Bab 8 : ALIRAN INTERNAL VISCOUS INKOMPRESIBEL 8.1. Pendahuluan Aliran Internal adalah aliran dimana fluida yang mengalir dilingkupi secara penuh oleh suatu batas padat misal : aliran dalam pipa

8.1. Pendahuluan Kecepatan Rata-rata:

8.1. Pendahuluan Entrance Length (L) Untuk Aliran Laminar:  tergantung pada Bilangan Reynolds (Re) Untuk Aliran Turbulent:  akibat mixing antar partikel/lapisan dalam aliran, maka boundary layer cepat tumbuh akibatnya aliran fully developed lebih cepat tercapai:

8.2. Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga Bagian A: Aliran Lamnar Berkembang Penuh (Fully Developed Laminar Flow) 8.2. Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga 8.2.1. Kedua Plat Diam asumsi: - aliran steady & incompressible Bila pada dinding plat tidak ada slip, maka kondisi batasnya: di y = 0  u = 0 di y = a  u = 0

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Karena aliran fully developed (berkembang penuh), maka kecepatan tidak berubah thd x : u = u(y) Juga tidak ada komponen kecepatan ke arah y & z: v = 0 & w = 0 Persamaam Momentum dlm arah x: asumsi: (1). Aliran steady (2). Aliran fully developed  Fsx = 0 (3). FBx = 0 = 0 (3) = 0 (1)

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Untuk aliran fully developed  Fsx = 0, jadi:

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Persamaan A berlaku untuk harga-harga x dan y, jadi: Bila diintegralkan persaman tersebut menjadi: yang berarti tegangan geser bervariasi linear terhadap y. Untuk aliran Laminar berlaku:

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Subtitusi persamaan (b) ke (a) didapat: sehingga: dimana : C1 & C2 = konstanta Kondisi batas untuk kedua plat diam: di y = 0  u = 0  C2 = 0 di y = a  u = 0  ….(B) Persamaan Umum Profil Kecepatan Aliran Antara Dua Plat Paralel

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Sehingga untuk aliran antara dua plat paralel diam mempunyai persamaan: Profil kecepatan : atau: Distribusi tegangan geser: …. (C) Persamaan Profil Kecepatan Aliran Antara Dua Plat Paralel Diam

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Debit (volumetric flowrate): untuk lebar dalam arah z adalah l : Jadi debit persatuan lebar (l) adalah: Debit sebagai fungsi dari pressure drop (Dp): - karena , maka:

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Sehingga debit sebagai fungsi Dp: Kecepatan rata-rata: Posisi Kecepatan Maksimum: Syarat posisi kecepatan maksimum dicapai bila

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam dari profil kecepatan (pers. C) didapat: berarti: jadi pada y = a/2  u = Umax  di tengah

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam atau dalam bentuk lain dapat ditulis: Transformasi koordinat: Sebelumnya menggunakan koordinat asal dengan y = 0 pada plat bawah Sekarang koordinat asal dipindahkan ke tengah  y diganti y’

8.2.1 Aliran antara Dua Plat Paralel Tak Berhingga – Kedua Plat Diam Kondisi batas untuk koordinat baru: - pada plat atas : u = 0  di y’ = a/2 - pada plat bawah : u = 0  di y’ = - a/2 Kondisi batas untuk koordinat lama: - pada plat atas : u = 0  di y = a - pada plat bawah : u = 0  di y = 0 sehingga  y = y’ + a/2 maka persamaan profil kecepatan (B) menjadi: jadi profil kecepatan parabolik Transisi aliran pada Re @ 1400

8.2. 2. Pelat Atas Bergerak dengan Kecepatan Konstan Persamaan Profil Kecepatan aliran antara 2-Pelat Pararlel (pers. B): Kondisi batas: - pada plat bawah : y = 0  u = 0  C2 = 0 - pada plat atas : y = a  u = U 

8.2. 2. Pelat Atas Bergerak dengan Kecepatan Konstan Sehingga: … (D) Persamaan Profil Kecepatan Aliran Antara Dua Plat Paralel salah satu plat bergerak dengan kecepatan konstan

8.2. 2. Pelat Atas Bergerak dengan Kecepatan Konstan Distribusi tegangan geser: Debit aliran (Volumetric flowrate): untuk lebar dalam arah z adalah l :

8.2. 2. Pelat Atas Bergerak dengan Kecepatan Konstan sehingga debit aliran per lebar plat (l ): Kecepatan Rata-rata: Posisi Kecepatan Maksimum: Syarat posisi kecepatan maksimum dicapai bila: dari profil kecepatan (pers. C) didapat:

8.2. 2. Pelat Atas Bergerak dengan Kecepatan Konstan berarti: untuk aliran ini kondisi transisi terjadi pada Re > 1500.

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa untuk aliran steady & fully developed  Fsx = 0 Bila tekanan pada titik pusat CV = p, maka menurut Deret Taylor diperoleh Gaya-gaya permukaan sbb.: - Gaya (tekan) permukaan sebelah kiri:

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa - Gaya (tekan) permukaan kanan: Bila teg. geser pada ttik pusat CV = trx - Gaya (geser) permukaan dalam: - Gaya (geser) permukaan luar: Sehingga total gaya permukaan:

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa atau: Dimana trx hanya fungsi dari r 

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa Bila diintegralkan menjadi: dimana untuk aliran laminar berlaku: maka: Sehingga: ..(E)

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa Kondisi Batas: pada r = R  u = 0 dari pertimbangan fisik kita tahu bahwa pada r = 0 (di tengah), kecepatan aliran adalah maksimum, hal ini hanya mungkin bila C1 = 0 jadi pada r = 0  Persamaan (E) menjadi: Dari kondisi batas (1), dimana: ……. (F)

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa Sehingga pers. (F) menjadi: atau: Distribusi Tegangan Geser: …(G)

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa Debit aliran: Sehingga: Debit fungsi dari pressure drop: - karena maka: sehingga debit fungsi Dp: atau

8.3. Aliran Laminar Fully Developed Melalui Pipa Kecepatan Rata-rata:  Posisi kecepatan maksimum: syarat posisi kecepatan maksimum dicapai bila dari profil kecepatan (pers. G) didapat: maka terjadi pada r = 0. pada r = 0 

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran Perubahan tekanan dapat disebabkan oleh: perubahan ketinggian perubahan kecepatan gesekan Gesekan menyebabkan kerugian tekanan: - 1. Major Losses - 2. Minor Losses Distribusi Tegangan Geser pada aliran yang berkembang penuh di dalam pipa: Bernoulli

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran Persamaan momentum dalam arah x: asumsi: 1). FBX = 0 (pipa horisontal) 2). Aliran steady 3). Aliran incompressible 4). Aliran fully developed maka: FSX = 0 sehingga: Note: tegangan geser berubah secara linear dalam arah r. = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3, 4)

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran Tegangan gaser pada dinding (tw) terjadi pada r = R : Note: persamaan (H) berlaku untuk aliran fully deveoped dalam pipa, baik Laminar maupun Turbulent Aliran Laminar Untuk aliran laminar fully developed, profil kecepatannya parabolik, sbb : Kecepatan maksimum pada posisi r = 0 (ditengah): ……(H)

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran sehingga: atau: untuk aliran laminar dalam pipa, kecepatan rata-rata ditunjukkan sbb: Aliran Turbulent Untuk aliran turbulent, tidak mempunyai formulasi sederhana yang menghubungkan antara tegangan geser dan medan kecepatan rata-rata seperti aliran laminar.

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran Fluktuasi kecepatan dalam aliran turbulent menyebabkan pertukaran momentum antara lapisan fluida, sehingga Tegangan Geser Total : bila dibagi dengan r : dimana: Reynolds Stress (apparent stress) tlaminar tturbulent

8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran Note: Pada daerah dekat dinding tlaminar lebih dominant & tturbulent = 0, karena No-slip conditions sehingga: Total tegangan geser bervariasi linear dalam arah radial Pada sumbu pipa tturbulent dominant & tlaminar = 0

8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran Fully Developed Secara empiris profil kecepatan untuk aliran turbulent dalam smooth pipe diberikan dalam persamanan power-law : dimana : - n = f(Re) - pers. Power-law tidak berlaku untuk (y/R < 0,04) - n adalah slope dr grafik dibawah ini

8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran Fully Developed Gambar diatas : n = f(Re), dimana bila Re  n :

8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran Fully Developed Persamaan Power-law dapat dikembangkan untuk mendapatkan hubungan antara dan U : dimana semakin besar harga n (dengan bertambahnya Re) profil kecepatan semakin tumpul:

8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam Pipa Persamaan Dasar: =0(1) =0(2) =0(1) =0(3) 37 37

8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam Pipa Sehingga: Note: Kita tidak mengasumsikan bahwa aliran adalah uniform karena kita tahu bahwa aliran adalah viscous. Bagaimanapun juga akan lebih mudah bila kita menggunakan kecepatan rata-rata ( ), untuk itu didefinisikan koefisien Energi Kinetik (a): ……(I) 38 38

8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam Pipa maka persamaan (I) menjadi: Bila dibagi dengan didapat: atau 39 Total Head Loss ……..(J) 39

8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam Pipa Note: Sehingga persamaan (J) menjadi: Untuk aliran tanpa gesekan  kecepatan aliran uniform (a1 = a2 = 1) sehingga persamaan (J) menjadi persamaan Bernoulli, dimana: hLT = 0 ……..(K) 40 40

8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam Pipa Untuk aliran laminar dalam pipa, karena bentuk kecepatan yang menonjol maka : a = 2. Untuk aliran turbulen, profil kecepatan cenderung tumpul, maka: dimana untuk: n = 6  (Re = 4.000)  a = 1,08 n = 10  (Re = 3.200.000)  a = 1,03 untuk semua harga n  a @ 1 Sehingga secara umum untuk aliran turbulen  a = 1 41 41

Contoh Sistem Perpipaan 42 42

Persamaan Energi dari (2) ke (3): Instalasi Pompa Persamaan Energi dari (2) ke (3): 43 43

8.7. Perhitungan Head Pompa Persamaan Energi dari (2) ke (3): 44 ........Energi persatuan masa Dimensi (L2/t2) 44

8.7. 2. Perhitungan Head Pompa Bila dibagi dengan gravitasi g menjadi: Persamaan energi dari (1) ke (3): dalam CV meliputi pompa yang daya shaftnya ( ) harus diperhitungkan: atau dalam energi persataun berat: ........Energi persatuan berat  Dimensi (L) ........ Dimensi (L2/t2) Hp = head pompa 45 ........ Dimensi (L) Hp = head pompa 45

merupakan jumlah dari major losses (hL) 8.8. Perhitungan Head Loss Total Head Loss (hLT): merupakan jumlah dari major losses (hL) dan minor losses (hLm) Major Losses Minor Losses Major Losses (hL): kerugian energi karena gesekan pada dinding pipa lurus yang mempunyai luas penampang yang sama/tetap Minor Losses (hLm): kerugian energi karena : perubahan penampang pipa; entrance; sambungan; elbow; katup; dan asesoris perpipaan lainnya. 46 46

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek Persamaan Energi aliran dalam pipa lurus – horisontal berdiameter konstan: Untuk kondisi instalasi yang dimaksud berlaku ketentuan sbb.: 47 47

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek berdiameter konstan: pipa lurus  tidak ada minor losses (hLm = 0) horisontal  z1 = z2  (z1 – z2) = 0 Sehingga persamaan energi menjadi: = 0 48 = 0 = 0 = 0 ….. (L) 48

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek A. Untuk aliran LAMINAR: kondisi aliran fully developed pada pipa horisontal: atau: karena : maka: 49 …. (M) 49

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek Gabungan dari pers. (L) & (M) didapat: atau: B. Untuk aliran TURBULENT: - kerugian tekanan tidak bisa dievaluasi secara analitis - harus dievaluasi secara eksperimental dengan menggunakan analisa dimensi yang mengkorelasikan data yang didapat dari hasil eksperimental …… (N) 50 50

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek Dengan analisa dimensi didapat: dimana maka: 51 51

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek Subtitusi dar pers. (L) didapat: Hasil eksperimental menunjukkan bahwa hL ~ L/D, sehingga: karena f1 tetap tidak dapat ditentukan, maka memungkinkan untuk memasukkan suatu konstanta pada sebelah kiri persamaan tsb., dalam hal ini angka 1/2: = hL 52 52

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek dimana didefinisikan faktor gesek (f) sebagai berikut: maka: Hasil eksperimental menunjukkan bahwa hL ~ L/D, sehingga: Note: Untuk aliran Laminar f hanya tergantung pada bilangan Re: 53 53

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek Untuk aliran (transisi) & turbulent faktor gesek tergantung pada Re & kekasaran pipa (bahan pipa) Untuk aliran turbulent dengan Re yang sangat besar faktor gesek (f) hanya tergantung pada bilangan kekasaran pipa (bahan pipa) saja. Selanjutnya untuk memudahkan dapat dilihat pada Moody Diagram Kekasaran pipa (Bahan pipa) Bilangan Reynolds 54 54

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek 55 Diagram Moody 55

8.8. 1. Major Losses : Faktor Gesek 56 Grafik Kekasaran Relatif Pipa (untuk pipa baru) 56