Rekayasa Transportasi Universitas Mercu Buana Jakarta Kuliah 13 Metode matematik dan probabilitas lalu-lintas Dosen DR.Ir. Indrayati M Subagio DEA

Rekayasa Transportasi 1. Pendahuluan 2. Ruang Lingkup 3. Faktor2 yang mempengaruhi 4. Karakteristik Pengguna Transportasi (cq Lalu-lintas) 5. Metoda yang digunakan 6. Kapasitas Jalan Raya 7. Kapasitas Jalan Toll x. UTS 8. Survey transportasi 9. Jenis Survey Lalu-lintas 10. Sarana Pengendalian Arus Lalu-lintas 11. Jenis2 Persimpangan jalan 12. Keselamatan perjalanan 13. Metode mathematik dan probabilitas Lalu-lintas 14. Review Kuliah dan contoh soal xx. UAS

Acuan Bahan Ajaran 1. Edward K Morlok , Introduction to Transportation Engineering and Planning, 1978 McGraw-Hill, Inc 2. C.J.Khisty and B.Kent Lall , Dasar-dasar Rekayasa Transportasi, jilid 1,Edisi ke 3, 2005, Penerbit Erlangga, Jakarta 3. Homburger, W.S et all , Fundamentals of Traffic Engineering, 1980, Univ.of California, Berkeley, USA

Metoda matematik dan probabilitas Lalu-lintas Dalam kehidupan sehari-hari bila kita ingin mengetahui hasil dari tindakan kita maka kita perlu memprediksi kira-kira hasilnya akan seperti apa, karena banyaknya variabel yang mempengaruhi dan juga adanya pilihan bagi tindakan kita. Untuk mendekati perkiraan kita karena adanya probabilitas sebagai hasil dari keterkaitan dan pilihan kita maka digunakan metoda matematik dan statistik untuk mengetahui kebenaran atau seberapa akurat perkiraan yang kita temui. Probabilitas adalah ukuran numerik yang menjelaskan peluang munculnya suatu kejadian tertentu dari antara sejumlah kemungkinan. Perlunya menggunakan probabilitas itu berasal dari kenyataan akan terdapatnya suatu elemen ketidak-pastian dalam setiap proses pengambilan-keputusan dalam bidang teknik, atau dalam semua analisis teknik dan prosedur desain.

Probabilitas Kita mengenal Distribusi Probabilitas dalam: 1. Cara Distribusi Diskrit terbagi atas: a. distribusi seragam b. distribusi binomial c. distribusi Poisson d. distribusi binomial negatif (Pascal) 2. Cara Distribusi Kontinu

Distribusi Seragam Diskrit Distribusi ini menguraikan percobaan-percobaan yang memiliki sejumlah terhingga N hasil yang ekui-probabel. Sebagai contoh dalam pelemparan koin atau dadu termasuk kategori ini. Rumus yang digunakan : 1 p(x) = --------- untuk semua x N Contoh : Hitung mean, varians, deviasi standar dari sebuah dadu.

Distribusi Binomial Didasarkan pada pengandaian bahwa setiap percobaan hanya mmiliki 2 hasil yang mungkin, yang saling terpisah, Misalnya sukses atau gagal, kepala atau ekor, rusak atau tidak rusak, muka atau belakang, dll n ! x n-x p(x) = ------------ p . q x!(n-x)! Means : E(X) = np Varians : V(X) = npq Distribusi Bernoulli adalah satu kasus khusus distribusi binomial untuk n=1

Distribusi Poisson x -m m e x = banyaknya ssukses harapan Ini adalah merupakan suatu perkiraan yang mendekati distribusi binomial, apabila n besar dan p kecil, kita akan memperoleh distribusi Poisson. Distribusi ini memberikan probabilitas x “sukses” dalam suku-suku parameter tunggal m, dimana m merupakan banyaknya “sukses” harapan dalam proses yang sedang dianalisis tersebut. Dalam teknik lalu-lintas distribusi ini memberikan probabilitas banyaknya sukses yang diamati dalam periode waktu t . x -m m e x = banyaknya ssukses harapan P(n) = ----------------- dalam waktu t n! m=mean, banyaknya kemunculan dalam waktu t

Distribusi binomial negatif Pascal Pada distribusi binomial banyaknya coba-coba (trial) n adalah tetap dan banyaknya sukses x terdistribusi Tetapi pada distribusi binomial negatif banyaknya sukses x adalah tetap dan banyaknya coba-coba n yang dibutuhkan untuk memperoleh n sukses akan terdistribusi ( x + k – 1 )! k x P(x) = ------------------ = p q ( k -1 )! ( x )! P(x) = probabilitas bahwa x kegagalan muncul dalam coba2 sebelum memperoleh k sukses p = probabilitas sukses pada percobaan yang diketahui q = 1 – p k = banyaknya sukses dalam n percobaan, dengan percobaan terakhir berupa sukses

Distribusi Kontinu Kontribusi ini digunakan untuk menjelaskan variabel2 yang dapat memiliki sembarang nilai dalam satu kisaran nilai ( Value Range) Terdiri antara lain : Distribusi Eksponensial Negatif : yang digunakan untuk mednguraikan interval diantara kejadian dan dapat secara mudah diperoleh dari distribusi Poisson. Sebagai contoh jika kendaraan datang di suatu persimpangan sesuai distribusi Poisson, waktu antar-kedatangan akan terdistribusi secara eksponensial. Probabilitas bahwa suatu interval waktu T berlalu tanpa ada kendaraan yang lewat akan sama seperti bila x=0 dalam waktu T. Fungsi distribusi probabilitas adalah f(t) = e (pangkat –lamda T)

Distribusi normal Ini adalah distribusi yang paling penting untuk variabel kontinu yang memiliki sejumlah penerapan yang bermanfaat dalam teknik lalu-intas. Persamaan distribusi normalnya diberikan dalam suku mean (myu) Deviasi standar ( ) Untuk praktisnya digunakan tabel distribusi normal standar dan perubahan variabel Kurva normalnya berbentuk lonceng dan simetris terhadap alas yang tak terhingga dan meannya terletak di tengah-tengah. Oleh sebab itu akan lebih mudah untuk mengukur luas dibawah kurva itu dalam nilai –z (berupa pecahan atau kelipatan deviasi standar yang diukur dari meannya )

Analisis dan evaluasi data Kita biasanya mengumpulkan data dan menganalisanya, diantaranya kita mengenal kurva dengan distribusi normal , kita juga mengenal kurva distribusi frekuensi kumulatif Selain itu kita bisa menghitung Mean dari kecepatan rata-rata, deviasi standar, serta berapa sebenarnya ukuran dan sampel minimum.

Sampling Apabila kita mengkaji untuk seluruh populasi misalnya penduduk Jakarta yang mengendarai s epeda motor yang berusia dibawah 25 tahun, kita hanya bisa mengamati dari sampel saja. Semakin besar sampel yang diambil, semakin besar pula kemungkinan sampel menggambarkan karakteristik populasi , namun biaya survey menjadi sangat mahal. Jenis-jenis sampel : Sampel dapat acak, sistematik, berlapis, sekuensiel , dsbnya. Penyampelan acak merupakan hal yang paling lazim dilakukan, dan dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk dipilih.

Statistik x = mean sampel s kuadrat = varians sampel Bila suatu populasi memiliki distribusi normal dengan mean u dan deviasi standar T maka mean sampel adalah x

Pengujian Pengujian signifikan atau Hipothesis meupakan suatu prosedur yang menggunakan sampling (penyampelan) untuk memutuskan apakah menerima atau menolak suatu hipotesis. Misalnya hipotesis nol adalah memperkirakan bahwa tidak ada pengaruh atas suatu kejadian sebelum dan sesudah perkiraan. Untuk itu kita memperkirakan suatu tingkat signifikan yang akan memutuskan apakah hipotesis kita akan benar atau salah. Tingkat signifikan ini biasanya antara 1-5 %. Bila nilai estimator masuk ke dalam daerah kritis, maka hipotesis nihil ditolak Untuk pengujian sampel kecil kita akan menggunakan distribusi studen t karena kita tidak mengetahui T sigma. Ada lagi yang disebut pengujian Chi-square, yaitu salah satu cara untuk melakukan pemeriksaan apakah terjadi kecocokan dalam pengambilan sampel dengan kondisi lapangan, yaitu kita melakukan pembobotan pada setiap selisihnya, kemudian membagi setiap selisih dengan nilai harapannya. Jumlah selisih yang terboboti ini disebut chi-square, tandanya X kuadrat.

Analisis Regresi Ada bermacam-macam kondisi dalam teknik lalu-lintas dan perencanaan transportasi, untuk kita mengetahui apakah variabel-variabel yang ada itu mempengaruhi variabel lainnya. Satu kuantitas ( yang disebut variabel bebas =x) memiliki pengaruh yang besar atau kecil atas kuantitas yang lain ( yang disebut variabel tak-bebas =y) ? Begitu hubungan keterkaitan ini diketahui maka dapat diprediksi nilai y ( bila nilai x diketahui ) Hubungan linear antara keduanya ditulis : Y = a + b X + e , dimana a dan b adalah konstanta dan e adalah suku yang menandakan kesalahan acak Kesalahan ini kecil bila kedua variabel Y dan X berhubungan erat , maka : Yi = a + b Xi + ei

Permasalahannya adalah harus mengetahui nilai estimasi a dan b sehingga penjumlahan dari semua ei akan sekecil mungkin, dan hal ini dilakukan dengan metode kuadrat terkeil. Jai a dan b dipilih untuk membuat R = minimum dengan n merupakan banyak titik yang diamati Koefisien determinasi = r kuadrat mengukur kuantitas dari kocokan garis regresi Sebagai contoh : Seorang perencana tata-guna lahan mengamati bahwa dalam 5 zona dari suatu kota terdapat sejumlah pompa bensin (Y) dan dikaitkan dengan penduduknya (X) dalam ribuan orang , seperti terdapat pada daftar ini Y ada 2 7 3 5 8 X ada 1 5 3 2 4 Buat persamaan linier yang menghubungkan Y dan suku-suku X dan tentukan r kuadrat serta gunakan pengujian -t

Selain itu ada pula yang disebut Regresi berganda dimana terdapat lebih banyak variabel penjelas, dimana misalnya variabel X ada X1 dan X2 Misalnya seperti soal sebelumnya namun ada lagi faktor penjelas yang kita gunakan sebagai X2 misalnya jumlah angkutan pribadi, untuk mengetahui hubungan yang ada antara zona yang diamati dengan keterkaitan dengan keberadaan pompa bensin dan keterkaitan dengan kendaraan sebagai angkutan pribadi. Cara yang sama digunakan untuk mengetahui keterkaitannya, dimana hal ini akan memberikan informasi bagi perencanaan selanjutnya.