 3.5 22/10/2017

Jawab Ho:μ1=μ2=μ3 (Tidak ada perbedaan data dari stasiun 1, 2 & 3) Ha: μ1≠μ2=μ3 (Ada perbedaan data 1, 2 dan 3) 1. 2. Tingkat kepercayaan 95% (α=0,05) 5 (49) + 5 (56) + 5 (51) X = 15 245 + 280 + 255 X = = 52 15 (5 – 1)7,5 + (5 – 1)12,5 + (5 – 1)3,5 S2w = = 7,8 15 – 3 5(49 – 52)2 + 5(56 – 52)2 + 5(51 – 52)2 S2b = = 65 3 – 1 S2b 65 F = = = 8,3 S2w 7,8 22/10/2017 F hitung

Lihat tabel F (Cuplikan) Df1 (numerator) = k-1=3-1=2 Df2 (denominator)=N-k=15-3=12 Nilai F hitung = 8,3 Denominator DF Area Numerator DF 1 2 3 4 5 6 dst 12 0,100 … 2,81 0,050 3,89 0,025 5,10 0,010 6,93 0,005 8,51 0,001 12,97 F hitung (8,3) > F tabel (3,89)  keputusan Ho ditolak Kesimpulan: Dengan α=5% ada perbedaan yang signifikan efek dari ketiga data debit t tersebut (Obat 1, 2 dan 3) 22/10/2017

ANALISIS MULTIPLE COMPARISON (POSTHOC TEST) Analisis ini bertujuan  mengetahui lebih lanjut kelompok mana saja yang lebih berbeda meannya  bilamana terjadi pada pengujian Anova dihasilkan ada perbedaan yang signifikan (Ho ditolak) Jenis analisis  Bonferroni, Honestly Significant Difference (HSD), Scheffe dll Perhitungan Bonferroni sbb: xi - xj tij = ---------------------------- √S2w [(1/ni) + (1/nj)] Dengan level of Sig (α) sbb: α α* = ------ (k2) df = n - k 22/10/2017

CONTOH KASUS 3! Kombinasi uji t yang mungkin adalah (32) = ------------ = 3 (3-2)! 2! Pada soal di atas alpha 5% (0,05) maka α bonferroni adalah 0,05 α* = ---------- = 0,0167 = 0,01 3 Lanjutkan dengan uji t antara kelompok I dan II, I dan III, II dan III 22/10/2017

Lanjutan-Bonferroni xi - xj tij = ---------------------------- Uji kelompok I dan II xi - xj tij = ---------------------------- √S2w [(1/ni) + (1/nj)] 49 - 56 t12 = ------------------------ = -3,95 √7,8 [(1/5) + (1/5)] Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12 Degree of Freedom (df) Area in Two Tail 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 … . 12 0,695 1,356 1,782 2,178 2,681 3,055 4,318 dst Dg nilai t hitung = -3,95 dan df=12, maka nilai p <0,01  nilai p ini < α* (0,01) Maka Ho ditolak  Kesimp: secara statistik ada perbedaan efek Obat 1 dan 2 22/10/2017

Lanjutan-Bonferroni 49 - 51 Uji kelompok I dan III √7,8 [(1/5) + (1/5)] Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12 Degree of Freedom (df) Area in Two Tail 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 … . 12 0,695 1,356 1,782 2,178 2,681 3,055 4,318 dst Dg nilai t hitung = -1,13 dan df=12, maka (0,5>nilai p>0,2)  nilai p ini >α* (0,01) Maka Ho gatol  Kesimp: secara statistik tidak ada perbedaan efek Obat 1 dan 3 22/10/2017

Lanjutan-Bonferroni 56 - 51 Uji kelompok II dan III √7,8 [(1/5) + (1/5)] Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12 Degree of Freedom (df) Area in Two Tail 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 … . 12 0,695 1,356 1,782 2,178 2,681 3,055 4,318 dst Dg nilai t hitung = 2,83 dan df=12, maka (0,02>nilai p>0,01)  nilai p ini >α* (0,01) Maka Ho gatol  Kesimp: secara statistik tidak ada perbedaan efek Obat 2 dan 3 22/10/2017