Topik Lanjutan Dalam Teori Produksi

Pembahasan Fungsi Produksi Cobb-Douglas Ketidakefesienan X Kemajuan Teknologi Pemrograman Linier-konsep Dasar Pemrograman Linier Dengan Lebih Dari Dua Persoalan Dual Dan Harga Bayangan

Fungsi Produksi Cobb-Douglas Merupakan fungsi produksi yg paling sering digunakan dlm penelitian empiris, dinyatakan berikut : Jika, α + β = 1 (trdpt tambahan hasil konstan atas skala produksi) α + β > 1 (trdpt tambahan hasil meningkat atas skala produksi) α + β < 1 (trdpt tambahan hasil menurun atas skala produksi) Keterangan Q : Output L Tenaga Kerja K Modal A Parameter positif α, β Elastisitas

Jika A = 10 dan α = β = ½, diperoleh Contoh : Jika A = 10 dan α = β = ½, diperoleh Karena α + β = 1 maka, menunjukkan tambahan hasil yg konstan Untuk isokuan akan memiliki luas yg sama dng paralel sepanjang alur ekspansi, yaitu garis lurus yg ditarik dr titik 0.

Dng K = konstan dan L berubah-rubah kita akan memperoleh Tanah Tenaga Kerja TPL APL MPL 1 10 ... 2 18 9 8 3 24 6 4 28 7 5 30

Ketidakefesienan X Bagaimanapun, dalam praktek, tenaga kerja ataupun manajemen tdk bekerja sekeras mungkin atau seefesien mungkin, sehingga output tdk maksimum Ketidakefesienan-X sering terjadi karena kurangnya motivasi, tdk adanya insentif atau tekanan persaingan dll.

Kemajuan Teknologi Kemajuan teknologi berkenaan dng kenaikan produktivitas input dan dpt dicerminkan oleh pergeseran menuju titik nol dr isokuan yg mengacu pd setiap tingkat output. Hicks menggolongkan kemajuan teknologi sebagai netral, padat modal (capital-using), dan padat karya (labor-using)

Panel A karena kemajuan teknologi netral menaikkan MPL dan MPK dlm proporsi sama, slope isokuan tetap konstan, Q=100, dpt diproduksi dng 2L dan 2K, bukan 4L dan 4K

Panel B karena kemajuan teknologi padat K meningkat MPK secara proporsional lebih dr MPL sehingga kemiringan absolut isokuan bergeser menuju titik nol sepanjang garis K/L=1

Panel C kemajuan ini lebih memperbanyak K daripada L Panel C kemajuan ini lebih memperbanyak K daripada L. Kebalikan dari panel B

Pemrograman Linier-konsep Dasar Teknis matematis utk menyelesaikan persoalan maksimisasi atau minimisasi bila trdpt satu atau lebih kendala. Pemrograma ini didasarkan pd asumsi : Trdpt lebih dari satu kendala Output dan harga faktor produksi adalah konstan Trdpt tambahan hasil yg konstan atas skala produksi dan proporsi input atau faktor konstan.

Panel A Suatu komoditi dpt diproduksi dng 3 proses: Dng K/L = 2,5 Sebesar 50 output Dng menggunakan input 2 kali lipat kita bisa dapat kan isokuan utk Q = 100

Panel B Kendala yg umum dicerminkan kurva biaya GH. Segitiga 0JN penyelesaian yg memenuhi syarat dan penyelesaian optimal titik E dng Q = 100

Panel C Bila prshn mengalami kendala dng L=5 dan K=8. Maka kita gunakan 50Q digaris 0A produksi 1 dan 50Q lainya digaris (AR=0B) di produksi 2

Pemrograman Linier Dengan Lebih Dari Dua Persoalan ini umumnya melibatkan maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya. Langkah-2 penyelesaianya adalah sbb: Nyatakan dlm bentuk persamaan atau pertidaksamaan Buatlah kendala-2 pertidaksamaan menjadi persamaan dan gambarkan utk menentukan daerah penyelesaian yg memenuhi syarat. Gambarkan fungsi objektif Cari penyelesaian optimal.

dng menyatakan data sbg persaman atau pertidaksamaan, kita peroleh : Misalkan : prshn memproduksi (X danY), tiap unit X diperlukan 1L, 3K dan 1R, dan unit Y diperlukan 0,5L, 3K dan 3R. Penggunaan tdk lebih dr 8L, 30K dan 24R. Marjin keuntungan adalah $4 tiap unit X dan $3 utk unit Y dng menyatakan data sbg persaman atau pertidaksamaan, kita peroleh : Fungsi objektif π = 4X + 3Y Fungsi ini berhadapan dng kendala : Kendala L : 1X + 0,5Y ≤ 8 Kendala K 3X + 3Y 30 Kendala R 1X + 3Y 24 Kendala non negatif X, Y ≥ Kendala teknologi

Tiap kendala teknologi akan ditunjukkan dng gambar panel A 2. Dng memperlakukan tiap kendala teknologi sbg persamaan dan menyelesaikan untuk Y kita peroleh : Kendala L Y = 16 - 2X Kendala K 10 – 1X Kendala R 8 – 1/3X Tiap kendala teknologi akan ditunjukkan dng gambar panel A

Garis kendala non negatif ditunjukkan sumbu X dan Y Garis kendala non negatif ditunjukkan sumbu X dan Y. Daerah penyelesaian yg memenuhi syarat adalah daerah warna hitam 0ABEC

3. Dng menyelesaikan fungsi objektif utk Y kita peroleh : Rasio keuntungan akan ditunjukkan dng gambar panel B

Rangkaian garis keuntungan yg sama yg putus-putus (satu utk tiap nilai π) dng kemiringan -4/3 (rasio keuntungan)

3. Daerah penyelesaian yg memenuhi syarat menyinggung garis keuntungan sama yg tertinggi pada titik E (6X, 4Y) di mana keuntungan adalah maksimum sebesar.

Persoalan Dual Dan Harga Bayangan Setiap persoalan pemrograman linier yg disebut persoalan primal mempunyai persoalan yg berhubungan, yg disebut persoalan dual. Misalnya, jika persoalan primal adalah maksimisasi keuntungan, maka persoalan dualnya adalah minimisasi biaya. Penyelesaian persoalan dual adalah shadow prices (harga bayangan)

Utk menentukan harga bayanga L (lihat contoh soal sebelumya) kita mulai dr maksimisasi keuntungan titik E, yg menghasilkan π = $36. kemudian kita menaikkan L sebesar satu unit sehingga kendala L menjadi 1X + 0,5Y ≤ 9. lihat gambar :

Panel A oleh garis sejajar terhadap garis kendala L sebelumnya, dan memotong garis K pada titik E”. Kini daerah penyelesaian yg memenuhi syarat adalah daerah warna hitam 0ABE”C’.

Panel B menunjukkan, bahwa keuntungan kini dimaksimisasi dititik E” (8X, 2Y) pada ($4)(8)+($3)(2)=$38. dengan demikian, harga bayangan L adalah $2.