Linear Programming Formulasi Masalah dan Pemodelan Inti Mulyo Arti, STP, MSc

Linear Programming ? Ide program linear berasal dari ahli matematik Rusia (L.V Kantorivich, 1939) Program linear merupakan model matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya, terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linear Persoalan linear programming adalah persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau obyektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada

Bentuk umum Linear Programming Pada setiap masalah, ditentukan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan sistem kendala yang digunakan untuk membentuk suatu model matematik dari dunia nyata. Bentuk umum model LP itu adalah : Maksimumkan (minimumkan) Z = cj xj Dengan syarat : Aij Xj (≤ , = , ≥) bi , untuk semua i (i = 1, 2, …m) semua Xj ≥ 0 Keterangan : xj : banyaknya kegiatan j, dimana j = 1, 2, …n, yang berarti terdapat n variabel keputusan Z : nilai fungsi tujuan cj : sumbangan per unit kegiatan j, untuk masalah maksimasi cj menunjukkan atau penerimaan per unit, sementara dalam kasus minimasi ia menunjukkan biaya per unit. bi : jumlah sumberdaya ke i (i = 1, 2, …m), berarti terdapat m jenis sumberdaya. xij : banyaknya sumberdaya i yang dikonsumsi sumberdaya j.

Bentuk baku linear programming

Syarat Persoalan program Linear Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function) Harus ada alternative pemecahan. Pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum, dll) Sumber-sumber tersedia dalam jumlah terbatas (bahan mentah terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dll)

Syarat Tambahan Kepastian (certainty), yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dan tidak berubah selama periode analisa Proporsionalitas (proportionality), yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala Penambahan (additivity), yaitu aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu Bisa dibagi-bagi (divisibility), yaitu solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat) tetapi bisa juga bilangan pecahan Variable tidak negatif (non-negative variable), yaitu bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negative

Formulasi Model Matematik Menentukan variable yang tidak diketahui dan dinyatakan dengan simbol Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear dari variable keputusan (memaksimumkan atau meminimumkan) Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikannya dalam persamaan, pertidaksamaan atau fungsi

Contoh Persoalan 1 Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan untuk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan,Laba untuk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000,-. Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan?

Perumusan persoalan dalam bentuk tabel : Proses Waktu yang dibutuhkan per unit Total jam tersedia Meja Kursi Perakitan 4 2 60 Pemolesan 48 Laba/unit 80.000 60.000 Perumusan persoalan dlm bentuk matematika: Maks : Laba = 8X1 + 6 X2 (dalam satuan Rp.10. 000) Dengan kendala: 4X1 + 2X2  60 2X1 + 4X2  48 X1, X2  0

Langkah-langkah dalam Perumusan Model LP Definisikan Variabel Keputusan (Decision Variable), Variabel yang nilainya akan dicari Rumuskan Fungsi Tujuan: Maksimisasi atau Minimisasi dan Tentukan koefisien dari variabel keputusan Rumuskan Fungsi Kendala Sumberdaya: Tentukan kebutuhan sumberdaya untuk masing-masing peubah keputusan dan Tentukan jumlah ketersediaan sumberdaya sebagai pembatas. Tetapkan kendala non-negatif . Setiap keputusan (kuantitatif) yang diambil tidak boleh mempunyai nilai negatif.

Perumusan persoalan dalam model LP untuk contoh 1 Definisi variabel keputusan: Keputusan yg akan diambil adalah berapakah jumlah meja dan kursi yang akan dihasilkan. Jika meja disimbolkan dengan X1 dan kursi dengan X2, maka definisi variabel keputusan: X1 = jumlah meja yang akan dihasilkan (dalam satuan unit) X2 = jumlah kursi yang akan dihasilkan (dalam satuan unit) 2. Perumusan fungsi tujuan: Laba utk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing2 Rp. 80.000 dan Rp. 60.000. Tujuan perusahaan adalah untuk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yg dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis: Maks.: Laba = 8X1 + 6X2 (dalam satuan Rp.10. 000)

Perumusan persoalan dalam model LP untuk contoh 1 (Lanjutan) 3. Perumusan Fungsi Kendala a. Kendala pada proses perakitan Utk menghasilkan 1 buah meja diperlukan waktu 4 jam dan untuk menghasilkan 1 buah kursi diperlukan waktu 2 jam pada proses perakitan. Waktu yang tersedia adalah 60 jam. 4X1 + 2X2  60 b. Kendala pada proses pemolesan Untuk menghasilkan 1 buah meja diperlukan waktu 2 jam dan untuk menghasilkan 1 buah kursi diperlukan waktu 4 jam pada proses pemolesan. Waktu yang tersedia adalah 48 jam. 2X1 + 4X2  48 4. Kendala non-negatif Meja dan kursi yang dihasilkan tidak memiliki nilai negatif. X1, X2  0

Contoh Persoalan 2 Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan buruh dan bahan mentah dan sumbangan keuntungan masing-masing produk adalah sebagai berikut : Produk Kebutuhan sumber daya Keuntungan (Rp/Unit) Buruh (jam/unit) Bahan (kg/unit) A 5 4 3 B 2 6 C Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 Kg. Masalahnya adalah menentukan jumlah masing-masing produk agar keuntungan maksimum. Rumusan model LP-nya adalah :

A. Variabel Keputusan Tiga variabel dalam masalah ini adalah produk A, B dan C yang harus dihasilkan. Jumlah ini dapat dilambangkan sebagai : X1 = jumlah produk A X2 = jumlah produk B X3 = jumlah produk C B. Fungsi tujuan Tujuan masalah kombinasi produk adalah memaksimumkan keuntungan total. Jelas bahwa keuntungan adalah jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing produk. Keuntungan dari produk A adalah perkalian antara jumlah produk A dengan keuntungan per unit (Rp 3,-). Keuntungan produk B dan C ditentukan dengan cara serupa. Sehingga keuntungan total Z, dapat ditulis : Z = 3 X1 + 5 X2 + 2 X3

C. Sistem kendala Dalam masalah ini kendalanya adalah jumlah buruh dan bahan mentah yang terbatas. Masing-masing produk membutuhkan baik buruh maupun bahan mentah. Produk A, buruh yang dibutuhkan untuk menghasilkan tiap unit adalah 5 jam, sehingga buruh yang dibutuhkan untuk produk A adalah 5 X1 jam. Dengan cara yang serupa produk B membutuhkan 2 X2 jam buruh, dan produk C butuh 4 X3 jam, sementara jumlah jam buruh yang tersedia adalah 240 jam. Sehingga dapat ditulis : 5 X1 + 2 X2 + 4 X3 ≤ 240 Kendala bahan mentah dirumuskan dengan cara yang sama, yaitu untuk produk A butuh bahan mentah sebanyak 4 kg per unit, produk B membutuhkan 6 kg per unit dan produk C butuh 3 kg per unit. Karena yang tersedia adalah sebanyak 400 kg bahan mentah, maka dapat ditulis : 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 ≤ 400

Kita juga membatsi masing-masing variabel hanya pada nilai positif, karena tidak mungkin untuk menghasilkan jumlah produk negatif. Kendala-kendala ini dikenal dengan non negativity constraints dan secara matematis dapat ditulis : X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0 atau X1, X2, X3 ≥ 0 Dari masalah diatas, formulasi LP secara lengkap dapat ditulis : Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 + 2 X3 Dengan syarat 5 X1 + 2 X2 + 4 X3 ≤ 240 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 ≤ 400 X1, X2, X3 ≥ 0

Soal lain Sebuah pabrik akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal?

Formulasi matematiknya :

Soal minimisasi ?

Soal lagi Untuk menjaga kesehatan, seseorang harus memenuhi kebutuhan minimum perhari akan beberapa zat makanan. Misalkan hanya ada tiga jenis zat makanan yang dibutuhkan yaitu kalsium, protein, dan vitamin A. Sementara makanan yang tersedia ada tiga jenis juga yaitu, makanan I II dan III yang harganya, zat-zat yang tekandung didalamnya, dan kebutuhan minimum perhari akan zat-zat makanan tersebut dapat dilihat pada tabel berikut : Kandungan Makanan Kebutuhan minimum I II III Kalsium 5 1 8 Protein 2 12 Vitamin A 4 22 Harga/unit 0.5 0.8 0.6   Masalahnya adalah bagaimana kombinasi ketiga jenis makanan itu akan memenuhi kebutuhan minimum perhari dan memberikan biaya terendah.

Referensi Fitri Yulianti, Staff Pengajar Gunadarma Dra. Retno Marsitin, MPd. Program Linier Materi Presentasi Mahasiswa