ALIRAN INVISCID DAN INCOMPRESSIBLE, PERSAMAAN MOMENTUM, PERSAMAAN EULER DAN PERSAMAAN BERNOULLI Dosen: Novi Indah Riani, S.Pd., MT.

PERSAMAAN KONTINUITAS Apabila suatu fluida mengalir dalam sebuah pipa dengan luas penampang A dan kecepatan aliran fluidanya v, maka banyaknya fluida (volume) yang mengalir melalui penampang tersebut tiap satuan waktu dinamakan debit. Dalam bentuk persamaan debit dinyatakan sebagai berikut: dan

energi Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan usaha. Suatu benda dikatakan memiliki energi jika benda tersebut dapat melakukan usaha.

1. Energi kinetik 2. Energi POTENSIAL h Ep = m g h 2. Energi POTENSIAL

Berdasarkan Hukum II Newton, diketahui bahwa percepatan berbanding lurus dengan gaya dan berbanding terbalik dengan massa. Maka usaha yang dilakukan pada benda adalah W = F . s jika F= m.a maka W = m . a . S F = gaya (N) s = perpindahan (m) m = massa benda (kg) a = percepatan benda (m/s2)

Jika gaya F bekerja pada benda, benda tersebut akan bergerak berubah beraturan (GLBB), sehingga berlaku atau dengan, V0 = kecepatan awal benda (m/s) Vt = kecepatan akhir benda (m/s) a = percepatan benda (m/s2) s = perpindahan (m)

Sehingga persamaan usaha pada benda menjadi Dengan demikian, didapat hubungan usaha dan energi kinetik, yaitu

Hukum Kekekalan Energi HUKUM KEKEKALAN ENERGI : Energi tidak dapat diciptakan dan juga tidak dapat dimusnahkan, tetapi hanya dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk yang lain.

Usaha yang dilakukan pada benda sama dengan negatif perubahan energi potensial Usaha yang dilakukan pada benda sama dengan perubahan energi kinetik

Dari kedua persamaan di atas, diperoleh: atau dapat ditulis sebagai berikut:

Jumlah energi potensial dengan energi kinetik disebut energi mekanik (Em). Oleh karena itu, persamaan di atas dinamakan hukum kekekalan energi mekanik (Em) Dari rumus tersebut didapat bahwa jumlah energi kinetik dan energi potensial suatu benda bernilai tetap jika gaya-gaya yang bekerja pada benda bersifat konservatif.

6.1. Persamaan Momentum untuk Aliran Tanpa Gesekan (Persamaan EULER)

Untuk komponen-komponennya: Secara umum Pers. EULER:

Komponen-komponennya dalam koordinat Rectangular: Sehingga Pers. EULER: Komponen-komponennya dalam koordinat Rectangular:

Bagaimana Persamaan EULER dalam Koordinat STREAMLINE? 6.2. Persamaan EULER dalam Koordinat Streamline (S, n) Bagaimana Persamaan EULER dalam Koordinat STREAMLINE? Koordinat Streamline : S menyinggung streamline n ^ streamline Hukum Newton II sepanjang Streamline (S) :

Persamaan EULER sepanjang Streamline (s) Note: Persamaan EULER sepanjang Streamline (s) Atau

Sepanjang Streamline (s)  Vs = Vs (s, t) Sehingga: bila gaya body diabaikan Untuk aliran steady: artinya: bila kecepatan menurun mengakibatkan tekanan naik

Persamaan EULER sepanjang garis n Hukum Newton II untuk garis ^ stream line (garis n) Atau Note: - an = adalah percepatan normal yang arah (+) bila menuju titik pusat (>< n) - ac = percepatan centripetal yang (+) meninggalkan titik pusat. Persamaan EULER sepanjang garis n (^ streamline)

Untuk gerak melingkar beraturan: Maka: Note: Untuk gerak melingkar tidak beraturan (unsteady) Didapat:

Diskusi untuk persamaan EULER: Bila lintasan MELENGKUNG pd posisi VERTIKAL: Berlaku: Note: perubahan tekanan terjadi bila: - ketinggian berubah - kelengkungan berubah

Bila lintasan MELENGKUNG pd posisi HORIZONTAL: Sehingga: Note: - perubahan tekanan terjadi hanya karena garis kelengkungan (R) berubah.

Bila lintasan LURUS pd posisi HORIZONTAL: Sehingga berlaku: Horizontal: Note: pada lintasan lurus tidak terjadi perubahan tekanan sepanjang penampang saluran Lurus:

Anggapan-anggapan untuk Menurunkan Persamaan Bernoulli Zat cair adalah ideal, tidak punya kekentalan Zat cair adalah homogen & tidak termampatkan Aliran adalah kontinyu & sepanjang garis arus Kecepatan aliran adalah merata dalam suatu penampang Gaya yang bekerja hanya gaya berat & tekanan

6.3. Persamaan BERNOULLI (Integrasi dari persamaan Euler sepanjang stream line untuk aliran steady) Persamaan Euler untuk Aliran Steady sepanjang streamline (s): X ds dp dz dV Dimana:

Untuk aliran inkompresibel (ρ = konstan) : Sehingga: Atau: Untuk aliran inkompresibel (ρ = konstan) : …. A - aliran steady - aliran inkompresibel - aliran tanpa gesekan - aliran sepanjang streamline Persamaan Bernoulli

AZAS BERNOULLI Tekanan fluida di tempat yang kecepatannya besar lebih kecil daripada tekanan fluida di tempat yang kecepatan-nya kecil. Keterangan: p = tekanan (N/m2) r = massa jenis fluida (kg/m3) g = percepatan gravitasi (m/s2) h = ketinggian fluida dari titik acuan (m) v = kecepatan fluida (m/s) Penurunan pers. Bernoulli utk aliran sepanjang garis arus didasarkan pada hukum Newton II utk gerak F = M a

Aplikasi pers. Bernoulli utk kedua titik di dalam medan aliran Pers. Bernoulli dapat digunakan utk menentukkan garis tekanan dan tenaga Aplikasi pers. Bernoulli utk kedua titik di dalam medan aliran Ket : z : elevasi (tinggi tempat) : tinggi kecepatan : tinggi tekanan ∑hf : jumlah kehilangan tenaga primer (krn gesekan) sepanjang pengaliran ∑he : jumlah kehilangan tenaga sekunder (perubahan tampang aliran) sepanjang pengaliran

Apabila diketahui jenis aliran dari nilai bilangan Reynolds, maka nilai kehilangan tenaga karena gesekan menjadi : v merupakan kekentalan kinematik Dimana : hf = kehilangan tenaga krn gesekan L = Panjang pipa D = diameter pipa V = kecepatan aliran Q = debit f = gesekan

Aplikasi Persamaan Bernoulli:

Tekanan yang diukur dengan alat ukur yang bergerak bersama-sama aliran 6.4. Tekanan Statis, Stagnasi dan Dinamis Persamaan Bernoulli Tekanan statis (tekanan termodinamik) …. (A) Tekanan STATIS (p): Tekanan yang diukur dengan alat ukur yang bergerak bersama-sama aliran Jadi tidak ada kecepatan relatif antara alat ukur dan aliran (sulit dilaksanakan) Mengukur tekanan statis untuk Streamline lurus:

Tekanan STAGNASI (po)  Tekanan TOTAL (untuk aliran inkompresibel): Mengukur tekanan statis untuk streamline melengkung: Tekanan STAGNASI (po)  Tekanan TOTAL (untuk aliran inkompresibel): Tekanan yang diukur dengan cara memperlambat aliran hingga berhenti dengan proses tanpa gesekan

adalah merupakan selisih antara tekanan stagnasi dan tekanan statis Tekanan DINAMIS: adalah merupakan selisih antara tekanan stagnasi dan tekanan statis karena titik o adalah titik stagnasi  Vo = 0 ZA = Zo

Sehingga Note: Jadi dengan mengukur tekanan Stagnasi (po) dan tekanan Statis (pA) dapat ditentukan kecepatan aliran (VA). Dimana tekanan Stagnasi dan tekanan Statis dapat diukur bersama-sama dengan menggunakan alat ukur : untuk streamline lurus : “Gabungan Total Head Tube dan Wall Static Tab” untuk streamline lurus & lengkung : “PITOT-STATIC TUBE” tekanan statis tekanan stagnasi tekanan dinamis Atau

Gabungan Total Head tube & Wall Static tap Pitot-Static Tube

6.5. Hubungan antara Hukum Termodinamika I dengan Pers. Bernoulli Persamaan Dasar Energi =0 (1) =0 (2) =0 (3) =0 (4)

………………………persamaan (1) Sehingga ………………………persamaan (1) 0=(4) sedangkan dari persamaan Kontinuitas didapat:

Sementara Sehingga pers. (1) menjadi Untuk aliran inkompresibel  v1 = v2 = 1/ρ , maka ………………………persamaan (2)

Bila maka pesamaan (ii) menjadi persamaan Bernoulli. Maka asumsi tambahannya menjadi: (6). Aliran Incompressible: v1 = v2 = 1/r (7).

Pers. (2) berubah menjadi Atau …. (B) Note: Pers. Bernoulli (A) dibangun dari persamaan Momentum (Navier-Stokes), untuk kondisi aliran: steady, incompressble, tanpa gesekan & sepanjang streamline. Pers. Bernoulli (B) dibangun dari persamaan Energi (Hk Termodinamika I), untuk kondisi aliran seperti asumsi 1 s/d 7 diatas.

Bila tidak ada perpan & tidak ada perubahan energi dalam dari fluida betul untuk aliran incompressible tanpa gesekan

x 1/g head akibat tekanan statis lokal head akibat tekanan dinamis lokal Z head akibat ketinggian lokal C head TOTAL

Untuk Aliran Incompressibe &Tanpa Gesekan, Berlaku Persamaan Bernoulli:

Contoh kasus Pengukuran Debit Aliran Melintasi Rectangular Elbow 900 DUCTING SYSTEM Rectangular Elbow 900 Flow Direction Contoh kasus Pengukuran Debit Aliran Melintasi Rectangular Elbow 900

Flow Diection

Bagaimana bisa kita mengetahui satu titik dengan titik lainnya (pipa) terjadi kehilangan energi dan tekanan, caranya yakni dibantu dengan garis khayal HGL (hydraulic grade line) dan EGL (energy grade line). Garis kemiringan hidraulik (garis kemiringan tekanan) atau HGL adalah garis yang menunjukan tinggi tekanan (pressure head) sepanjang pipa. Di dalam pipa dengan penampang seragam, tinggi kecepatan adalah konstan dan garis kemiringan enersi adalah sejajar dengan garis kemiringan tekanan (EGL // HGL).  Sedangkan garis gradien energi (EGL) adalah garis yang menghubungkan sederetan titik-titik yang menggambarkan energi tersedia untuk tiap titik sepanjang pipa sebagai ordinat, yang digambar terhadap jarak sepanjang pipa sebagai absis.