Sukiswo sukiswok@yahoo.com RANDOM VARIABLES Sukiswo sukiswok@yahoo.com Rekayasa Trafik, Sukiswo

Definisi Random Variables Random variables (r.v.) X() adalah fungsi real ‘single-valued’ yang memberikan bilangan real X() ke tiap sample point  dari sample space S Biasanya digunakan X utk menggantikan X() Rekayasa Trafik, Sukiswo

Definisi Random Variables Sample space S  domain dari r.v. X Kumpulan semua bilangan (harga dari X())  range dari r.v. X Range dari X merupakan subset dari set semua bilangan real Dua atau lebih sample point berbeda dapat memberikan harga X() yg sama, tetapi Dua bilangan berbeda dari range tidak dapat dialokasikan pada sample point yg sama Rekayasa Trafik, Sukiswo

Definisi Random Variables Contoh 1 Pd eksperimen lempar coin satu kali dg S = {H,T}, kita dp definisikan r.v. X sebagai X(H) = 1 X(T) = 0 Kita juga dp definisikan r.v. lain, mis. Y atau Z dg Y(H) = 0, Y(T) = 1 atau Z(H) = 0, Z(T) = 0 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Events dari Random Variables Jika X adalah r.v. dan x bilangan real tetap, maka event (X = x): (X = x) = {: X() = x} Hal serupa utk bilangan tetap x, x1, dan x2 dp ditentukan events berikut: (X  x) = {: X()  x} (X > x) = {: X() > x} (x1 < X  x2) = {: x1 < X()  x2} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Events dari Random Variables Events tadi mempunyai probabilitas yg dinyatakan: P(X = x) = P{: X() = x} P(X  x) = P{: X()  x} P(X > x) = P{: X() > x} P(x1 < X  x2) = P{: x1 < X()  x2} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Events dari Random Variables Contoh 2 Pd eksperimen lempar fair coin tiga kali, sample space S1 terdiri dari 8 equally likely sample points S1 = {HHH, HHT, HTH, THH,HTT, THT, TTH, TTT}. Jika X adalah r.v. yg menunjukan jumlah ‘head’ yg didapat, cari: (a) P(X = 2); (b) P(X < 2) (a) Mis. A  S1 event yg ditentukan dg X = 2, maka A = (X = 2) = {: X() = 2} = {HHT, HTH, THH} karena sample point ‘equally likely, didp: P(X = 2) = P(A) = 3/8 (b) Mis. B  S1 event yg ditentukan dg X < 2, maka B = (X < 2) = {: X() < 2} = {HTT, THT, TTH, TTT}, dan P(X < 2) = P(B) = 4/8 = 1/2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Distribution Functions Distribution function (cumulative distribution function/cdf) dari X adalah fungsi: FX(x) = P(X  x) - < x <  Properties dari FX(x) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Distribution Functions Contoh 3 Mis r.v. X spt didefiniskan pd contoh 2. Cari dan gambar cdf FX(x) dari X Rekayasa Trafik, Sukiswo

Distribution Functions Rekayasa Trafik, Sukiswo

Penentuan probabilitas dari Fungsi Distribusi Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variables dan Probability Mass Functions X adalah r.v. diskrit jika range berisi finite atau countably infinite number of points  FX(x) merupakan fungsi ‘staircase’ Probability Mass Functions: Mis. jump pd FX(x) dari r.v. X diskrit terjadi pd titik x1, x2, … dimana deretan bisa terbatas atau countably tak terbatas, dg asumsi xi , xj jika i < j, maka FX(xi) - FX(xi-1) = P(X  xi) - P(X  xi-1) = P(X = xi) pX(x) = P(X = x) pX(x) = prob. mass function (pmf) dr r.v. diskrit X Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variables dan Probability Mass Functions Properties dari pX(x) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables dan Probability Density Functions Definisi X adalah r.v. kontinyu jika range merupakan interval (finite atau infinite) dari bilangan real. Jika X adalah r.v. kontinyu, maka P(X = x) = 0 Probability Density Functions fungsi fX(x) = probability density function (pdf) dari r.v. kontinyu X Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables dan Probability Density Functions Properties dari fX(x) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables dan Probability Density Functions Cdf FX(x) dari r.v. kontinyu X dp diperoleh dg: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Mean dan Variance Mean (expected value) : X atau E(X) Moment, moment ke-n dari r.v. X: Cat: mean dari X adalah moment pertama dari X Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Mean dan Variance Variance X2 atau Var(X) didefinisikan: Var(X)  0 Standar deviasi dari r.v. X dinyatakan dg X = akar kuadrat dari Var(X) Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Bernoulli Bernoulli r.v. X diasosiasikan dg eksperimen (Bernoulli trial) dimana outcome dp diklasifikasikan sbg “sukses”, dg prob. p atau “gagal”, dg prob 1-p. Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Ilustrasi Distribusi Bernoulli Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Mean dan variance dari Bernoulli r.v X: X = E(X) = p X2 = VAR(X) = P(1 - p) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Binomial Binomial r.v. X diasosiasikan dg eksperimen dimana n independen Bernoulli trial dilakukan dan X menyatakan jumlah sukses dlm n trials Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Mean dan Variance dari Distribusi Binomial X = E(X) = np X2 = Var(X) = np(1 - p) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Ilustrasi Distribusi Binomial utk n = 6 dan p = 0,6 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Poisson r.v. Poisson mempunyai aplikasi yg luas dlm berbagai area krn dp digunakan sbg aproksimasi r.v. binomial dg parameter (n,p) utk n besar dan p kecil (np moderat) Contoh penggunaan r.v. Poisson: Jumlah panggilan telepon yg datang pd suatu sentral dlm suatu interval waktu tertentu Jumlah pelanggan yg memasuki bank dlm suatu interval waktu tertentu Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Poisson Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Mean dan Variance dari Distribusi Poisson X = E(X) =  X2 = Var(X) =  Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Ilustrasi Distribusi Poisson utk  = 3 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Uniform Distribusi uniform sering digunakan jika tdk diketahui ‘pengetahuan awal’ dari pdf dan semua harga dlm range kelihatannya ‘equally likely’ Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Mean dan Variance dari Distribusi Uniform Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Ilustrasi Distribusi Uniform Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Eksponensial Properti yg paling penting adalah “memoryless” Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Mean dan Variance Distribusi Eksponensial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Eksponensial Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Normal (Gaussian) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Mean dan Variance Distribusi Normal (Gaussian) X = E(X) =  X2 = Var(X) = 2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Beberapa Distribusi Khusus Distribusi Normal (Gaussian) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Distributions Conditional cdf FX(x|B) dari r.v. X diberikan event B: Rekayasa Trafik, Sukiswo

MULTIPLE RANDOM VARIABLES Rekayasa Trafik, Sukiswo

Multiple Random variables Bivariate Random Variables (2-D Random Vector) Rxy = {(x,y);   S and X() = x, Y() = y} Rekayasa Trafik, Sukiswo

Multiple Random variables Bivariate Random Variables (2-D Random Vector) Jika r.v. X dan Y diskret  (X,Y) discrete bivariate r.v. Jika r.v. X dan Y kontinyu  (X,Y) continuous bivariate r.v. Jika salah satu diskret dan lainnya kontinyu  (X,Y) mixed bivariate r.v. Rekayasa Trafik, Sukiswo

Joint Distribution Functions Joint cdf dari X dan Y, FXY(x,y) adalah fungsi: FXY(x,y) = P(X  x, Y  y) Event (X  x, Y  y) ekivalen dg event A  B, dimana A dan B adalah events dari S: A = {  S; X()  x} dan B = {  S; Y()  y} dan P(A) = FX (x) P(B) = FY(y) shg FXY(x,y) = P(A  B) Jika utk harga x dan y, A dan B independen: FXY(x,y) = P(A  B) = P(A) P(B) = FX(x)FY(y) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Joint Distribution Functions Dua r.v. X dan Y independen jika FXY(x,y) = FX(x)FY(y) utk setiap harga x dan y Rekayasa Trafik, Sukiswo

Properties dari FXY(x,y) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Joint Distribution Functions Contoh: Eksperimen lempar coin yg fair dua kali. (X,Y) adalah bivariate r.v., dimana X jumlah head dan Y jumlah tail dlm dua lemparan. a. Berapa range RX dari X? b. Berapa range RY dari Y? c. Gambar range RXY dari (X,Y) d. Cari P(X=2, Y=0), P(X=0, Y=2), dan P(X=1, Y=1) Jawab: Sample space S dari eksperimen: S = {HH, HT, TH, TT} a. RX = {0,1,2} b. RY = {0,1,2} c. RXY = {(2,0),(1,1),(0,2)} d. P(X=2,Y=0) = P{HH} = 1/4 P(X=0,Y=2) = P{TT} = 1/4 P(X=1,Y=1) = P{HT,TH} = 1/2 Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo

Marginal Distribution Functions Rekayasa Trafik, Sukiswo

Marginal Distribution Functions Contoh: Joint cdf dari bivariate r.v. (X,Y) diketahui: a. Cari marginal cdf dari X dan Y b. Perlihatkan bahwa X dan Y independen c. Cari P(X1, Y1), P(X1), P(Y>1), dan P(X>x, Y>y) Jawab: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Marginal Distribution Functions Jawab: a. b. Karena FXY(x,y) = FX(x)FY(y), X dan Y independen c. P(X1, Y1) = FXY(1,1) = (1 - e-)(1 - e-) P(X1) = FX(1) = (1 - e- ) P(Y>1) = 1 - P(Y  1) = 1 - FY(1) = e- Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variables - Joint Probability Mass Functions Untuk (X,Y) discrete bivariate r.v., fungsi pXY(xi,yj) joint probability mass function (joint pmf) dari (X,Y): pXY(xi,yj) = P(X=xi, Y=yj) Properties dari pXY(xi, yj): Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variables - Joint Probability Mass Functions Marginal Probability Mass Functions: Mis. Untuk harga tetap X = xi, r.v. Y  yj (j = 1, 2, …, n) dimana penjumlahan dilakukan utk semua kemungkinan pasangan (xi, yj) dg xi tetap. Hal yang sama: (xi, yj) dg yj tetap  Marginal pmf dari X  Marginal pmf dari Y Rekayasa Trafik, Sukiswo

Discrete Random Variables - Joint Probability Mass Functions Independent Random Variables: Jika X dan Y r.v. independent: pXY(xi, yj) = pX(xi)pY(yj) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo Contoh: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables - Joint Probability Density Functions Mis. (X,Y) continuous bivariate r.v dg cdf FXY(x,y) dan mis. Fungsi fXY(x,y) disebut joint probability function (joint pdf) dari (X,Y) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables - Joint Probability Density Functions Properties dari fXY(x,y) : Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables - Joint Probability Density Functions Marginal Probability Density Functions : pdf fX(x) dan fY(y) yg didp di atas  marginal pdf dari X dan Y Rekayasa Trafik, Sukiswo

Continuous Random Variables - Joint Probability Density Functions Independent Random Variables Jika X dan Y r.v. independent Rekayasa Trafik, Sukiswo

Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Distributions Conditional Probability Mass Functions Jika (X,Y) discrete bivariate r.v. dg joint pmf pXY(xi,yj), conditional pmf Y, diberikan X = xi: Dg cara yg sama, pX|Y(xi|yj): Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Distributions Properties dari pY|X(yj|xi): Jika X dan Y independent, maka pY|X(yj|xi) = pY(yj) dan PX|Y(xi|yj) = pX(xi) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Distributions Conditional Probability Density Functions: Jika (X,Y) continuous bivariate r.v. dg joint pdf fXY, conditional pdf dari Y, diberikan X = x: Dg cara yg sama dp didefinisikan fX|Y(x|y): Rekayasa Trafik, Sukiswo

Conditional Distributions Properties dari fY|X(y|x): Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Moment ke (k,n) dari bivariate r.v. (X,Y) didefinisikan: Jika n=0, didp moment ke-k dari X, dan jika k=0,didp moment ke-n dari Y: m10 = E(X) = X dan m01 = E(Y) = Y Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Jika (X,Y) discrete bivariate r.v., maka didp: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Dengan cara yg sama: Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Jika (X,Y) continuous bivariate r.v. : Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Dg cara yg sama : Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Joint moment ke (1,1) dari (X,Y): m11 = E(XY) disebut correlation dari X dan Y Jika E(XY) = 0  X dan Y orthogonal Covariance dari X dan Y Cov(X,Y) atau XY: Cov(X,Y) = XY = E[(X - X)(Y - Y)] Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Jika Cov(X,Y) = 0  X dan Y uncorrelated : E(XY) = E(X)E(Y) Rekayasa Trafik, Sukiswo

Covariance & Correlation Coefficient Rekayasa Trafik, Sukiswo