Penerapan dalam Ekonomi DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Penerapan dalam Ekonomi

A. Elastisitas Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. 1. Elastisitas Permintaan Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga). Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adala ηd = %∆Qd = EQd = lim (∆Qd /Qd)= dQd . P %∆P EP ∆P→0 (∆P /P) dP Qd Dimana dQd /dP = Q’d atau f’(P)

Contoh 1 Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Qd = 75 – 5P2. tentukan elastisitas permintaan pada harga P = 20 Penyelesaian : Qd = 75 – 5P2           →        Q′d =  - 10P                 → P = 20 ηd  =  %∆Qd  =  EQd =      lim                   =    Q′d  .  P    %∆P         EP           ∆P→0                              Qd    ηd  = - 10P . P/ Qd ηd  = - 10(20) . 20/ (75 – 5(20) 2) ηd  = - 200 . 20/ - 1925      = 2       (2 > 1 ...... elastik) Jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun) sebesar 1% sehingga jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 2%.  

Catatan :    Dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang dibandingkan adalah angka hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak berlawanan arah dengan harga. Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = f(P).

2. Elastisitas Penawaran Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga). Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah : ηs  =  %∆Qs  =  EQs  = lim      (∆Qs /Qs)=   dQs  .  P             %∆P        EP       ∆P→0   (∆P /P)  dP Qs jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh 2 : Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Qs = -75 + 5P2. tentukan elastisitas penawaran pada harga p = 20 Penyelesaian : Qs = -75 + 5P2         →        Q′s =  10P                    → P = 20 ηs  =  %∆Qs  =  EQs =       lim                   =    Q′s  .  P %∆P         EP           ∆P→0                             Qs     ηs  = 10P . P/ Qs ηs  = 10(20) . 20/ (-75 + 5(20) 2) ηs  = 200 . 20/ 1925           = 2       (2 > 1 ...... elastik) Jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%.

3.   Elastisitas Produksi Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan (rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan). Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya adalah : ηp  =  %∆P  =  EP  = lim      (∆P /P)=   dP  .  X             %∆X      EX     ∆X→0(∆X /X)  dX P jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh 3: Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3 pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit! Penyelesaian : P = 5X2 – 5X3         →        P′ =  10X - 15X2                     → P = 2 ηp  =  %∆P  =  EP  =         lim                   =    P′  .  X           %∆X     EX             ∆X→0                            P         ηp  = (10X - 15X2) . (X/ (5X2 – 5X3)) ηp  = (10(2) – 15(2)2) . (2/ (5(22)– 5(23)) ηp  = -40 . -0,1       =  4 jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakan  naik sebesar 1% sehingga produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.

B. Biaya marginal, Penerimaan marginal, Utilitas marginal, & Produk marginal Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marginal adalah turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total adalah C = f(Q) maka biaya marginalnya adalah :                            MC  =  C′  = dC dQ Notes: Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva biaya marginal akan mencapai titik minimum tepat pada saat kurva biaya total berada pada titik beloknya.

Contoh 4: Fungsi biaya total dinyatakan dalam persamaan C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8. Tentukanlah persamaan biaya marginal serta berapa titik minimumnya? Penyelesaian : C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8               →        MC = C′  =  6Q2 - 12Q + 8                                                              MC′ = C′′ =  12Q – 12 MC minimum jika MC′ = 0           →        0  =  12Q – 12                                                             Q = 1 Untuk Q = 1                                  →        MC = 6Q2 - 12Q + 8                                                                   MC = 6(1)2 – 12(1) + 8           =  2                                                          C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8                                                   C = 2(1)3 – 6(1)2 + 8(1) + 8     =  12 Jadi, persamaan biaya marginalnya adalah MC = 6Q2 - 12Q + 8. Fungsi biaya marginal mencapai titik minimum pada koordinat (1,2) pada saat fungsi biaya total berada pada titik belok di koordinat (1,12).

2. Penerimaan marginal Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi (terjual). Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah R = f(Q) maka penerimaan marginalnya adalah :                                 MR  =  R′ = dR dQ Notes: Pada umumnya fungsi penerimaan total berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi penerimaan marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva penerimaan marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva penerimaan total berada pada titik ekstrimnya.

Contoh 5: Fungsi permintaan dinyatakan dalam persamaan P = 20 – 5Q. tentukanlah persamaan penerimaan total & marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi penerimaan totalnya? Penyelesaian : P = 20 – 5Q                                   →        R  =  Q . P                                                                   R  =  Q (20 – 5Q)                                                            R  =  20Q – 5Q2 Jika R  =  20Q – 5Q2                             →        MR  = R′  =  20 – 10Q R maksimum jika MR = 0              →        0  =  20 – 10Q                                                                Q = 2 Untuk Q = 2                                   →        P = 20 – 5Q                                                                  P = 20 – 5(2)                = 10                                                              R  =  20Q – 5Q2                                                               R  =  20(2) – 5(2)2          = 20 Jadi, titik ekstrim fungsi penerimaan total berada pada koordinat (2,20)

3. Utilitas marginal Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah :                                     MU  =  U′ = dU dQ Notes: Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi utilitas marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva utilitas marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva utilitas total berada pada titik ekstrimnya.

Contoh 6: Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q – 5Q2. tentukanlah persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?   Penyelesaian : U = 15Q – 5Q2                              →        MU  = U′  =  15 – 10Q U maksimum jika MU = 0             →        0  =  15 – 10Q             = 1,5 Untuk Q = 1,5                                →        U = 15Q – 5Q2                                                              U = 15(1,5) – 5(1,5)2   = 11,25 Jika Q = 2                                      →        MU = 15 – 10(2)         = -5 Jika Q = 3                                      →        MU = 15 – 10(3)         = -15                                                                                                                             Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat konsumen mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.

 4. Produk marginal Adalah produk tambahan yang dihasilkan akibat bertambahnya satu unit faktor produksi yang digunakan. Fungsi produk marginal adalah turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total adalah P = f(X) maka produk marginalnya adalah :                                MP  =  P′  = dP dX Notes: Pada umumnya fungsi produk total yang non-linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi produk marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva produk marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva produk total berada pada titik ekstrimnya dan mencapai titik ektrim tepat saat produk total berada pada titik beloknya.

Contoh 7: Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X2 – 3X3. tentukanlah persamaan produk marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya!. berapa titik ekstrim dari fungsi produk marginalnya serta berapa besar produk marginalnya?  Penyelesaian : P = 9X2 – 3X3                               →        MP  = P′  =  18X – 9X2                                                                   MP′  = P′′  =  18 – 18X P maksimum jika MP = 0               →        0  =  18X – 9X2                       X = 2               (dicari dengan rumus abc) Untuk X = 2                                   →        P = 9X2 – 3X3                                                                   P = 9(2)2 – 3(2)3             = 12 P belok jika            MP′ = 0                       →        0 = 18 – 18X                                                           X = 1 Jika X = 1                                      →        P = 9X2 – 3X3                                                                                      P = 9(1)2 – 3(1)3             = 6 Jika X = 1                                      →        MP  = 18X – 9X2                                                                                         MP  = 18(1) – 9(1)2       = 9                                                                                                                            Jadi, titik ekstrim fungsi produk total berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik (1,6). Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).

5. Analisis Keuntungan Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik penerimaan total (R) maupun biaya total (C) sama- sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan (Q), maka dari sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (n). Nilai ekstrim atau nilai optimum π dapat ditentukan dengan cara menetapkan derivatif pertamanya sama dengan nol. R= r(Q) n = R-C =r(Q)-c(Q) = f(Q) C= c(Q) n optimum jika π’=0 f(Q)=dπ/dQ=0 Untuk mengetahui apakah π’=0 mencerminkan keuntungan maksimum ataukah justru kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari fungsi π. Π=R – C = f(Q) Π optimum apabila π’=0 atau MR = MC Jika π”<0 π maks = keuntungan maks Jika π”>0 π min = keuntungan min

Contoh 8: Andaikan: R = r(Q) = -20Q²+1000Q C = c(Q) = Q³-59Q²+1315Q+2000 Maka: π = R-C = -Q+57Q²-315Q-2000 Agar keuntungan maksimum: π’ = 0 -3Q’ + 114Q – 315 = 0 - Q²+ 38Q – 105 = 0 (-Q+3)(Q-35)=0, diperoleh Q1=3 dan Q2=35 π’= -6Q+114 Jika Q=3, π” = -6(3)+114=96>0 Jika Q=35, π” = -6(35)+114=-96<0 Karena π”<0 untuk Q=35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maks adalah Q=35 unit. Adapun besarnya keuntungan maks tsb: π = -(35)³+57(35)²-315(35) – 2000 = 13.925

TUGAS Kerjakan soal-soal berikut dan dikumpulkan: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=25-3P². Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P=5. Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs=-200+7P². Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P=10 dan P=15. Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P=6X²-X². Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.