RISET OPERASIONAL RISET OPERASI OLEH POSO NUGROHO, SE., MM 11/20/2017

BAB 2. LINIER PROGRAMMING : FORMULASI MASALAH DAN PEMODELAN 11/20/2017

PROSES PENGAMBILAN KEPUTUSAN PROBLEM IDENTIFIKASI MASALAH IDENTIFIKASI PARAMATER MASALAH VARIABEL KEPUTUSAN TUJUAN - KENDALA SOLUSI ALTERNATIF SOLUSI OPTIMAL MELAKSANAKAN KEPUTUSAN 11/20/2017

MODEL DALAM OR Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas dari suatu sistem yg kompleks Model menunjukkan hubungan-hubungan (langsung atau tdk langsung) dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat. Model hrs mencerminkan semua aspek realitas yg sedang diteliti. Model adalah suatu fungsi tujuan dgn seperangkat kendala yang diekspresikan dlm bentuk variabel keputusan. 11/20/2017

Alasan pembentukan model : Menemukan variabel2 yg penting atau menonjol dalam suatu permasalahan Penyelidikan hubungan yg ada diantara variabel-variabel 11/20/2017

Jenis-jenis model : Iconic (physical) Model. Penyajian phisik yang tampak seperti aslinya dari suatu sistem nyata dengan skala yang berbeda. Model ini mudah untuk mengamati, membangun dan menjelaskan tetapi sulit untuk memanipulasi dan tdk dpt digunakan untuk tujuan peramalan Biasanya menunjukkan peristiwa statik. Analogue Model. Lebih abstrak dari model iconic, karena tdk kelihatan sama antara model dengan sistem nyata. Lebih mudah untuk memanipulasi dan dapat menunjukkan situasi dinamis. Umumnya lebih berguna dari pada model iconic karena kapasitasnya yang besar untuk menunjukkan ciri-ciri sistem nyata yang dipelajari.

Mathematical (Simbolic) Model. Sifatnya paling abstrak. Menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukkan komponen-komponen (dan hubungan antar mereka) dari sistem nyata. Dibedakan menjadi: Model deterministik : Dibentuk dalam situasi penuh kepastian (certainty) Memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena kepastian jarang terjadi. Keuntungannya: dapat dimanipulasi dan diselesaikan lebih mudah. Model probabilistik : Dalam kondisi ketidak-pastian (uncertainty). Lebih sulit di analisis, meskipun representasi ketidak-pastian dalam model dapat menghasilkan suatu penyajian sistem nyata yang lebih realistis.

PROSES PEMBUATAN MODEL Mendifinisikan Masalah Definisi masalah harus jelas dan menggambarkan masalah yang dihadapi Memformulasikan Model Mengkonversimasalah dalam model (gambaran abstrak) melalui 3 komopnen : variabel keputusan, tujuan, kendala 11/20/2017

4. Implementasi Keputusan Mengukur Kualiditas Apakah model digambarkan dengan tepat, diperlukan pengumpulan data dan pengetesan terhadap model. 4. Implementasi Keputusan Terdiri dari : menerima model, mempergunakan model dan mengambil keputusan 11/20/2017

KLASIFIKASI MODEL No Dterministik Model (Kepastian) Stokastik Model (Ketidakpastian) 1 Linier Programing Model Persediaan 2 Metode Transportasi Model Antrian 3 CPM Dan PERT 4 Metode Penugasan Rantai Markov 5 Teori Keputusan 6 Goal Programming Simulasi 7 Dynamic Programming 8 Interger Programming 9 10 Network Model 11/20/2017

CONTOH-CONTOH PERMASALAHAN DALAM OR Persoallan Biaya Pemasaran Berbagai Produk Perencanaan Produksi Persoalan atau Masalah Pencampuran Rencana Investasi Masalah Diet Masalah Distribusi Perencanaan Promosi Masalah Skedul Tenaga Kerja 11/20/2017

PERUMUSAN MASALAH Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Utk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan utk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan, Laba utk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing2 Rp. 80.000 dan Rp. 60.000,- Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan? 11/20/2017

Solusi Definisi variabel keputusan: Keputusan yg akan diambil adlh berapakah jlh meja dan kursi yg akan dihasilkan. Jika meja disimbolkan dgn M dan kursi dgn K, mk definisi variabel keputusan: M = jmlah meja yg akan dihasilkan (dlm satuan unit) K = jmlah kursi yg akan dihasilkan (dlm satuan unit) 11/20/2017

Perumusan persoalan dalam model LP. Perumusan fungsi tujuan: Laba utk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing2 Rp. 80.000 dan Rp. 60.000. Tujuan perusahaan adlh utk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yg dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan dpt ditulis: Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000) 11/20/2017

Perumusan Fungsi Kendala: - Kendala pada proses perakitan: Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 4 jam dan utk menghasilkan 1 bh kursi diperlukan waktu 2 jam pd proses perakitan. Waktu yg tersedia adalah 60 jam. 4M + 2K £ 60 - Kendala pada proses pemolesan: Utk menghasilkan 1 bh me ja diperlukan waktu 2 jam dan utk menghasilkan 1 bh kursi diperlukan waktu 4 jam pd proses pemolesan. Waktu yang tersedia adalah 48 jam. 2M + 4K £ 48 11/20/2017

Kendala non-negatif: Meja dan kursi yg dihasilkan tidak memiliki Nilai negatif. M ≥ 0 K ≥ 0 Perumusan persoalan dlm bentuk matematika: Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000) Dengan kendala 4M + 2K ≤ 60 2M + 4K ≤ 48 M ≥ 0 K ≥ 0 11/20/2017

Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada grafik yang sama. Penyelesaian secara grafik: (Hanya dapat dilakukan untuk model dg 2 decision variables) Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada grafik yang sama. K Laba = 8M + 6K 34 32 28 24 20 16 12 8 4 Pada A: M = 0, K = 12 Laba = 6 (12) = 72 4M + 2K  60 Pada B: M = 12, K = 6 Laba = 8(12) + 6(6) = 132 M=0  K=30 K=0  M=15 Pada C: M = 15, K = 0 Laba = 8 (15) = 120 Feasible Region A(0,12) Keputusan: M = 12 dan K = 6 Laba yg diperoleh = 132.000 B(12,6) M=0  K=12 K=0  M=24 2M + 4K  48 C(15,0) M O 4 8 12 16 20 24 28 32 34

METODE ANTRIAN Contoh Antrian : Pelanggan menunggu pelayanan di dedepan kasir Mahasiswa menunggu untuk konsultasi dgn pembimbing Mahasiswa menunggu untuk registrasi uang kuliah Penumpang menunggu loket penjualan karcis Beberapa peralatan menunggu untuk diservice Beberapa produk / komponen menunggu diselesaikan Pelanggan menunggu pelayanan telephone/listrik 11/20/2017

Contoh Sistem Antrian SISTEM GARIS TUNGGU/ANTRIAN FASILITAS PELAYANAN Lapangan Terbang Pesawat Menunggu di landasan Landasan Pacu Bank Nasabah Kasir Sistem Komputer Program Komputer CPU, Printer Pencucian Mobil Mobil Tempat Pencucian Mobil Perpustakaan Anggota Perpustakaan Pegawai Perpustakaan 11/20/2017

Pelanggan Masuk Garis Tunggu Fasilitas Pelayanan Pelanggan Keluar Struktur Sistem Antrian Pelanggan Masuk Garis Tunggu Fasilitas Pelayanan Pelanggan Keluar 11/20/2017

Langkah Analisa Antrian : Tentukan Sistem Antrian Apa Yg Harus Dipelajari Tentukan Model Antrian Yang Cocok Gunakan Formulasi Matematik/Metode Simulasi Komponen Dalam Sistem Antria : 1. Populasi Masukan (Berapa banyak populasi yang masuk antrian) Distribusi Kedatangan (Acak/konstan) Disiplin Pelayanan (FCFS, LCFS, RGD) Fasilitas Pelayanan (Satu atau Lebih dari Satu) Kapasitas Pelayan ((Terbatas/Tidak Terbatas) Karakteristik Sistem Lainnya (Menolak/Tetap Menunggu) 11/20/2017

Notasi Sistem Antrian n = Jumlah pelanggan dlm antrian Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dlm sistem λ = Jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu μ = Jumlah rata2 pelanggan yang dilayani persatuan waktu Po = Probabilitas tdk ada pelanggan dlm sistem P = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan L = Jumlah rata-rata pelanggan yg diharapkan dalam sistem 11/20/2017

06/10/2014 Lq = Jumlah pelanggan yang diharapkan \ menunggu dalam antrian W = Waktu yg diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem Wq = Waktu yg diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian 1/μ = Waktu rata-rata pelayanan 1/λ = Waktu rata-rata antar kedatangan S = Jumlah fasilitas pelayanan 11/20/2017

Singgle –Channel Model ((M/M/1) Rumus : P = λ/μ Pn = Pn (1-P) L = P/(1-p) = λ/(μ- λ) Lq = λ2/μ(μ- λ)=P2/(1-P) W = 1/(μ- λ) Wq = λ/μ(μ- λ) 11/20/2017

Multiple–Channel Model ((M/M/S) Rumus : s-1 Po = ∑ (λ/μ)n /n! + (λ/μ)ns /s!(1 - λ/sμ ) n=0 Pn = (λ/μ)n (Po), jika 0 ≤ n ≤ s n! (λ/μ)n (Po), jika n ≥s s!sn-s L = λW = Lq+ λ/μ Lq = Po (λ/μ)s2 P/S!(1-P)2 W = Wq + 1/μ Wq = Lq/λ 11/20/2017

Singgle –Channel Model ((M/M/1) Kasus : PT X mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator bernama Shony. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Shony dapat melayani rata-rata 25 kendaraan per jam dengan waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial. Hitunglah a. tingkat intensitas pelayanan, b. jumlah rata-rata kendaraan yg diharapkan dlm antrian, c. jumlah kendaraan yg diharapkan menunggu dlm antrian, d. waktu yg diharapkan oleh setiap kendaraan selama dlm sistem , e. waktu yg diharapkan oleh setiap kendaraan utk menunggu dlm antrian 11/20/2017

Solusi Diketahui : λ = 20 dan μ = 25 (a) P = λ / μ = 20/25 = 0,80 (Shony sibuk melayani kendaraan selama 80 % dari waktunya (b) L = λ /( μ – λ) = 20/(25-20) = 4 (Shony mengharapkan 4 kendaraan dalam sistem) (c) Lq = λ2 / μ ( μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3,20 (mobil yg menunggu untuk dilayani dlm antrian sebanyak 3,20 kendaraan) (d) W = 1 /( μ – λ = 1/(25-20) = 0,20 jam atau 12 menit (rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit) (e) Wq = λ / μ ( μ – λ) = 20 /25 (25-20) = 0,16 jam atau 9,6 menit (waktu rata-rata kendaraan menunggu dlm antrian selama 9,6 menit 11/20/2017

Multiple–Channel Model Kasus Sebuah rumah sakit memiliki sebuah ruang gawa darurat (RGD) yang berisikan 3 bagian ruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan memiliki satu orang dokter dan satu orang jururawat. Secara rata-rata seorang dokter dan jururawat dapat merawat 5 orang pasien per jam. Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan , mereka dapat melayani rata-rata 12 pasien perjam . Laporan pihak statistik pasien menunjukkan bahwa kedatangan dan penyelesaian pelayanan mengikuti distribusi poisson. 11/20/2017

Solusi : Diketahui : μ = 5, λ = 12, s = 3 p = λ / μ s = 12/(5)(3) = 0,80 Po = 1- 0,80 = 0,20 0,20 (12/5)5 (12/15) Lq = --------------------------- = 9,216 pasien/ 3 !( 1- 12/15)2 Wq = Lq / λ = 9,216/12 = 0,768 jam atau 46 menit W = Wq + 1/ μ = 0,768 + 1/5 = 0,968 jam atau 58 menit L = λW = 12 (0,968) 11,62 11/20/2017

GAMBAR. POSISI M. PENUGASAN, M. TRANSPORTASI DAN M SIMPLEKS 11/20/2017

RANTAI MARKOV Rantai Markov (Markov Chains) adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan untuk melakukan pemodelan (modelling) bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut di waktu yang lalu. Teknik ini dapat digunakan juga untuk menganalisis kejadian-kejadian di waktu-waktu mendatang secara matematis. Model Rantai Markov ditemukan oleh seorang ahli Rusia yang bernama A.A. Markov pada tahun 1906. 11/20/2017

Gambar . Peristiwa dalam Rantai Markov 11/20/2017

Kt(j) = peluang kejadian pada t(j) P = Probabilitas Transisional Kt(j) = P x Kt(j-1) dimana, Kt(j) = peluang kejadian pada t(j) P = Probabilitas Transisional t(j) = waktu ke-j Konsep dasar analisis markov adalah state dari sistem atau state transisi, sifat dari proses ini adalah apabila diketahui proses berada dalam suatu keadaan tertentu, maka peluang berkembangnya proses di masa mendatang hanya tergantung pada keadaan saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya, atau dengan kata lain rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yg akan datang tergantung pd kejadian sekarang. 11/20/2017

Analisis Markov ini sangat sering digunakan untuk membantu pembuatan keputusan dalam bisnis dan industri, misalnya dalam masalah ganti merek, masalah hutang-piutang, masalah operasi mesin, analisis pengawasan dan lain-lain. Informasi yang dihasilkan tidak mutlak menjadi suatu keputusan, karena sifatnya yang hanya memberikan bantuan dalam proses pengambilan keputusan. 11/20/2017

B. Probabilitas Transisi dan Contoh Kasus Probabilitas Transisi adalah perubahan dari satu status ke status yang lain pada periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Tabel 1 berikut ini : 11/20/2017

11/20/2017

n adalah jumlah keadaan dalam proses dan pij adalah kemungkninn an transisi dari keadaan saat i ke keadaan j. Jika saat ini berada pada keadaan i maka baris i dari tabel di atas berisi angka-angka pi1, pi2, , pin merupakan kemungkinan berubah ke keadaan berikutnya. Oleh karena angka tersebut melambangkan kemungkinan, maka semuanya melupakan bilangan non negatif dan tidak lebih dari satu. Secara matematis : 0 < pij < 1 i = 1, 2, ....., n Σ pij = 1 i = 1, 2, ....., n 11/20/2017

Contoh : Pada suatu kota kecil terdapat dua pasar swalayan W dan L. Diasumsikan setiap pembeli di kota tersebut melakukan kunjungan belanja satu kali per minggu. Dalam sembarang minggu seorang pembeli hanya berbelanja di W atau di L saja, dan tidak di keduanya. Kunjungan belanja disebut percobaan (trial) dari proses dan toko yang dipilih disebut keadaan dari proses. Suatu sampel 100 pembeli diambil dalam periode 10 minggu, kemudian data dikompilasikan. 11/20/2017

Dalam menganalisis data, terlihat bahwa dari seluruh pembeli yang berbelanja di W dalam suatu minggu, 90 persen tetap berbelanja di toko W pada minggu berikutnya, sedangkan sisanya berpindah belanja pada toko L. 80 persen dari yang berbelanja di toko L dalam suatu minggu tetap berbelanja di toko L sedangkan 20 persen berpindah belanja pada toko W. Informasi tersebut disusun pada tabel 2 berikut : 11/20/2017

11/20/2017

Keadaan 1 : Pembeli berbelanja di Solusi : Pada kedua baris berjumlah 100, tetapi jumlah kolom tidak. Informasi ini digunakan untuk membuat matriks kemungkinan perpindahan keadaan / transisi. Didefinisikan : Keadaan 1 : Pembeli berbelanja di W Keadaan 2 : Pembeli berbelanja di L Dengan demikian matriks kemungkinan transisinya adalah : 11/20/2017

Terlihat bahwa kemungkinan dari setiap baris berjumlah satu Tabel. Probabilitas Transisi Terlihat bahwa kemungkinan dari setiap baris berjumlah satu 11/20/2017

C. Syarat-Syarat Dalam Analisa Markov Untuk mendapatkan analisa rantai markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, adalah sebagai berikut 11/20/2017

Penerapan analisa markov bisa dibilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisa markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem) 11/20/2017

D. Probabilitas Tree dan Contoh Kasus Probabilitas Tree merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan sejumlah terbatas transisi dari suatu proses Markov. Agar lebih jelas kita masih akan mengambil contoh kasus seperti di bawah ini : Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 220 unit mobil. Namun tidak semua mobil dapat beroperasi dikarenakan mesin rusak. Data mobil yang sedang beroperasi(narik) dan rusak(mogok) adalah sebagai berikut : 11/20/2017

Dalam waktu dua hari ini terdapat perubahan, mobil yang beroperasi ternyata mengalami kerusakan, dan sebaliknya. Untuk mengetahui perubahan yang terjadi dapat dilihat pada tabel di bawah ini : 11/20/2017

Dari data tersebut hitunglah : a. Probabilitas transisi b. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 narik c. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik d. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 mogok e.Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok 11/20/2017

a. Probabilitas Transisi Solusi : a. Probabilitas Transisi (Untuk jawaban b-e lihat diagram pohon di bawah ini) Jika Hari ke 1 NARIK : 11/20/2017

Probabilitas Tree jika hari ke-1 NARIK 11/20/2017

Probabilitas Tree jika hari ke-1 MOGOK 11/20/2017

Dari 2 gambar tersebut, kita bias menjawab jawab soal di atas, sehingga : Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 narik = 0,3402 + 0,3084 = 0,6486 Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik = 0,2431 + 0,1083 = 0,3514 Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 mogok = 0,4316 + 0,1924 = 0,624 Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok = 0,3084 + 0,0676 = 0,376 11/20/2017