STATISTIKA Pertemuan 4: Pengantar teori peluang dan distribusi peluang Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

Materi Pengantar Probabilitas Prinsip menghitung Distribusi probabilitas Diskrit Kontinu

Pengantar Peluang [1] Peluang (p)  kemungkinan terjadinya suatu peristiwa di masa yang akan datang (0≤p≤1). Beberapa istilah penting Percobaan – aktivitas yang melahirkan peristiwa Hasil (ruang sampel) – semua kemungkinan peristiwa yang mungkin dari suatu percobaan Peristiwa – hasil yang terjadi dari satu percobaan

Pengantar Peluang [2] Menghitung probabilitas suatu peristiwa A Pendekatan klasik Pendekatan relatif Pendekatan subjektif  berdasarkan penilaian pribadi atau opini ahli

Pengantar Peluang [3] Contoh: Percobaan/Kegiatan : jenis kelamin ikan hasil tangkapan Hasil : Betina, jantan Peluang jenis kelamin (peristiwa) yang muncul Betina = Jantan = Jika terdapat 500 ikan yang berhasil ditangkap, di mana 350 berjenis kelamin jantan dan 150 betina, maka berapa peluang masing-masing jenis kelamin?

Prinsip Menghitung Permutasi Banyaknya cara untuk mengatur k objek dari n objek secara berurutan contoh: Ada 5 ikan dgn jenis berbeda di mana 3 diantaranya akan diatur di tempat penyimpanan. Berapa banyak cara untuk mengatur ikan-ikan tersebut? Jawab: cara

Prinsip Menghitung Kombinasi Banyaknya cara memilih/mengatur k objek dari n objek tanpa memperhatikan urutan Contoh: Ada 5 ekor ikan dengan jenis berbeda dan 3 diantaranya akan dipilih secara acak. Berapa banyak kombinasi jenis ikan yang akan terambil Jawab: kombinasi

Dari suatu komite yg terdiri atas 6 orang (4 pria, 2 wanita), akan dipilih perwakilan 3 orang untuk mengikuti sebuah seminar. Berapa probabilitas perwakilan tersebut terdiri atas minimal 1 wanita?

Definisi Variabel Acak Variabel acak  menyatakan kemungkinan nilai numerik dari suatu peristiwa/percobaan Variabel acak diskrit  variabel acak yang berasal dari proses membilang/menghitung (misal: jumlah ikan yang tertangkap, jumlah nelayan) Variabel acak kontinu  variabel acak yang berasal dari proses pengukuran (misal: panjang dan berat ikan). Chap 5-9 Copyright ©2012 Pearson Education, Inc. publishing as Prentice Hall

Definisi Variabel Acak Variabel acak diskrit Variabel acak kontinu Chap 5-10 Copyright ©2012 Pearson Education, Inc. publishing as Prentice Hall

Variabel Acak Diskrit Digunakan untuk menggambarkan hasil dari percobaan yang dapat dihitung Contoh : Pengocokan dadu Pandang X=banyaknya kocokan sampai muncul 4 titik (maka X bisa bernilai 1, 2, ...) Pelemparan uang koin 5 kali pandang X=banyaknya muncul gambar (maka X = 0, 1, 2, 3, 4, atau 5) Chap 5-11 Copyright ©2012 Pearson Education, Inc. publishing as Prentice Hall

Distribusi Peluang Diskrit Distribusi peluang variabel acak diskrit adalah kumpulan semua kemungkinan hasil numerik untuk variabel diskrit serta peluang untuk masing-masing hasil tersebut. Misal: kemungkinan/peluang muncul setiap sisi (titik) pada pengocokan dadu Jumlah titik Probabilitas 1 0.10 2 3 0.35 4 0.24 5 0.16 6 0.05

Distribusi Bernoulli dan Binomial Distribusi peluang diskrit untuk percobaan yang memberikan hasil biner (dua kemungkinan hasil) yang saling mutually exclusive. Percobaan ini disebut percobaan Bernoulli Antar percobaan/observasi saling independen Diasumsikan probabilitas untuk peristiwa yang terjadi bersifat konstan Bila jumlah percobaan adalah 1 (n=1), maka distribusi probabilitas diskritnya adalah distribusi bernoulli, dengan fungsi

Apabila percobaan bernoulli dilakukan lebih dari sekali, maka distribusi peluang yang dihasilkan disebut distribusi binomial Fungsi peluang binomial sbb

Contoh: Distribusi Binomial Peluang recapture mendapatkan ikan yang memiliki tag adalah sebesar 0.20. Jika ditangkap sebanyak 5 ikan, hitunglah Berapa peluang tidak ada ikan yang memiliki tag? Berapa peluang tepat ada satu ikan yang memiliki tag? Berapa peluang paling banyak 2 ikan memiliki tag? Berapa peluang minimal 1 ikan memiliki tag?

Contoh: Distribusi Binomial Tidak ada ikan yang memiliki tag– P(X=0) Tepat satu ikan memiliki tag .....

c. Paling banyak 2 ikan memiliki tag– P(X≤2) d c. Paling banyak 2 ikan memiliki tag– P(X≤2) d. Minimal satu ikan memiliki tag .....

Distribusi Poisson [1] Digunakan ketika terdapat percobaan dengan jumlah yang sangat besar, namun peluang terjadinya ‘sukses’ relatif kecil. Pada situasi ini, pendekatan distribusio binomial menjadi impractical. Contoh: Banyaknya kecelakaan di wilayah Dinoyo dalam sehari Banyaknya kesalahan ketik dalam buku Simeon D. Poisson (1781-1840)

Distribusi Poisson [2] Di mana: x = jumlah peristiwa dalam area of opportunity  = rata-rata terjadinya peristiwa sukses e = bilangan natural (2.71828..) Area of opportunity  a continuous unit or interval of time, volume, or such area in which more than one occurrence of an event can occur. Chap 5-19 Copyright ©2012 Pearson Education, Inc. publishing as Prentice Hall

Contoh: Distribusi Poisson Rata-rata pemancing di suatu danau memperoleh 0.667 ikan per jam. Jika seorang pemancing akan memancing selama 7 jam, hitunglah: Rata-rata jumlah ikan yang terpancing selama 7 jam tersebut (λ) Dalam 7 jam, berapa peluang akan didapat Tidak diperoleh satu ekor pun ikan Maksimal 2 ekor ikan Minimal 1 ekor ikan

Contoh: Distribusi Poisson Rata-rata jumlah ikan yang terpancing selama 7 jam Dalam 7 jam, tidak diperoleh satu ekor ikan

Distribusi Probabilitas Kontinu Distribusi peluang variabel acak kontinu adalah kumpulan semua kemungkinan hasil numerik untuk variabel kontinu serta peluang untuk masing-masing hasil tersebut.

Distribusi Probabilitas Kontinu: Distribusi Normal (N) ‘berbentuk genta/lonceng simetris mean=median=modus f(X) σ X μ Mean = Median = Modus

Fungsi Densitas Probabilitas Normal Where e = 2.71828 π = 3.14159 μ = rata-rata populasi σ = standar deviasi populasi

Distribusi Normal Standar (Z) Setiap distribusi normal (dengan berbagai nilai mean dan standar deviasi) dapat dijadikan distribusi normal standar (Z) Distribusi Z memiliki mean=0 dan standar deviasi=1

Transformasi Normal Standar (XZ) Distribusi Z selalu memiliki mean = 0 and standar deviasi = 1

Contoh: Transformasi Normal Standar Misal, X=panjang ikan hiu Ordo Orectolobiformes saat matang gonad yg didaratkan di PPN Brondong Lamongan Jika X berdistribusi normal dengan mean=86 cmdan standar deviasi=27cm, nilai Z untuk X = 120 cm yaitu

Menentukan Peluang Normal Peluang normal dihitung berdasarkan luas area di bawah kurva normal f(X) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X < b ) (Catatan: P(X=x) untuk berbagai nilai x selalu nol.  P(X=x)=0) a b X

Tabel Normal Standar Tabel Kumulatif Normal Standar merupakan tabel yang berupa daftar peluang kurang dari (kumulatif—P(Z≤z)). 0.8962 Contoh: P(Z < 1.26) = 0.8962 Z 1.20

Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama Tabel Normal Standar Kolom menunjukkan nilai desimal kedua Z Z 0.00 0.01 .... 0.06 0.0 0.1 Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama . 1.2 0.8962 P(Z < 1.26) = 0.8962 2.0

Prosedur Menentukan Nilai Peluang Normal Untuk mendapatkan nilai P(a < X < b) jika X berdistribusi normal: Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan Transformasi X ke Z Gunakan tabel normal standar

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Misal, X=panjang ikan hiu Ordo Orectolobiformes saat matang gonad yg didaratkan di PPN Brondong Lamongan Jika X berdistribusi normal dengan mean=86 cmdan standar deviasi=27cm, hitung nilai P(X<95) a) Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan 95 X 86.0

Contoh: Menghitung Peluang Normal b) Transformasi X Z μ = 18 σ = 5 μ = 0 σ = 1 X Z 86 95 0.33 P(X < 95) P(Z < 0.33)

Contoh: Menghitung Peluang Normal P(X < 86) b) Hitung peluang dengan bantuan Tabel normal = P(Z < 0.33) .02 .03 Z .00 .01 0.6293 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 Z 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 0.00 0.33

Contoh: Menghitung Peluang Normal Tentukan P(X > 95) X 86 95 Chap 6-35

Contoh: Menghitung Peluang Normal (continued) Tentukan P(X > 95)… P(X > 95) = P(Z > 0.33) = 1.0 - P(Z ≤ 0.33) = 1.0 - 0.6293 = 0.3707 0.6293 1.000 1.0 - 0.6293 = 0.3707 Z Z 0.33 0.33 Chap 6-36

Contoh: Menghitung Pleuang Normal Tentukan P(86 < X < 95) 86 95 X

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(86 < X < 95) Hitung nilai Z 86 95 X 0.12 Z P(86< X < 95) = P(0 < Z < 0.33) Chap 6-38

Contoh: Menghitung Peluang Normal P(86 < X < 95) = P(0 < Z < 0.33) .02 .03 Z .00 .01 = P(Z < 0.33) – P(Z ≤ 0) = 0.6293 - 0.5000 = 0.1293 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 0.1293 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 0.5000 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 Z 0.00 0.12 Chap 6-39

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal Tentukan P(77 < X < 86) X 86 77

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal (continued) Tentukan P(77 < X < 86)… P(77 < X < 86) = P(-0.33 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.33) = 0.5000 - 0.3707 = 0.1293 0.1293 0.3707 Distribusi normal bersifat simetris, sehingga nilai probabilitasnya sama dengan P(0 < Z < 0.33) X 77 86 Z -0.33