1. Sistem Persamaan Linier Selamat datang di modul yang pertama dari kuliah Aljabar Linier. Kita mulai dengan sistem persamaan linier atau spl

Presensational content template slides Sasaran pemelajaran Bila diberikan sistem persamaan linier (spl) berukuran kecil, Anda diharapkan mampu menentukan apakah konsisten; menyelesaikan dengan metode eliminasi-substitusi, geometris dan eliminasi Gauss-Jordan dengan tepat memilih strategi untuk mencari penyelesaiannya (jika konsisten). 2x + y = 4 x - y = 2 (0,4) (2,0) (0,-2) Setelah mempelajari modul ini; bila diberikan sistem persamaan linier (SPL) konsisten berukuran kecil, Anda diharapkan mampu menentukan konsistensinya; dan menyelesaikan dengan metode eliminasi-substitusi, geometris, dan metode Gauss-Jordan dengan tepat.

Presensational content template slides Cakupan materi Pengenalan spl Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Cakupan materi meliputi: pengertian spl dan metode penyelesaiannya. Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Spl homogen Prosedur eliminasi Gauss-Jordan

Presensational content template slides Untuk membangkitkan ingatan kita tentang sistem persamaan linier, mari kerjakan soal berikut ini Pre-test Modul

Presensational content template slides Pre-test Jawablah pertanyaan berikut ini: Berikanlah contoh sistem persamaan linier sederhana, kemudian selesaikan sistem tersebut. Buatlah contoh sistem persamaan linier dengan 2 unknown terdiri atas 2 persamaan. Selesaikan sistem persamaan tersebut.

1.1 Pengenalan SPL Mari kita fahami pengertian sistem persamaan linier Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Spl homogen Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Prosedur eliminasi Gauss-Jordan Mari kita fahami pengertian sistem persamaan linier 1.1 Pengenalan SPL

Persamaan linier Definisi 1.1: Persamaan linier Persamaan linier dalam n unknown x1, x2, …, xn adalah persamaan yang berbentuk a1x1 + a2x2 +… +anxn = b dengan a1, a2, …, an adalah konstanta-konstanta (bilangan-ilangan nyata). Contoh 1: x1 + 3x2 + 2x3 = 4 a + 4b = c Setiap garis lurus pada bidang dapat disajikan dalam persamaan linier: ax + by = c dengan a, b, dan c konstanta-konstanta riil (nyata) yang tidak bersama-sama nol; sedangkan x dan y disebut peubah atau unknown. Secara formal, persamaan linier didefinisikan sebagai berikut. Definisi: Persamaan linier dalam n perubah x1, x2, …, xn adalah persamaan yang berbentuk a1 x2 + a2 x2 +… +an xn = b Dengan a1, a2, …, an adalah konstanta-konstanta nyata. Perhatikan contoh-contoh berikut.

Persamaan linier dan bukan persamaan linier Persamaan linier: persamaan dengan unknown berpangkat satu. Tentukan persamaan mana yang linier dan bukan linier? x xy + z = 2 y = sin x + cos y x log z = y xy + z = 2 2x + 3y = 9 y = sin x + cos y y + x = z x log z = y 2x + 3y = 9 y + x = z Persamaan Linier x x Persamaan linier diartikan juga sebagai persamaan dengan peubah berpangkat satu. Untuk memperdalam pemahamanmu tentang persamaan linier, coba tentukan apakah persamaan-persamaan berikut ini linier atau tidak. x Bukan persamaan linier

Sistem persamaan linier (spl) Definisi 1.2: Sistem Persamaan Linier SPL adalah himpunan berhingga persamaan-persamaan linier, persamaan satu dengan yang lain melibatkan unknown yang sama. a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 : am1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bm Definisi: Sistem persamaan linier adalah himpunan berhingga persamaan-persamaan linier yang melibatkan unknown yang sama. Secara umum, SPL disajikan dalam bentuk berikut ini. Sistem persamaan   x1, x2, …., xn disebut unknown ai1, ai2, …, aij, …, ain disebut koefisien berupa bilangan-bilangan nyata. Mengapa persamaan linier harus mempunyai berhingga banyak persamaan? Karena kita tertarik untuk mencari penyelesaiannya x1, x2, …., xn disebut unknown (yang tidak diketahui nilainya) ai1, ai2, …, aij, …, ain adalah konstanta, yaitu bilangan nyata

Penyelesaian spl Definisi 1.3: Penyelesaian spl Penyelesaian suatu spl adalah himpunan nilai-nilai S yang jika disubstitusikan ke unknown, maka sistem persamaan dipenuhi. x1 + x2 + x3 = 10 x1 + x3 = 5 2x1 + x2 + 3x3 = 15 5 5 5 5 5 5 Contoh 2: 5 5 5 5 Definisi: penyelesaian Penyelesaian suatu spl adalah himpunan nilai-nilai S yang jika disubstitusikan ke unknown, maka sistem persamaan dipenuhi. Sebagai contoh, kita mempunyai spl berikut ini. (5, 0, 0) bukan penyelesaian, karena jika disubstitusikan, persamaan 1 dan 3 tidak dipenuhi. (5, 5, 5) juga bukan penyelesaian, karena menyebabkan ketiga persamaan tidak dipenuhi. Sedangkan (5, 5, 0) adalah penyelesaian, sebab jika disubstitusikan pada SPL, maka setiap persamaannya dipenuhi. Dapatkah kamu menemukan penyelesaian lain, jika ada? 10 10 10 5 5 15 (5, 5, 5) bukan penyelesaian karena tidak memenuhi semua persamaan . (5, 0, 0) bukan penyelesaian, karena substitusi x1 = 5, x2 = 0, x3 = 0 di persamaan 1 dan 3 membuat pernyataan yang bernilai salah (5, 5, 0) adalah penyelesaian.

Metode Eliminasi-Substitusi (E-S) persamaan 1 persamaan 2 persamaan 3 Spl: Eliminasi x (persamaan 1 dan 2) Eliminasi x (persamaan 2 dan 3) Eliminasi z Substitusi y Substitusi y dan z Menyelesaiakan spl dengan metode eliminasi substitusi Diberikan spl dengan tiga persamaan dan dua unknown. Penyelesaian dapat diperoleh dengan melakukan eliminasi unknown kemudian substitusi. Pertama, x dieliminasi dari persamaan pertama dan kedua dengan mengalikan persamaan kedua dengan 2. Kemudian eliminasi x dari persamaan ketiga dengan menggunakan persamaan 2. Kita mempunyai dua persamaan dalam y dan z. Kita eliminasi z dari kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai y. Sekarang mulai melakukan substitusi balik untuk mendapatkan z. Setelah y dan z diperoleh, substitusikan ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan x.

Metode geometris a. c. b. 2x + y = 4 ½x - y = -1½ -x + y = 4 (0,4) (1, 2) (0,3/2) (-3,0) (2,0) c. b. -x + y = 4 (0,4) Menyelesaikan spl secara geometris Jika banyak unknown ada dua atau tiga, maka spl dapat diselesaikan dengan grafik. Sebagai contoh, diberikan spl dengan dua unknown. Seperti telah kita ketahui bahwa grafik persamaan linier dengan dua unknown berupa garis lurus. Bagaimana menentukan penyelesaiannya? Seperti ditunjukkan pada contoh, penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis tersebut, karena titik potong dilalui oleh kedua garis tersebut. Artinya, jka nilai x dan y pada titik potong disubstitusikan pada kedua persamaan, maka keduanya dipenuhi. Pada spl pertama, terdapat tepat satu titik potong, sehingga spl tersebut memiliki tepat satu penyelesaian. Kedua garis persamaan pada spl kedua saling berimpitan. Sehingga, setiap titik pada garis merupakan penyelesaian. Spl ini memiliki tak hinggga banyak penyelesaian. Spl ketiga tidak konsisten karena kedua garis tidak memiliki titik bersama. Mungkinkah spl mempunyai tepat dua penyelesaian berbeda? Pertanyaan tersebut mempunyai makna yang sama dengan menanyakan apakah mungkin dua garis berpotongan Di tepat dua titik berbeda. Jawabnya adalah TIDAK MUNGKIN.   x - y = 2 (0,5/3) (-4,0) (2½,0) (2,0) 2x + 3y = 5 (0,-2) x + 1½ y = 2½

Contoh 3: menerapkan metode geometris Selesaikan spl berikut dengan metode geometris: 2x + y = 4 x - y = 2 (0,4) (2,0) (0,-2) 2x + y = 2 (0,2) (1,0) 4x + 2y = 4 Marilah kita mencari penyelesaian spl berikut dengan menggunakan gambar. Dengan menggunakan kertas dan pensilmu, gambarlah garis-garis lurus yang menyajikan persamaan-persamaan. Coba subsitusikan nilainya pada persamaan. Apakah penyelesaian yang kamu peroleh benar?

Contoh 4: menerapkan metode geometris Selesaikan spl berikut dengan metode geometris: x + 4y = 4 x + y = 2 (0,2) (4,0) (0,1) (2,0) 4y – 2x = 4 x - 2y = 4 (0,-2) (4,0) (0,1) (-2,0) Marilah kita melanjutkan mencari penyelesaian spl berikut dengan menggunakan gambar.

Jenis-jenis penyelesaian spl Kedudukan dua garis ada 3 kemungkinan: yaitu, berpotongan di tepat satu titik, berimpit, atau sejajar (tidak berimpit) Maka spl memiliki tiga kemungkinan: memiliki tepat satu penyelesaian, memiliki tak hingga penyelesaian, tidak memiliki penyelesaian (tidak konsisten) 2x + y = 4 ½x – y = -1½ ½x - y = -1½ (0,4) (2,0) (-3,0) (0,-3/2) (-29/3,-10/3) 2x + 3y = 5 x + 1½ y = 2½ (0,5/3) (2½,0) x + 1½y = 2½ -x + y = 4 x - y = 2 (0,4) (2,0) (0,-2) (-4,0) x – y = 2 Karena kedudukan dua garis hanya memiliki tiga kemungkinan, yaitu berpotongan di tepat satu titik, berimpit atau sejajar (tidak berimpit) maka SPL-SPL tersebut hanya memiliki tiga kemungkinan: 1. memiliki tepat satu penyelesaian, 2. memiliki tak hingga penelesaian 3. tidak memiliki penyelesaian (tidak konsisten)

Spl berdasarkan penyelesaiannya konsisten (mempunyai penyelesaian) tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian) Berdasarkan banyaknya penyelesaian, sistem persamaan linier dapat dibagi menjadi dua kelompok: konsisten dan tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). SPL yang konsisten ada dua macam: mempunyai 1 penyelesaian dan mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Hal ini berlaku untuk semua spl, tidak hanya spl dengan dua unknown saja. mempunyai tepat satu penyelesaian mempunyai tak hingga banyak penyelesaian

Spl dengan 3 unknown 1 2 3 4 Tidak memiliki solusi (tiga bidang sejajar; tidak berpotongan) Tidak memiliki solusi (dua bidang sejajar; tidak berpotongan) Tidak memiliki solusi (tidak berpotongan) Tidak memiliki solusi (dua bidang berimpitan sejajar dengan bidang ketiga; tidak berpotongan) 5 6 7 8 Berikut ini kemungkinan tempat kedudukan 3 bidang datar dalam ruang; Masing-masing menggambarkan jenis-jenis spl. Pertama: tidak memiliki solusi (tiga bidang sejajar; tidak berpotongan) Kedua: tidak memiliki solusi (dua bidang sejajar; tidak berpotongan) Ketiga: tidak memiliki solusi (tidak berpotongan) Keempat: tidak memiliki solusi (dua bidang berimpitan sejajar dengan bidang ketiga; tidak berpotongan) Kelima: memiliki solusi tunggal (tiga bidang berpotongan) Keenam: memiliki tak hingga banyak solusi (tiga bidang berpotongan pada garis) Ketujuh: memiliki tak hingga banyak solusi (tiga bidang berimpitan) Terakhir: memiliki tak hingga banyak solusi (dua bidang berimpitan berpotongan dengan bidang ketiga pada garis) Solusi tunggal (berpotongan pada satu titik) Tak hingga banyak solusi (berpotongan pada satu garis) Tak hingga banyak solusi (semua bidang berimpitan; berpotongan pada satu bidang) Tak hingga banyak solusi (dua bidang berimpitan; berpotongan pada satu garis)

Kelemahan metode geometris dan eliminasi -substitusi Jika spl mempunyai 3 unknown, maka grafik dari setiap persamaan berupa bidang datar, mencari titik-titik potongnya tidak selalu mudah. Jika unknownnya lebih dari tiga, kita tidak bisa menggunakan metode grafik. Metode eliminasi substitusi tidak efektif untuk spl besar. Kita memerlukan metode lain yang bisa diterapkan pada SPL besar : Metode Eliminasi Gauss-Jordan Jika spl mempunyai 3 unknown, maka grafik dari setiap persamaan berupa bidang datar. Jika ada 4 persamaan, untuk menyelesaiakan secara grafis, kita harus menggambarkan 4 bidang datar. Hal ini tidak mudah dilakukan. Jika unknownnya lebih dari tiga, kita tidak bisa menggunakan metode grafik. Metode eliminasi substitusi juga mempunyai kelemahan serupa. Jika ukuran SPL besar, maka metode ini rumit untuk dikerjakan. Kesimpulannya adalah: kita memerlukan metode lain yang lebih baik, kita akan membahas Eliminasi Gauss-Jordan

Pengenalan spl Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Materi pengayaan: spl homogen Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Prosedur eliminasi Gauss-Jordan Untuk membahas eliminasi gauss jordan spl harus disajikan dalam bentuk yang mudah dimanipulasi, yaitu dalam penyajian matriks 1.2 Penyajian spl

Penyajian spl dengan persamaan matriks a. Penyajian umum b. Persamaan matriks: Untuk mempelajari metode Eliminasi Gauss-Jordan, kita harus memahami penyajian SPL dalam persamaan matriks dan matriks augmented. Diberikan SPL dengan n persamaan m unknown. Persamaan tersebut dapat dinyatakan dengan matriks: Ax = b A disebut matriks koefisien. matriks koefisien

Penyajian spl sebagai matriks diperbesar (augmented) c. Matriks augmented: SPL dapat juga disajikan dalam bentuk matriks augmented. Penyajian ini amat sederhana dan mudah dibaca. Perhatikan bahwa unknown tidak muncul dalam matriks. Hal ini TIDAK akan menimbulkan masalah, sebab penyelesaian tidak tergantung pada nama unknown, hanya tergantung pada koefisien dan konstanta bi.

Contoh 5: Penyajian spl Diberikan spl: Matriks koefisien Berikut ini adalah cara menyajikan SPL dalam persamaan matriks. P erhatikan bagaimana memperoleh matriks koefisien. Cobalah menyajikan SPL yang diberikan dalam lembar kerja, kemudian sajikanlah dalam persamaan matriks. Matriks augmented

1.3 Operasi baris elementer Pengenalan spl Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Spl homogen Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Prosedur eliminasi Gauss-Jordan Dasar dari eliminasi Gauss Jordan adalah operasi pada baris, yaitu operasi baris elementer 1.3 Operasi baris elementer

Spl-spl ekuivalen (2) (3) (4) (1) Dua spl dikatakan ekuivalen jika memiliki himpunan penyelesaian yang sama (1) Himpunan penyelesaian (5,5,0) (2) Himpunan penyelesaian (5,5,0) Persamaan (1) dikalikan 10 Spl-spl ekuivalen Spl dapat disajikan dalam beberapa spl yang ekuivalen, yaitu spl yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama.   Spl-spl berikut ini ekuivalen. Manakah yang paling mudah ditentukan penyelesaiannya? Selanjutnya kita melihat karakteristik spl dengan bentuk (pertama) yang paling mudah diketahui penyelesaiannya, dan (kedua) bagaimana mengubah spl tanpa mengubah penyelesaiannya. Dua hal tersebut menjadi dasar Metode Eliminasi Gauss-Jordan. (3) Himpunan penyelesaian (5,5,0) Persamaan (2) dan (3) ditukar tempat Himpunan penyelesaian (5,5,0) (4) Persamaan (1) dijumlahkan dengan 2x persamaan (2), persamaan kedua tetap

Operasi baris elementer Menerapkan obe pada spl tidak mengubah solusi spl tersebut. Ada 3 jenis operasi baris elementer: Mengalikan persamaan dengan konstanta tidak nol Menukar posisi / urutan dua persamaan 3. Persamaan ditambah dengan hasil kali skalar dengan persamaan lain Pertanyaan: Mengapa skalar (konstanta) pengali persamaan tidak boleh nol? Jika persamaan ke 2 dijumlahkan dengan k kali persamaan ke 3, apakah persamaan ke 3 dihilangkan dari spl? Jika spl disajikan dalam matriks augmented, bagaimana operasi di atas dilakukan? Operasi berikut ini tidak mengubah penyelesaian SPL 1. Mengalikan persamaan dengan konstanta (skalar) tidak nol 2. Menukar posisi dua persamaan 3. Persamaan ditambah dengan hasil kali skalar dengan persamaan lain Mengapa skalar (konstanta) pengali persamaan tidak boleh nol? Jika persamaan ke 2 dijumlahkan dengan k kali persamaan ke 3, apakah persamaan ke tiga dihilangkan dari spl? Jika spl disajikan dalam matriks augmented, bagaimana operasi di atas dilakukan? [feedback: 1. jika konstanta pengali adalah nol berarti kita menghilangkan satu persamaan yang boleh jadi memuat informasi penting. 2. Tidak, persamaan ketiga tidak berubah, hanya persamaan kedua yang berubah 3. Persamaan dalam spl akan berubah menjadi baris dalam matriks augmented, sehingga operasi tersebut di atas menjadi: Mengalikan baris dengan konstanta tak nol]

Operasi baris elementer Spl semula Karena SPL dapat ditulis dalam matriks augmented, persamaan disajikan sebagai baris pada matriks augmented. Sehingga, operasi pada persamaan ekuivalen dengan operasi pada baris. Operasi tersebut adalah: Mengalikan baris dengan konstanta tak nol Tukar baris Baris ditambah dengan k kali baris yang lain

Matriks ekuivalen baris Dua matriks ekuivalen baris apabila yang satu dapat diperoleh dari yang lain dengan menerapkan operasi baris elementer. Dua SPL ekuivalen, maka matriks-matrik augmentednya saling ekuivalen baris. Contoh: Dua SPL berikut ekuivalen, matriks augmented nya saling ekuivalen baris. Karena SPL dapat ditulis dalam matriks augmented, persamaan disajikan sebagai baris pada matriks augmented. Sehingga, operasi pada persamaan ekuivalen dengan operasi pada baris. Operasi tersebut adalah: Mengalikan baris dengan konstanta tak nol Tukar baris Baris ditambah dengan k kali baris yang lain

1.4 Matriks berbentuk eselon baris tereduksi Presensational content template slides Pengenalan spl Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Spl homogen Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Prosedur eliminasi Gauss-Jordan Bentuk yang paling mudah diketahui solusinya adalah ketika spl dalam bentuk eselon baris tereduksi 1.4 Matriks berbentuk eselon baris tereduksi

Spl yang mudah dilihat solusinya Perhatikan ketiga spl dalam bentuk matriks augmented berikut: Bagaimana penyelesaian SPLnya? Karakteristik ke-3 spl: elemen pertama tak nol adalah 1 (dinamakan satu utama) satu utama baris berikutnya berada lebih kanan jika ada baris nol, ada di bagian bawah elemen yang satu kolom dengan satu utama nol semua 1. 2. 3. Jika x4 = t, maka x2 = -3t Bentuk-bentuk matriks augmented yang solusi spl mudah dilihat: Perhatikanlah matriks-matriks augmented berikut. Bagaimana penyelesaian splnya? Mudah sekali ditentukan. Bagaimana kriteria matriks-matriks augmented tersebut? -          elemen pertama tak nol adalah 1 -          satu utama baris berikutnya berada lebih kanan -          jika ada baris nol ada di bagian bawah -          elemen yang satu kolom dengan satu utama nol semua   Bagaimana karakteristik bentuk ketiga matriks augmented diatas?

Satu utama Satu utama adalah elemen pertama tak nol pada baris 1 utama bukan 1 utama A = B = Bentuk-bentuk tereduksi dan tidak tereduksi Diberikan matriks A. Apakah A dalam bentuk eselon baris?   Ya, A dalam bentuk eselon, bahkan eselon baris tereduksi, karena keempat syarat dipenuhi. Dua angka satu pada baris pertama dan kedua adalah satu utama. Angka satu yang dilingkari biru adalah satu utama, karena merupakan elemen tidak nol pertama pada baris. Sedangkan angka satu yang dilingkari merah bukanlah satu utama, karena bukan elemen tak nol pertama.  C =

Syarat bentuk eselon baris tereduksi (ebt) Elemen pertama tidak nol adalah 1 (satu utama) Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya Baris nol berada di paling bawah Elemen di atas satu utama nol semua Ya Tidak Bentuk eselon baris tereduksi: Berikut ini kriteria yang menjamin bahwa spl dalam bentuk yang paling mudah dilihat penyelesaiannya   1. Elemen pertama tidak nol adalah 1, dan dinamakan satu utama 2. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya 3. Baris nol berada di paling bawah 4. Elemen di atas satu utama nol semua Setiap bentuk eselon baris tereduksi adalah eselon baris, tetapi tidak sebaliknya. Perhatikan contoh berikut. Matriks-matriks di sebelah kanan dalam bentuk eselon baris tereduksi, sedangkan yang kiri bukan.

Matriks berbentuk eb dan ebt Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut matriks berbentuk eselon baris. Jika matriks memenuhi kondisi (1), (2), (3), dan (4), maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris. Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Perhatikan tiga contoh berikut, bentuk pertama dan kedua adalah bentuk eselon baris, bentuk terakhir adalah eselon baris tereduksi. Bintang merepresentasikan elemen di atas satu utama atau baris nol bernilai berapa saja. eselon baris. eselon baris tereduksi

Latihan1 Tentukan apakah matriks A dalam bentuk eselon baris, eselon baris tereduksi atau tidak keduanya. Bentuk-bentuk tereduksi dan tidak tereduksi Diberikan matriks A. Apakah A dalam bentuk eselon baris?   Ya, A dalam bentuk eselon, bahkan eselon baris tereduksi, karena keempat syarat dipenuhi. Dua angka satu pada baris pertama dan kedua adalah satu utama. Angka berwarna biru menunjukkan satu utama, karena merupakan elemen tidak nol pertama pada baris. Sedangkan angka yang berwarna merah adalah nilai yang menyebabkan matriks tidak memenuhi bentuk eselon baris. Ceklist hijau berarti A berbentuk eselon baris namun tidak eselon baris tereduksi Ceklist ungu berarti A berbentuk ebt Sedangkan tanda silang merah menunjukkan A bukan matriks dalam bentuk ebt/ebt Bagaimana dengan matriks nol? Matriks nol tidak melanggar syarat-syarat matriks berbentuk ebt, jadi matriks nol berbentuk ebt. Bentuk eb tidak ebt Bentuk ebt Bentuk bukan eb/ebt

Bentuk-bentuk eselon baris matriks persegi Matriks 2x2: Matriks 3x3 * : bisa berapa saja Bentuk-bentuk tereduksi matriks 2x2 Berikut ini adalah bentuk eselon baris tereduksi matriks 2x2   Bentuk-bentuk tereduksi matriks 3x3 Terdapat 8 kemungkinan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks 3x3    Bentuk ebt matriks persegi Dari contoh-contoh bentuk ebt matriks persegi dapat dikelompokkan menjadi 2: matriks identitas dan matriks dengan baris nol

Spl dengan satu penyelesaian Penyelesaian disajikan dalam SPL Spl berikut ini mempunyai penyelesaian tunggal.

SPL : tak hingga banyak penyelesaian Spl berikut ini mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Penyelesaian mempunyai pola atau bentuk tertentu, dan disebut dengan penyelesaian umum. Pada contoh ini, nilai x1, x2, dan x3 tergantung pada nilai x4. Jika x4 = t Maka diperoleh penyelesaian umum. Jika t diberikan nilai tertentu, misalkan t = 2, maka diperoleh x1 = 2 – 8t x2 = -3t disebut penyelesaian khusus x3 = 4-2t x1, x2, x3 disebut parameter utama, x4 disebut parameter bebas Parameter utama bersesuaian dengan posisi satu utama (kolom pertama, kedua dan ketiga). Parameter bebas bisa berupa bilangan real berapa pun. (penyelesaian khusus) (penyelesaian umum) x1, x2, x3 disebut parameter utama, x4 disebut parameter bebas

SPL di atas tidak mempunyai penyelesaian Spl tidak konsisten Matriks augmented SPL di atas tidak mempunyai penyelesaian Spl berikut ini tidak konsisten. Perhatikan baris terakhir dari matriks augmented bentuk tereduksinya. Matriks augmented dalam bentuk ebt:

Spl dengan tak hingga banyak penyelesaian Bentuk ebt matriks augmentd Spl berikut ini mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Penyelesaian mempunyai pola atau bentuk tertentu, dan disebut dengan penyelesaian umum. Pada contoh ini, nilai x1, x2, dan x3 tergantung pada nilai x4. Jika x4 = t Maka diperoleh penyelesaian umum. Jika t diberikan nilai tertentu, misalkan t = 2, maka diperoleh x1 = 2 – 8t x2 = -3t disebut penyelesaian khusus x3 = 4-2t x1, x2, x3 disebut parameter utama, x4 disebut parameter bebas Parameter utama bersesuaian dengan posisi satu utama (kolom pertama, kedua dan ketiga). Parameter bebas bisa berupa bilangan real berapa pun. (penyelesaian khusus) (penyelesaian umum) x1, x2, x3 disebut parameter utama, x4 disebut parameter bebas

1.6 Prosedur Eliminasi Gauss -Jordan Pengenalan spl Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Spl homogen Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Prosedur eliminasi Gauss-Jordan Kita siap mempelajari bagaimana prosedur eliminasi gauss jordan 1.6 Prosedur Eliminasi Gauss -Jordan

Prinsip metode eliminasi Gauss-Jordan Metode eliminasi Gauss-Jordan: mengubah matriks augmented spl ke dalam SPL lain yang ekuivalen (penyelesaiannya sama) dan penyelesaiannya mudah dilihat, yaitu matriks augmentednya dalam bentuk eselon baris tereduksi. Untuk menjamin bahwa SPL yang diperoleh ekuivalen dengan spl semula, maka digunakan operasi baris elementer. Eliminasi Gauss-Jordan Metode Eliminansi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan SPL adalah: mengubah matriks augmented spl ke dalam spl lain yang ekuivalen (penyelesaiannya sama) dan penyelesaiannya mudah dilihat, yaitu matriks augmentednya dalam bentuk eselon baris tereduksi. Untuk menjamin bahwa spl yang diperoleh ekuivalen dengan spl semula, maka digunakan operasi baris elementer. Perhatikan diagram proses berikut ini. a11 a12 a13 … a1n b1 a21 a22 a23 … a2n b2 : am1 am2 am3 … amn bm 1 0 0 0 … 0 b1 0 1 0 0 … 0 b2 : 0 0 0 0 … 1 bm operasi-operasi baris elementer matriks augmented A ebt(A)

Prinsip eliminasi Gauss Jordan Presensational content template slides Prinsip eliminasi Gauss Jordan Diberikan spl A Eliminasi Gauss Jordan: obe Berikut ini adalah Prosedur eliminasi Gauss Jordan untuk mengubah matriks menjadi bentuk eb/ebt secara efektif dan efisien. Metode Eliminansi Gauss-Jordan: Mengubah matriks augmented spl ke dalam spl lain yang ekuivalen (penyelesaiannya sama) dan penyelesaiannya mudah dilihat, yaitu matriks augmentednya dalam bentuk eselon baris tereduksi. Untuk menjamin bahwa spl yang diperoleh ekuivalen dengan SPL semula, maka digunakan operasi baris elementer. Spl A (dalam bentuk matriks augmented) ebt(A) : matriks ekuivalen A berbentuk ebt

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Tentukan kolom pertama dari A yang memuat kolom tak nol. Jika entry paling atas pada kolom ini adalah nol, lakukan tukar baris dengan baris lain yang entri pada kolom ini tidak nol. Sekarang elemen pertama pada kolom adalah tidak nol. Gantikan semua entry di bawahnya dengan 0 dengan cara jumlahan baris yang memuatnya dengan kelipatan skalar baris pertama. Setelah langkah 1-3 akan diperoleh matriks A1 Lakukan langkah 1-3 pada matriks A1. Ulangi cycle langkah-langkah di atas sehingga diperoleh bentuk matriks segitiga atas. Langkah pertama adalah menentukan kolom pertama dari A yang memuat kolom tak nol. Perhatikan contohnya.

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Tentukan kolom pertama dari Ayang memuat kolom tak nol. Jika entry paling atas pada kolom ini adalah nol, lakukan tukar baris dengan baris lain yang entri pada kolom ini tidak nol. Sekarang elemen pertama pada kolom adalah tidak nol. Gantikan semua entry di bawahnya dengan 0 dengan cara jumlahan baris yang memuatnya dengan kelipatan skalar baris pertama. Setelah langkah 1-3 akan diperoleh matriks A1 Lakukan langkah 1-3 pada matriks A1. Ulangi cycle langkah-langkah di atas sehingga diperoleh bentuk matriks segitiga atas. Bukan nol Langkah ke dua: jika entry paling atas pada kolom ini adalah nol, lakukan tukar baris dengan baris lain yang entri pada kolom ini tidak nol. Perhatikan contoh nya.

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Tentukan kolom pertama dari A yang memuat kolom tak nol. Jika entry paling atas pada kolom ini adalah nol, lakukan tukar baris dengan baris lain yang entri pada kolom ini tidak nol. Sekarang elemen pertama pada kolom adalah tidak nol. Gantikan semua entry di bawahnya dengan 0 dengan cara jumlahan baris yang memuatnya dengan kelipatan skalar baris pertama. Setelah langkah 1-3 akan diperoleh matriks A1 Lakukan langkah 1-3 pada matriks A1. Ulangi cycle langkah-langkah di atas sehingga diperoleh bentuk matriks segitiga atas. Langkah ketiga: Sekarang elemen pertama pada kolom tidak nol. Ganti semua entry di bawahnya menjadi 0 dengan cara jumlahan baris yang memuatnya dengan kelipatan skalar baris pertama. Ikuti proses ini pada contoh di samping ini.

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Tentukan kolom pertama dari A yang memuat kolom tak nol. Jika entry paling atas pada kolom ini adalah nol, lakukan tukar baris dengan baris lain yang entri pada kolom ini tidak nol. Sekarang elemen pertama pada kolom adalah tidak nol. Gantikan semua entry di bawahnya dengan 0 dengan cara jumlahan baris yang memuatnya dengan kelipatan skalar baris pertama. Setelah langkah 1-3 akan diperoleh matriks A1 Lakukan langkah 1-3 pada matriks A1. Ulangi cycle langkah-langkah di atas sehingga diperoleh bentuk matriks segitiga atas. Bukan nol 1 2 3 Langkah ke lima: Lakukan langkah 1-3 pada matriks A1. A1 adalah submatriks A dengan kolom pertama dan baris pertama dihilangkan. Simak proses ini melalui contoh di samping.

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Tentukan kolom pertama dari A yang memuat kolom tak nol. Jika entry paling atas pada kolom ini adalah nol, lakukan tukar baris dengan baris lain yang entri pada kolom ini tidak nol. Sekarang elemen pertama pada kolom adalah tidak nol. Gantikan semua entry di bawahnya dengan 0 dengan cara jumlahan baris yang memuatnya dengan kelipatan skalar baris pertama. Setelah langkah 1-3 akan diperoleh matriks A1 Lakukan langkah 1-3 pada matriks A1. Ulangi cycle langkah-langkah di atas sehingga diperoleh bentuk matriks segitiga atas. Nol. Maka, tukar baris 1 Matriks segitiga atas 2 Ke-enam, ulangi langkah-langkah di atas hingga diperoleh bentuk matriks segitiga atas. Ikuti proses pada contoh untuk lebih memahaminya.

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Ubah semua elemen utama menjadi 1 utama dengan mengalikan baris dengan konstanta tidak nol, sehingga diperoleh bentuk eb. Pergunakan 1 utama untuk mengubah semua elemen tak nol pada kolom tersebut (di atasnya) menjadi 0 dengan melakukan jumlahan baris dengan kelipatan skalar baris yang memuat 1 utama. Diperoleh matriks ebt. Berbentuk eb Selanjutnya, ubah semua elemen utama menjadi 1 utama dengan mengalikan baris dengan konstanta tidak nol, sehingga diperoleh bentuk eselon baris. Perhatikan bentuk eselon baris yang dihasilkan.

Prosedur eliminasi Gauss Jordan Ubah semua elemen utama menjadi 1 utama dengan mengalikan baris dengan konstanta tidak nol, sehingga diperoleh bentuk eb. Pergunakan 1 utama untuk mengubah semua elemen tak nol pada kolom tersebut (di atasnya) menjadi 0 dengan melakukan jumlahan baris dengan kelipatan skalar baris yang memuat 1 utama. Diperoleh matriks ebt. Terakhir: pergunakan 1 utama untuk mengubah semua elemen tak nol pada kolom tersebut (di atasnya) menjadi 0 dengan melakukan jumlahan baris dengan kelipatan skalar baris yang memuat 1 utama. Penerapan langkah ini dapat dilihat pada contoh di samping.

Prosedur Eliminasi Gauss -Jordan Ubah semua elemen utama menjadi 1 utama dengan mengalikan baris dengan konstanta tidak nol, sehingga diperoleh bentuk eb. Pergunakan 1 utama untuk mengubah semua elemen tak nol pada kolom tersebut (di atasnya) menjadi 0 dengan melakukan jumlahan baris dengan kelipatan skalar baris yang memuat 1 utama. Diperoleh matriks ebt. Teruskan proses pada tahap ini pada kolom2 yang mengandung satu utama, sehingga semua elemen di atas satu utama tersebut bernilai nol. Dihasilkan matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi atau disingkat ebt. ekuivalen A & berbentuk ebt

Latihan 2: Eliminasi Gauss-Jordan Selesaikan spl berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan Matriks augmented dari spl diatas direduksi untuk menentukan solusinya. Diberikan spl berikut ini, selesaikan dengan Eliminasi Gauss-Jordan. Matriks augmented dari spl diatas direduksi untuk menentukan solusinya. Ikuti langkah-langkah dengan seksama. Bentuk eb Bentuk ebt

Latihan 3: Eliminasi Gauss-Jordan Tentukan penyelesaian spl berikut ini dengan eliminasi Gauss-Jordan Matriks augmented spl direduksi. Tentukan penyelesaian SPL berikut ini dengan Eliminasi Gauss-Jordan Anda akan mendapati matriks augmented dalam bentuk reduksi dengan baris terakhir seperti ini. Ini adalah ciri spl tidak konsisten, mengapa? Karena tidak ada x dan y yang memenuhi persamaan terakhir ini: 0 kali x ditambah 0 kali y sama dengan 1. Spl tidak konsisten

Ciri spl tidak konsisten Contoh 6: Ciri matriks augmented dalam bentuk eselon baris dari spl tidak konsisten adalah memuat baris bebentuk [ 0 0 0 … 0 1] Interpretasi baris di atas 0x1 + 0x2 + 0x3 +….+0xn = 1 (tidak konsisten) Diberikan matriks augmented, bagaimana penyelesaiannya? A adalah matriks ugmented dari spl yang konsisten. Sedangkan B dan C adalah matriks augmented dari spl tidak konsisten. Perhatikan apa ciri-ciri spl tidak konsisten dilihat dari matriks augmentednya?  Ciri spl tidak konsisten Dari contoh-contoh tersebut, bagimana ciri spl tidak konsisten? Matriks augmented dalam bentuk ebt menyajika spl tidak konsisten memiliki baris yang entri terakhirnya 1 dan entri lain nol semua. Mengapa demikian? Karena baris ini menyajikan persamaan 0x1 + 0x2 + 0x3 +….+0xn = 1, tidak mungkin dipenuhi oleh bilangan manapun (tidak mempunyai penyelesaian)  

Latihan 4: matriks augmented dalam ebt Tentukan matriks augmented mana yang menyajikan spl konsisten dengan satu penyelesaian, tak hingga banyak penyelesaian dan tidak konsisten? Jawaban: a. satu penyelesaian b. tidak konsisten, c. takhingga banyak penyelesaian d. satu penyelesaian, e. tidak mempunyai penyelesaian, f. tidak mempunyai penyelesaian, g. tidak mempunyai penyelesaian Tentukan matriks augmented mana yang menyajikan spl konsisten Cocokkan dengan kunci jawaban berikut ini. Konsisten dengan satu penyelesaian tidak konsisten Tidak ada persamaannya Konsisten dengan tak hingga banyak penyelesaian Konsisten dengan tak hingga banyak penyeesaian Tidak konsisten

Presensational content template slides Pengenalan spl Penyelesaian spl Metode eliminasi substitusi Metode geometris Metode eliminasi Gauss-Jordan Penyajian spl Spl homogen Operasi baris elementer Matriks bentuk tereduksi Prosedur eliminasi Gauss-Jordan SPL Homogen adalah jenis spl yang akan banyak dipergunakan pada bab-bab selanjutnya. 1.6 Spl homogen

Spl homogen: geometris dan konsistensi Definisi 1.4: Spl homogen Sistem persamaan linier disebut homogen jika konstanta-konstanta di sebelah kanan tanda sama dengan (b1, b2, …, bn) adalah nol. Contoh 7: Representasi matriks augmented Representasi geometris x + 4y = 0 x + y =0 SPL homogen didefinisikan berikut ini. Perhatikan contoh berikut dan representasinya secara geometris. Berikut ini matriks augmented spl homogen secara umum.

Penyelesaian spl homogen Konsistensi: Setiap spl homogen pasti konsisten. Spl homogen memiliki paling tidak satu penyelesaian, yaitu: (x1, x2, …, xn ) = (0, 0, …, 0); disebut penyelesaian trivial Substitusi x1, x2, …, xn dengan 0 (nol): setiap persamaan terpenuhi Bagaimana konsistensi spl homogen? Setiap spl homogen pasti konsisten setidaknya memiliki satu solusi trivial.

Spl homogen dengan tak hingga banyak penyelesaian Diberikan spl homogen berikut: Matriks augmentednya berbentuk: Penyelesaian: Parameter utama: x1 dan x2 Parameter bebas: x3 Sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian non-trivial bila dan hanya bila mempunyai paling sedikit satu parameter bebas. Diberikan spl homogen berikut. Perhatikan dengan seksama. Matriks augmentednya berbentuk: Setelah proses Eliminasi Gauss Jordan diperoleh matriks ebt. Terlihat bahwa spl tersebut memiliki tak hingga banyak penyelesaian, Dengan penyelesaian umum ……. x3 = a, x1 = a, x2 = 2a Parameter utama-nya: x1 dan x2 Parameter bebas: x3 Jadi, Sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian nontrivial bila dan hanya bila mempunyai paling sedikit satu parameter bebas.

Latihan 5 Selesaikan spl berikut Banyaknya unknown > banyaknya persamaan Pasti terdapat parameter bebas, maka tidak mungkin mempunyai tepat satu solusi Mempunyai tak hingga banyak solusi atau tidak konsisten Diberikan tiga spl berikut ini Terlihat bahwa banyaknya unknown lebih besar dari banyaknya persamaan. Pasti terdapat parameter bebas, maka tidak mungkin mempunyai tepat satu solusi Spl dengan banyaknya unknown lebih besar dari banyaknya persamaan, mempunyai tak hingga solusi atau tidak konsisten.

Spl under-determined dan spl over-determined Spl under-determined: spl dengan banyaknya unknown > banyaknya persamaan. memiliki parameter bebas , maka memiliki tak hingga banyak solusi atau tidak konsisten tidak mungkin memiliki tepat satu solusi Spl over-determined: banyaknya persamaan > banyaknya unknown Spl under-determined: spl dengan banyaknya unknown > banyaknya persamaan. memiliki parameter bebas , maka memiliki tak hingga banyak solusi atau tidak konsisten tidak mungkin memiliki tepat satu solusi Spl over-determined: banyaknya persamaan lebih besar daripada banyaknya unknown

Latihan 6 Selesaikan SPL berikut Banyaknya unknown ≤ banyaknya persamaan Kemungkinan: memiliki tepat 1 solusi, memiliki tak hingga banyak solusi atau tidak konsisten Contohnya seperti berikut ini. Banyaknya unknown ≤ banyaknya persamaan Kemungkinan: memiliki tepat 1 solusi, memiliki tak hingga banyak solusi atau tidak konsisten

Konsep kunci Buatlah ringkasan materi yang baru saja kamu pelajari. Periksalah hasil ringkasanmu, apakah sudah mencakup semua konsep penting berikut ini? Persamaan linier Sistem persamaan linier Penyelesaian spl Spl konsisten Eliminasi-substitusi Parameter bebas dan parameter utama Spl ekuivalen Matriks koefisien Matriks augmented Operasi baris elementer Eselon baris dan eselon baris tereduksi Satu utama Eliminasi Gauss-Jordan Spl homogen Spl over-determined dan under-determined Penyelesaian trivial Buatlah ringkasan materi yang baru saja kamu pelajari. Pantau pemahamanmu dengan konsep kunci. Topik mana yang sudah kamu pahami dengan baik dan mana yang belum. Pelajari kembali konsep-konsep penting yang belum dipahami.

Presensational content template slides Untuk menguji pemahamanmu jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini: Post-test Modul

Presensational content template slides Post-test Jawablah pertanyaan berikut ini: Berikan masing-masing satu contoh spl tidak homogen under-determined yang: memiliki tepat 1 solusi memiliki tak hingga banyak solusi tidak konsisten Berikan masing-masing satu contoh spl homogen under-determined yang: Berikan masing-masing satu contoh spl tidak homogen under-determined yang: memiliki tepat 1 solusi memiliki tak hingga banyak solusi tidak konsisten Berikan masing-masing satu contoh spl homogen under-determined yang:

Presensational content template slides Post-test Jawablah pertanyaan berikut ini: Berikan masing-masing satu contoh spl tidak homogen over-determined yang: memiliki tepat 1 solusi tidak memiliki solusi memiliki tak hingga banyak solusi Berikan masing-masing satu contoh spl homogen over-determined yang: tidak konsisten Berikan masing-masing satu contoh spl tidak homogen over-determined yang: memiliki tepat 1 solusi tidak memiliki solusi memiliki tak hingga banyak solusi Berikan masing-masing satu contoh spl homogen over-determined yang: tidak konsisten

Refleksi Tulislah Buatlah mind-map tentang SPL 3 hal baru paling menarik yang kamu pelajari dari modul ini. 2 hal terkait yang ingin kamu pelajari lebih lanjut. Buatlah mind-map tentang SPL Refleksi: Buatlah ringkasan materi untuk modul ini. Boleh dalam diagram atau uraian dengan kata-kata. Periksalah ringkasanmu, cocokkan dengan materi di text. Kemudian, tulislah 3 hal yang paling menarik yang kamu pelajari dari modul ini, dan tiga hal yang ingin kamu pelajari lebih lanjut.

Selamat, Anda telah menyelesaikan Modul 1 Selamat, Anda telah menyelesaikan Modul 1. Bersiaplah untuk modul selanjutnya Selamat, Anda telah menyelesaiakn modul pertama. Modul ini menjadi dasar untuk mempelajari Modul berikutnya. Bersiaplah untuk modul selanjutnya.