CHAPTER 4 TOPIK DALAM TEORI FUNGSI Rolando Danao Rolando Danao

4.1 Konsep Topologi dalam Rn Analisis fungsi yang dinyatakan pada subset Rn membutuhkan konsep dari teori himpunan tertentu yang membahas tentang posisi titik-titik dalam ruang (space). Contoh : Dalam kalkulus, teorema menyatakan bahwa jika suatu fungsi dari real variabel adalah differentiabel dan f mempunyai maxima pada titik interior x* dari domainnya, maka f’(x*) = 0. Syarat x* menjadi interior adalah necessary; sebaliknya teorema tidak berlaku. Rolando Danao

4.1.1 Definisi Andaikan x  Rn. Euclidean norm dari X, dinotasikan dengan || x || didefenisikan sebagai berikut : ||x|| = (xtx)1/2 = ( xj2)1/2 …… (4.1) Andaikan x, y  Rn. Euclidean distance (ED) diantara x dan y, dinotasikan dengan d(x,y), didefenisikan sebagai berikut: n j=1 n j=1 d(x,y) = ||x - y|| = [ (xj – yj)2 ]1/2 …… (4.2) Himpunan Rn yang diisi dengan ED disebut euclidean n space dan elemen dari Rn biasanya disebut titik (titik dan vektor akan digunakan bergantian). Rolando Danao

d(x,y) = [(x1-y1)2 + (x2-y2)2]1/2 4.1.2 Remarks Pada real line R1 (R saja), jarak antara dua titik X dan Y adalah nilai absolute dari perbedaannya (selisih), yaitu d(X,Y) = |X – Y|. Pada plane R2, distance adalah jarak yang diperoleh dengan pythagorean theorem, i.e. d(x,y) = [(x1-y1)2 + (x2-y2)2]1/2 Gambar 4.1 Distance in R1 and R2 d(x,y) x y R1 y2 R2 y1 x1 x2 x1 – y1 x2 – y2 Rolando Danao

4.1.3 Definisi Let x  Rn dan r > 0. Himpunan titik dalam Rn yang memiliki distance dari x kurang dari r disebut open neighborhood dari x dan dinotasikan dengan Nr (x), i.e. Nr(x) = {y  Rn| d(x,y) < r} …… (4.3) 4.1.4 Contoh Pada riil line R, Nr(x) adalah interval terbuka (x-r, x+r). Untuk R2, Nr(x) adalah disk dalam lingkaran dari radius r dengan pusat r (gambar 4.2) Open neighborhood in R1 and R2 x-r x x+r R1 R2 Rolando Danao

4.1.5 Definisi Andaikan S  Rn. Suatu titik x adalah boundary point dari S jhj Nr (x) berisi setidaknya satu titik dalam S dan titik lain di luar S. Himpunan boundary point dari S disebut boundary dari S. y x S Gbr. 4.3 Interior and Boundary Points in R2 Interior point Boundary point Rolando Danao

4.1.6 Definisi Andaikan S  Rn. Titik S yang bukan boundary point dari S disebut interior point dari S. Equivalently x adalah interior point dari S jhj terdapat suatu open Nr(x) seperti Nr(x)  S. Interior S adalah himpunan titik interior dari S dan dinotasikan dengan int (S). 4.1.7 Definisi Let S  Rn . Closure S adalah union dari S dan titik boundarynya dinotasikan dengan C1 (S). Rolando Danao Rolando Danao

4.1.8 Contoh 1) Andaikan S = (a,b) adalah interval terbuka dalam R. Maka semua titik S adalah interior point dan titik a dan b adalah titik boundary. Semua titik ini bukan milik S. Himpunan T = (a,b) memiliki titik interior dan boundary point yang sama dengan S. Tetapi dalam kasus ini a adalah T dan b tidak dalam T. Catatan: C1(S) = [a, b] = C1(T). 2) Andaikan S = {xR2|x12 + x22 ≤ 1} Disk dengan pusat pada origin dengan radius 1. Int (S) terdiri dari titik dalam lingkaran C={xR2|x12+x22 = 1} maka boundary pointnya adalah titik C. Catatan bahwa semua titik milik S  C1(S) = S Rolando Danao

4.1.9 Definisi 4.1.10 Contoh 3) Andaikan S = {xR2|x12 + x22 = 1} Lingkaran dengan radius 1 dengan pusat origin. S tidak memiliki interior point. Semua titiknya adalah boundary point. Seperti C dalam kasus ini C1(S) = S. 4.1.9 Definisi Suatu himpunan S  Rn adalah terbuka jhj setiap titik S adalah interior point. A set S  Rn adalah tertutup jhj S terdiri dari semua boundary point. 4.1.10 Contoh Open Sets (1) Nr(x) = {y  Rn | d(x,y) < r} (2) Interior dari suatu himpunan (3) Rn (4) S = {xRn | ptx < }. Himpunan ini disebut an open half- space. In R, S adalah open half-line; in R2 an open half-plane. (5) Rn++ = {xRn | x > 0}. Ini disebut positive orthant. In R adalah positive line; in R2 adalah positive quadrant. Rolando Danao

(1) Nr(x) = {y  Rn | d(x,y) ≤ r} (2) Closures of sets. (3) Rn Closed set (1) Nr(x) = {y  Rn | d(x,y) ≤ r} (2) Closures of sets. (3) Rn (4) H- = {x  Rn | ptx ≤ }. Himpunan ini disebut closed half-space. In R, ini disebut a close half-line; in R2 adalah closed half-plane. (5) Rn+ = {x  Rn | x ≥ 0}. Himpunan ini disebut non- negative orthant. In R adalah non-negative line; in R2 adalah non-negative quadrant. (6) H = {x  Rn | ptx = }. Ini disebut a hyperplane. In R, ini adalah titik x1= /p1; in R2 adalah line given dengan persamaan p1 x1 + p2 x2 = ; in R3 adalah the plane didefinisikan dengan p1 x1+ p2 x2 + p3 x3 = . Rolando Danao

4.1.11 Komentar (1)Suatu himpunan bisa terbuka atau tertutup tergantung space yang berisi subset. Contoh, suatu interval terbuka adalah himpunan terbuka dari subset R tetapi tidak terbuka untuk subset R2. (2)Adalah mungkin untuk setiap himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup. Contoh : himpunan [0,1] = {xR|0≤x<1} adalah tidak terbuka dan tidak tertutup dalam R. (3)Memungkinkan suatu himpunan untuk keduanya terbuka dan tertutup. Contoh, Rn adalah keduanya terbuka dan tertutup dalam Rn . Rolando Danao

4.1.12 Definisi Andaikan (xk | k = 1,2, …) merupakan suatu sequence dari titik-titik dalam Rn. Kita katakan bahwa (xk | k = 1,2, …) menuju ke xoRn jhj setiap open neighborhood dari xo, Nr(xo) berisi semua tetapi suatu finite number dari term of sequence. Dalam kasus ini, ditulis lim xk = xo 4.1.13 Contoh (1) Sequence (1, ½. 1/3, ¼, ……) menuju ke 0 sejak setiap open neighborhood (yaitu open interval) berisi 0 tetapi finite number dalam bentuk sequence. (2) Sequence tidak converge. k 1 2 1 4 3 4 1 8 7 8 1 16 15 16 , , , , , , , … Rolando Danao

1/16 1/8 1/4 1/2 3/4 7/8 15/16 1 Meskipun beberapa term of sequence converge ke 0 dan beberapa ke 1. 4.1.14 Theorema (i) Intersection dari himpunan tertutup adalah tertutup (ii) Suatu set S  Rn adalah tertutup jhj setiap converge sequence dalam S mempunyai limit dalam S. Proof : Simmons (1963) Rolando Danao

4.1.15 Definisi 4.1.16 Definisi 4.1.17 Remark A set S  Rn adalah bounded above jhj terdapat suatu  > 0 yaitu untuk setiap x  S dan untuk semua i = 1,2, …, n, kita memiliki xi < . S is bounded below jhj  > 0 untuk setiap x  S dan  i = 1,2, … , n; kita miliki –<xi. S is bounded if and only if it bounded above and bounded below. 4.1.16 Definisi A set S  Rn adalah compact jhj dia closed and bounded. 4.1.17 Remark Compact set adalah penting untuk eksistensi maxima dan minima dari suatu fungsi continuous. Rolando Danao

4.1.18 Contoh Himpunan : X = {x  Rn | ptx ≤ , x ≥ 0, p > 0,  > 0} adalah tertutup sejak merupakan intersection dari closed set H- = {x  Rn| ptx ≤ } Rn+ = {x  Rn| x ≥ 0} X adalah bounded sejak untuk setiap x  X, kita memiliki 0 ≤ x1 ≤ /pi. Jadi X adalah compact. Gambar. 4.5. Shows X on the plane R2 /p1 x1 x2 /p2 Compact set closed and bounded Rolando Danao

4.2 Function of Mappings 4.2.1 Definisi 4.2.2 Notasi Suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan S ke himpunan T adalah a rule that associates setiap element S dengan suatu unique element T. Himpunan S disebut domain dari fungsi dan subset T yang diasosiasikan dengan elemen S disebut range of function. S T 4.2.2 Notasi Fungsi f dari S ke T dinotasikan dengan f : ST atau ST. Jika x  S, elemen dari T diasosiasikan dengan x di bawah f dinotasikan dengan f(x) dan disebut image x di bawah f. Jika xRn, kita juga tuliskan f(x) = f(x1, … xn). f Rolando Danao

4.2.3 Contoh dari Fungsi (1) f : R3  R2 dimana : f(x, x2, x3) = (2) g : R2  R2 dimana : g(x1, x2) = (3) u : R2  R dimana : u(x1, x2) = x1x2 (4) q : R2+  R+ dimana : q(K,L) = K L1- x12 + x22 + x32 x1 + x2 + x3 x1 + x2 x1x2 Rolando Danao

4.2.4 Remark Ketika fungsi adalah himpunan bahagian dari himpunan bilangan real, maka fungsi itu disebut real-valued function. 4.2.5 Definisi Grafik dari fungsi f adalah himpunan titik atau vektor [x,f(x)] dimana x ada dalam domain dari f. Rolando Danao

4.2.6 Contoh (1) f : R  R+ diperoleh dengan y = f (x1) = x12 Grafik f adalah set vektor (x,y) dimana x1R’ dan y = x12 gambar R2 adalah parabola. (2) Let D adalah disk dengan radius 1 dengan pusat origin. Disk ini dinyatakan pada x1x2-plane dengan vektor (x1,x2)t memenuhi x12 + x22 ≤1. Pertimbangan fungsi f : D  R defined by y = f(x1,x2) = (1- (x12 + x22)1/2 y x y = f(x1) = x12 Rolando Danao

4.3. Beberapa Bentuk Fungsi 4.3.1 The Linier function The function f : R  R defined by y = f(x) = a + bx ...... (4.4) 4.3.2 Fungsi Kuadrat y = f(x) = a + bx + cx2 (c ≠ 0) is called a quadratic function. Its graph is a parabola when c>0, the parabola is U-shape when c<0, it has an inverted U shape (c<0 adalah ). y f x y = f(x) = c Rolando Danao

4.3.3 Fungsi Polynomial 4.3.4 Rational function Fungsi linier dan fungsi kuadrat belong to the class of polynomial function f : R R given by y = f(x) = a0 + a1x1 + … + an-1xn-1 + anxn (an≠0) ……(4.6) This expression is called a polynomial of degree n. It is characterized by the fact that the equation f(x) = 0 has n roots which may be real or complex numbers. 4.3.4 Rational function The polynomial functions belong to a larger set of functions called the rational function h is defined by h (x) =  g(x) ≠ 0 ……(4.7) f (x) g (x) Rolando Danao

4.3.5 Contoh Fungsi biaya : Biaya produksi naik dengan T output tetapi dengan tingkat kenaikan yang menurun (konsisten dengan decreasing MC). Jika FC adalah nol dan c represents cost, then c = a1q+a2q2+a3q3 , (a3>0) AC = = = a1 + a2q + a3q3 TC q a1q+a2q2+a3q3 q TC Q MC = = a1 + 2a2q + 3a3q2 Rolando Danao

4.3.8 Theorem (1) Log a (uv) = log a (u) + log a (v) ……(4.9) C TC q MC AC Loge (x)= ln x 4.3.8 Theorem (1) Log a (uv) = log a (u) + log a (v) ……(4.9) (2) Log a (u/v) = log a (u) – log a (v) ……(4.10) (3) Log a (uk) = k log a (u) ……(4.11) (4) Log a (a) = 1  log 2 (2) = 1 ……(4.12) (5) Log a (1) = 0 ……(4.13) (6) Log a (u) = log a (v)  u = v ……(4.14) Rolando Danao

(7) Untuk a > 1 :Log a (u) < log a (v)  u < v ……(4.15) (9) Log a (u) = ln (u) ln (a) ……(4.17) (10) Uk = ek ln (u) ……(4.18) 4.3.9 Remark Logaritma digunakan untuk mentransfer beberapa fungsi non-linier ke linier Contoh : fungsi produksi Cobb Douglas Q = A L . k , A > 0 ……(4.19) Ln Q = Ln A +  Ln L +  Ln K Setting : y = ln Q a = ln A x1 = ln L x2 = ln K maka y = f (x1, x2) = a + x1 + x2 Rolando Danao

4.4. Fungsi dari Fungsi Lainnya 4.4.1 Definisi Let f : S  T dan g : T  U dimana T adalah range f. Fungsi h : S  U didefinisikan dengan h(s) = g[f(s)] disebut komposisi f dan g dan dinotasikan gof, i.e., gof (x) = g [f(x)] h S T U f g 4.4.2 Contoh f(x) = x2, g(x) = ln(x) gof(x) = g[f(x)] = ln[f(x)] = ln(x2) fog(x) = f[g(x)] = f[ln(x)] = [ln(x)]2 Rolando Danao

4.4.3 Remark Urutan adalah penting untuk fungsi komposisi. Contoh dari point 4.4.2, gof (x) = ln(x2) = 2ln(x) = ln(x) + ln(x) fog (x) = [ln(x)]2 = (ln x) (ln x) 4.4.4 Definisi Let f : D  R dan g : D  R adalah fungsi dari domain D yang sama. Fungsi penjumlahan, dinotasikan dengan f+g, adalah - Fungsi (f + g) : D  R adalah (f+g)(x) = f(x) + g(x) - Fungsi produksi, dinotasikan dengan perkalian fg, adalah fungsi fg adalah fungsi fg : D  R adalah (fg)(x) = f(x) g(x) - Quotient function, dinotasikan dengan Pembagian f/g, adalah fungsi f/g : D  R diperoleh (f/g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0 Rolando Danao

4.4.5 Contoh 4.4.6 Definisi g : R  R dimana g(x) = 5x+1 kemudian Let f : R  R dimana f(x) = 2x2 g : R  R dimana g(x) = 5x+1 kemudian (f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2x2+5x+1 (fg (x)) = f(x) g(x) = 2x2(5x+1) (f/g) (x) = f(x)/g(x) = 2x2/5x+1  x ≠ -1/5 4.4.6 Definisi Suatu fungsi f dikatakan one-to-one jhj x ≠ y dinotasikan f(x) ≠(y). Rolando Danao

4.4.7 Contoh (1) S = { 1, 2, 3, 4} R  R     f : S  T T = { 1, 4, 9, 16} f(x) = x2 Fungsi g bukan one-to-one U = {1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4} V = { 1, 4, 9, 16} f(x) = x2 U  V R  R (2) Fungsi f : R+  R+ defined by g(x) = x2 adalah bukan one-to-one. f dan g are different since their domains differ. Rolando Danao

4.4.8 Remark fungsi one to one fungsi not one to one Perbedaan  berbeda domain 4.4.8 Remark Consider the following fungsi one-to-one : S = { S1, S2, S3, S4}     f T = {f(S1), f(S2), f(S3), f(S4)} f(x1) f(x2) x2 x1 g(x1)=g(x2) x2 x1 Rolando Danao

Dapat diperoleh suatu fungsi f--1 : T  S dengan membalikkan anak panah S = { S1, S2, S3, S4}     f--1 T = {f(S1), f(S2), f(S3), f(S4)} f--1 = f(s) = S disebut inverse f. 4.4.9. Definisi Let f : S  T be a one-to-one function yaitu T adalah range dari f. Maka f--1 : T  S f--1[f(s)] = S disebut inverse f 4.4.10. Remark Jelas, invers dari [f-1]-1 = f Inverse dari real value adalah fungsi satu variabel. Rolando Danao

4.5 Limit dari Fungsi Andaikan f : D  R, dimana D  Rn dan xo  Rn jika f(x) mendekati  sebagaimana x mendekati xo maka dapat dikatakan  adalah limit dari f(x) dimana x mendekati xo dan ditulis f(x) =  f(x) mungkin akan mendekati berbagai nilai seperti x cenderung xo. Contoh fungsi pengiriman surat. 1.000 0 < W ≤ 20 2.000 20 < W ≤ 40 C = f(w) = 3.000 40 < W ≤ 60 4.000 60 < W ≤ 80 etc Lim x  xo Rolando Danao

4.5.1 Definisi Contoh lain : f(x1,x2) = Let xo = (0,0)t . Figure (4.16) Step Function 3 2 1 W x12 – x22 x12 + x2 Contoh lain : f(x1,x2) = Let xo = (0,0)t . On the line x2 = x1 , f(x1,x2)  0 as x  xo On the x1-axis , f(x1,x2)  1 as x  xo On the x2-axis , f(x1,x2)  -1 as x  x0 4.5.1 Definisi lim f(x) =  x  xo Jhj given Є > 0 dimana a  > 0 that d (f(x),) < Є wherever d(x,xo) <  Rolando Danao

4.5.2 Remark (1) Dalam Rn , x  y means xj  yj for each j. (2) Statement f”(x0) = ” dan f(x) = ” adalah dua statement yang berbeda. Dalam kenyataannya suatu fungsi tidak didefinisikan pada x = xo tetapi mempunyai limit x  xo. Contoh: f(x) = Untuk x = 1 tidak didefenisikan Tetapi f(x) = 2 Sejak nilai x mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1 f(x) = = x+1 lim x-xo X2 – 1 X – 1 Lim X1 (x-1)(x+1) (x – 1) f(x) Gambar 4.17 Rolando Danao x

4.5.3 Teorema (i) Jika f(x) = c , a constant, maka f(x) = c ……(4.22) (ii) (f(x) ± g(x) = f(x) + g(x) ……(4.23) (iii) f(x) g(x) = ( f(x)) ( g(x)) ……(4.24) (iv) ……(4.25) Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo Lim Xxo f(x) f(x) g(x) Lim Xxo = Lim Xxo  g(x) ≠ 0 Lim Xxo g(x) Rolando Danao

4.5.4 Corollary Limit dari polynomial pada x = xo adalah nilai dari polynomial pada x = xo, contoh (bnxn + … + b1x + b0) = bnx0n + b1x0 + b0 Lim xxo 4.5.5 Corollary Let r (x) = adalah fungsi rational dimana q (x0) ≠ = 0 sehingga r (x) = = = r(xo) p(x) q(x) p(x) q(x) p(xo) q(xo) Lim xxo Lim xxo Rolando Danao

4.6 Continuity Suatu fungsi boleh saja tidak didefinisikan pada titik xo tetapi memiliki suatu batas (lihat gambar 4.17) juga mungkin untuk suatu fungsi f didefinisikan pada xo tetapi x mendekati xo, f(x) mungkin mendekati nilai yang berbeda tergantung pada x mendekati xo (lihat gambar 4.16). Jadi nilai fungsi loncat sehingga dikatakan discontinuous. Fungsi akan continu jika tidak ada gap (loncat). Rolando Danao

4.6.1 Definisi Let D  Rn and let f : D  R. Fungsi f adalah continuous at x0  D jhj f(x) = f(xo) Jika f adalah continuous pada setiap point pada domain D dan f disebut continuous on D. Dalam bentuk sequence, f is continuous pada x0 jhj setiap sequence (xk  D| k = 1,2,…) xk  xo => f(xk)  f(x0) Lim xxo 4.6.2 Contoh 1 x 1. f(x) = Is not continuous pada x = 0  f(0) = tidak didefenisikan Rolando Danao

2. Fungsi pada gambar 4.16 adalah continuous pada w = 20,40,60, dst 3. f(x) = 3x+1 adalah continue pada x = 2 f (x) = (3x+1) = 7 = f (2) 4. Fungsi H : R  {0, ½ , 1) defined by 0 , x < 0 H (x) = ½ , x = 0 1 , x > 0 adalah continuous pada R kecuali x = 0 Lim x2 Lim x2 Rolando Danao

5. Fungsi biaya (c) dan jumlah yang diproduksi (q) c : f(q) = 100 + 0,2 q2 , untuk q < 30 Untuk q ≥ 30 perlu untuk menyewa tambahan ruangan untuk menaikkan fixed costs by 50 sehingga c = f(q) = 150 + 0,2q2 , untuk q ≥ 30 pada q = 30 fungsi tidak continuous 4.6.3. Theorema Jika f dan g adalah continuous pada titik xo sehingga f + g, fg, dan f/g demikian pula untuk g(x0) ≠ 0. 4.6.4. Theorema Jika f adalah continuous pada xo dan g adalah continuous pada f(xo) sehingga komposisi gof adalah continuous pada xo. Rolando Danao

4.7 Derivative 4.7.1 Definisi Let f adalah real-valued function diperoleh pada open interval I dan xo  I. The derivative dari f pada xo dinotasikan f’(xo) diperoleh dengan f’(xo) = ……(4.26) Jika ada limit dapat dikatakan bahwa f adalah differentiable at xo dan proses mendapatkan derivative adalah differentiation. f(x) – f(xo) x - xo Lim xxo Rolando Danao

4.7.2 Remark 4.7.3 Definisi 4.7.4. Notasi Definisi derivative mendorong f’ real memiliki domain yang terdiri dari semua titik pada f yang differentiable. 4.7.3 Definisi Suatu real-valued function f, defined pada subset R, adalah continuous differentiable pada x0 jhj f adalah differentiable pada x0 dan f’ adalah continuous pada x0. 4.7.4. Notasi The following Leibniz notations are commonly used for derivatives. Let y = f (x). f’(x) = = (x) = = The derivative as a Rate of Change df dx dy dx dy dx df(x) dx Rolando Danao

Of the secant S through PP0 is Ms = S mendekati T tangens pada P0 The difference quotient The Derivative as Slope of a Curve f(x) – f(xo) x – xo P Po xo x S f(x)-f(xo) Figure 4.18 T Of the secant S through PP0 is Ms = S mendekati T tangens pada P0  Slop S mendekati slope T f(x) – f(xo) x – xo Rolando Danao

(a) is differentiable (b) is not differentiable f(x) – f(xo) x – xo Mt = , Ms = = f ’(x0) (a) is differentiable (b) is not differentiable f(x) – f(xo) x – xo Lim PPo Lim xxo x xo xo x (b) (a) Figure 4.20 f’(x)<0 decreasing f’(x)>0 increasing Rolando Danao

4.7.5 Definisi f be a real-valued function defined on an interval I (i) f adalah non decreasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2) (ii) f adalah increasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (iii) f adalah non increasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2) (iv) f adalah decreasing on I jhj  x1,x2  I x1 < x2 => f(x1) > f(x2) Rolando Danao

Differentiability and Continuity 4.7.6 Theorema The real-valued function f adalah continuous pada closed interval (a,b) dan differentiable pada (a,b). (i) Jika f’(x) ≥ 0 for all x  (a,b) ,  f adalah non decreasing on (a,b) (ii) Jika f’(x) > 0 for all x  (a,b) ,  f adalah increasing on (a,b) (iii) Jika f’(x) ≤ 0 for all x  (a,b) ,  f adalah non increasing on (a,b) (iv) Jika f’(x) < 0 for all x  (a,b)  f adalah decreasing on (a,b) Differentiability and Continuity Rolando Danao

Sum, Difference, Product and Quotient Rules 4.7.7 Theorema If f is differentiable at point x0 dan f is continuous at x0. Proof : …. 4.7.8. Remark lawan theorem 4.7.7 adalah tidak benar. Contoh, f(x) = |x|. Fungsi ini continuous pada x = 0 tetapi tidak differentiable. 4.8. Kaidah Differensiasi 4.8.1 Theorema (i) If f(x) = c, a constant, then f’(x) = 0 …….. (4.27) (ii) If f(x) = x, then f’(x) = 1 …….. (4.28) Sum, Difference, Product and Quotient Rules Rolando Danao

4.8.2 Theorema 4.8.3 Theorema (Chain Rule) (i) (f)’ (x) = f’ (x) …….. (4.29) (ii) (f ± g)’ (x) = f’ (x) ± g’ (x) …….. (4.30) (iii) (fg)’ (x) = f(x) g’(x) + f’(x) g(x) …….. (4.31) (iv) (f/g)’ (x) = , g(x) ≠ 0 …….. (4.32) The Chain Rule f’(x) g(x) – f(x) g’(x) fg(x)2 4.8.3 Theorema (Chain Rule) Katakan f adalah differentiable pada x0 dan g adalah differentiable pada f (x0). Komposisi gof adalah differentiable pada x0 dan (gof)’ (x0) = g’ [(f(x0)] f’ (x0) …….. (4.33) Proof : Rolando Danao

The Inverse Function Rule 4.8.4 Remark Let y = f(x), z = g(y) , i.e., z = g[f(x)] = gof(x) Then = f ’ (x) = g’(y) , And = (gof)’ (x) = g’ [f(x)] f ’(x) = g’ (y) f ’(x) hence , = …….. (4.34) The Inverse Function Rule dz dy dy dx dz dx dz dx dz dy dy dx Rolando Danao

4.8.5 Theorema (inverse function theorem) Andaikan y = f(x) dari f adalah one-to-one real-valued function dengan derivative continuous pada interval terbuka I yang berisi xo yaitu f’(x) ≠ 0. Andaikan yo = f(xo) maka terdapat suatu interval terbuka Iy yang berisi yo yaitu f-1 memiliki suatu derivative continuous pada Iy. 4.8.6 Theorema (inverse function rule) Let y = f(x) dimana f memiliki kondisi inverse function theorem, maka (f-1)’(y) = atau = dy dx 1 dy/dx 1 f’(x) Rolando Danao

4.8.7 Example. Demand Function Proof : x = f-1 (y) dan y = f (x) Defferentiating with respect to x, using the Chain Rule, We get 1 = (f-1)’ (y) f’ (x) ; Hence, (f -1)’(y) = 1/f’(x) Atau = dy dx 1 dy/dx 4.8.7 Example. Demand Function q = f(p) = a – bp (a,b > 0) Inverse function dapat ditulis p = f-1(q) = - q Note that , = -b dan =- a b 1 b dq dp dp dq 1 b Rolando Danao

The Derivative of the Logarithmic Function 4.8.8 Theorem Ln’(x) = …….. (4.37) Proof : 1 x 4.8.9 Corollary Ln’[f(x)] = …….. (4.38) Proof : let y = ln(u) and u = f(x) By the chain rule, f’(x) f(x) dy dx dy du du dx 1 u du dx f ’(x) f(x) . = = = . Rolando Danao

The Derivative of the Power Function 4.8.10 Theorema = ex …….. (4.39) Proof : Let f(x) = ex then ln[f(x)] = x. by Corollary 4.8.9 = 1 ; hence f’(x) = f(x) = ex d(ex) dx f’(x) f(x) 4.8.11 Corrollary = ef(x)f’(x) …….. (4.40) The Derivative of the Power Function d(ef(x)) dx Rolando Danao

4.8.12 Theorem = x-1 , x > 0 ……. (4.41) Proof : Let f(x) = x . Then in [f(x)] =  ln (x) and so, =  hence , f’(x) = = = x-1 d(x) dx f’(x) f(x) 1 x f’(x) f(x) x x Rolando Danao

DIFFERENTIATION RULES - Instant Replay cu cu’ (C any constant) un nun-1u’ (n adalah bil. bulat : u ≠ 0 if n < 0) u u -1 u’ ( constant :  > 0) uv u’v + uv’ u + v u’+v’ u-v u’-v’ u u’v – uv’ v v2 u . v (u’ . v)v’ Ln(u) u’ u (u > 0) eu eu u’ u-1 1 u’. u-1 au au ln(a)u’ Rolando Danao

Implicit Differentiation Jika variabel y dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk x, maka dapat diperoleh derivatif dy/dx dengan menggunakan kaidah differentiation. Contoh : y = f(x) = (4-42) Maka = = Persamaan (4.42) dapat ditulis dalam bentuk x2y + y – x3 = 0 Dalam bentuk ini y menjadi implisit terhadap x. Turunan dy/dx dapat diperoleh dengan menemukan turunan tiap terms with respect to x. x3 x2+1 dy dx (x2 + 1) (3x2) – x3(2x) (x2+1)2 x4 + 3x2 (x2+1)2 Rolando Danao

Jadi : x2 + (2x)y + - 3x2 = 0 dy dy dx dx (x2+1) + 2xy – 3x2 = 0 = dy 4.8.13. Remark Rolando Danao

4.8.14. Contoh ln (y) = x ln (x) u v = x + ln (x) = [1 + ln(x)] xx 1) y = xx , x > 0 ln (y) = x ln (x) u v = x + ln (x) = [1 + ln(x)] xx 2) y = ax ln (y) = x ln (a) = ln (a) = y ln (a) = ax ln (a) 1 y dy dx 1 x dy dx 1 y dy dx dy dx Rolando Danao

Higher – Order Derivatives f ’ adalah juga fungsi disebut derivative dan second order derivative f ”. Proses ini dapat berlanjut sampai tak terhingga. f ”(x) = f(3)(x) = , …, f(n)(x) = d2y dx2 dny dxn d3y dx3 4.9. Kaidah L’ Hospital Kaidah L’Hospital adalah suatu teknik untuk mengevaluasi limit dari bentuk lim f(x) xx0 g(x) Dimana f(x) dan g(x) keduanya mendorong ke nol atau ke ~ as x  x0. Rolando Danao

4.9.1. Theorem 4.9.2. Theorem (i) If = , then =  Let f(x) = g(x) = 0 (i) If = , then =  (ii) If = ~, then = ~ lim xx0 lim xx0 lim xxo f’(x) g’(x) lim xx0 f(x) g(x) lim xx0 f ’(x) g’(x) lim xx0 f(x) g(x) 4.9.2. Theorem Let f(x) = g(x) = ~ (i) If = , then =  (ii) If = ~, then = ~ lim xx0 lim xx0 lim xx0 f ’(x) g’(x) lim xx0 f(x) g(x) lim xx0 f ’(x) g’(x) lim xx0 f(x) g(x) Rolando Danao

4.9.3. Remark Catatan kaidah L’ Hospital mensyaratkan mencari derivative dari f dan g secara terpisah dan mengevaluasi pembangian limit f’(x)/g’(x) serta tidak menggunakan quotient rule pada f(x)/g(x). 4.9.4. Contoh 1. = = = - Note : Kaidah L’ Hospital digunakan dua kali disini. -ex 2 lim x0 1-ex 2x lim x0 1 2 lim x0 x+1-ex x2 x2 ln(x) 2x 1/x lim x~ lim x~ 2. = = 2x2 = ~ 3. = = 0 Note : Kaidah L’ Hospital tidak dapat digunakan disini sebab limit pembaginya bukan nol. lim x~ lim x1 2x3-5x2+6x-3 X3-2x2+x-1 -1 Rolando Danao

4.10. Marginal and Average Functions, Elasticity, and Rates of Growth 4.10.1. Definisi Given a function f : D  R dimana D  R. Derivative f’ disebut fungsi marginal (MF) dan fungsi didefinisikan dengan f (x)/x disebut average fungsi (AF). 4.10.2. Contoh 1) Jika c adalah fungsi biaya untuk produksi output q dan dc/dq adalah marginal cost, c/q adalah average cost. 2) Jika r adalah total revenue berhadapan dengan penjualan x unit komoditi, dan dr/dx adalah marginal revenue, r/x adalah average revenue. 3) Jika C adalah total pengeluaran konsumsi berhubungan dengan pendapatan nasional Y, dC/dY adalah marginal consumption (Marginal Propensity to Consume/MPC), C/Y adalah average consumption. Rolando Danao

4.10.3. Theorem Let f : R++  R differetiable on R++ = {xR|x>0} (i) > 0 jhj MF (x) > AF (x) (ii) = 0 jhj MF (x) = AF (x) (iii) < 0 jhj MF (x) < AF (x) Proof : By definition AF (x) = Then = = [f’(x) - ] = [MF(x) – AF(x)] MF = AF dAF(x) dx dAF(x) dx dAF(x) dx f(x) x xf’ (x) - f (x) x2 1 x dAF(x) dx f(x) x 1 x Rolando Danao

4.10.4. Contoh Cost : C = q3 - q2 + q + AC : AC(q) = = q2 - q + + MC : MC(q) = = q2 - q + 1 6 4 3 11 3 1 3 c q 11 3 1 3q 1 6 4 3 dc dq 1 2 8 3 11 3 MC C AC q Rolando Danao

4.10.5. Definisi Let y = f(x) dimana f:R++R++ adalah differentiable pada R++. Point elasticity dari y with respect to x didefinisikan sebagai Єyx = = (4-45) > 1  elastik Jika |Єyx| = = 1  unit elastik < 1  In elastik dy/dx y/x x y dy dx 4.10.6. Remark (1) Point elasticity y with respect to x measures the responsiveness of y to changes in x atau . (2) Єyx (point elasticity) tergantung y,x dan dy/dx; dan tidak konstan disepanjang kurva supply q = -3 + 3p Eqp = . = (3) = %y %x p q p -3+3P p P-1 dq dp Rolando Danao

4.10.7. Theorem 4.10.8. Theorem 4.10.9. Theorem Pada p = 3  Єqp = 3/2 3) Elastisitas pada umumnya tidak konstan sepanjang kurva. Terdapat kelas fungsi yang elastisitasnya constant. y = xβ (, β konstan;  > 0) 4.10.7. Theorem Let f adalah real valued-function defined on an open interval I such that f’(x)=0 on I. Then there is a constant c such that f(x)= c on I. 4.10.8. Theorem Let f dan g adalah real valued-function defined and differentiable on an open interval I suppose f’(x)=g’(x) on I. Then there is a constant c such that f(x) = g(x) + c on I. 4.10.9. Theorem The point elasticity Єyx in a constant k jhj y = xk where  is a positive constant. Proof : Rolando Danao

4.10.10. Theorem 4.10.11. Theorem dy dx Єyx = = .kxk-1 = = k x y dy Proof : = kxk-1 Єyx = = .kxk-1 = = k x y dy dx x xk x . k . xk-1 xk 4.10.10. Theorem Let u = f(x) dan v = g(x) dimana f dan g are differentiable on R++. Then (i) Єu+v, x = (4-49) (ii) Єuv,x = Єux + Єvx (4-50) (iii) Єu/v,x = Єux – Єvx (4-51) uЄux + vЄvx u + v 4.10.11. Theorem Let y = f(x) where f:R++R++ is differentiable on R++. Then Єyx = (4-52) d (ln y) d (ln x) Rolando Danao

Proof : let u = ln y, v = ln x (or x = ev) Applying the Chain Rule, we have = . . = = . ev = . = Єyx du dv du dy dy dx dx dv d(ln y) d(ln x) du dv 1 y dy dx x y dy dx 4.10.12. Komentar Menarik untuk menyimak point elasticity karena ketika ln(y) dinyatakan sebagai fungsi linier dari ln(x), maka koefisien dari ln(x) adalah point elasticity Єyx. 4.10.13. Contoh Let q = pβ ,  > 0 Dimana q adalah quantity demanded dan p adalah harga. Rolando Danao

4.10.14. Theorem 4.10.15. Contoh Ln (q) = ln () +  ln (p) Єqp = =  d (ln q) d (ln p) 4.10.14. Theorem Let y = f(x) and x = g(x) then Єyx = ЄyxЄxz Proof : Єyz = = = = ЄyxЄxz z y dy dz z x x y dy dx dx dz x y dy dx z x dx dz 4.10.15. Contoh Let q = f(p) adalah fungsi demand dimana f differentiable on R++. Jika r adalah total revenue maka = p (1 + ) dr dq 1 Єqp Rolando Danao

4.10.17. Remark (dari Corollary 4.8.9.) Rates of Growth 4.10.16. Definisi Let y = f (t) dimana f:R+R is differentiable and t denotes time. ry = = . (4-53) dy/dt y 1 y dy dt 4.10.17. Remark (dari Corollary 4.8.9.) ry = = = ln’ f(t) (4-54) dy/dt y f’(t) f(t) 4.10.18. Theorem (i) ruv = ru + rv (4-55) (ii) ru/v = ru – rv (4-56) Rolando Danao

4.11. Partial Derivatives 4.10.19. Contoh Proof : (i) Let y = uv. Then ln (y) = ln (u) + ln (v). Hence, = + ry = ru + rv 1 y dy dt 1 u du dt 1 v dv dt 4.10.19. Contoh Jika rate of growth income (Y) adalah ry , dan Jika rate of growth populasi (N) adalah rN , then Jika rate of growth per capita income adalah ry – rN . 4.11. Partial Derivatives Ceteris paribus (hal-hal lain tetap) Rolando Danao

f (x1o,…, xi,…xno) – f(x1o,…, xio,… xno) 4.11.1. Definisi f1’(xo) = Jika the limit exists, jika setiap partial derivative f1’(x) exists, (i = 1,2, … n) then the vector f1’(x) f2’(x) . fn’(x) is called the gradient of f at x. f (x1o,…, xi,…xno) – f(x1o,…, xio,… xno) xi – xio Lim xixio f ’ (x) = Rolando Danao

4.11.2. Notasi If y = f(x) dimana x  Rn ,, then fi’(x) Ξ If y = f (u, v, …); fu = , fv = ∂y ∂xi ∂y ∂u ∂y ∂v 4.11.3. Remarks (i) fi’(x) diperoleh dengan menganggap variabel lain konstan (ii) fi’(x) (i=1,2, …, n) adalah tingkat perubahan f(x) as xi (iii) Setiap fi’ adalah suatu fungsi  variabel x1, x2, …, xn. 4.11.4. Contoh (1) Marginal Cost. Let  C = f (x1, x2,…, xn) Masing-masing fi’ (i=1,2,…,n) adalah marginal cost function. Rolando Danao

(2) Marginal demand. Let qi = f (p1, p2, …, pn) ; i = (1, 2, …, n) ∂pi (3) Marginal Product. Let consumer’s utility function y = f (x1, x2, …, xn) dimana y = output dan [xi, x2, …, xn]t adalah vektor input konsumsi barang n. MPi = ; i = (1, 2, …, n) (4) Marginal Utility. Let consumer’s utility function u = U (x1, x2, …, xn) dimana u = utility dan [xi, x2, …, xn]t adalah vektor MUi = ; i = (1, 2, …, n) ∂y ∂xi ∂u ∂xi Rolando Danao

Price Elasticity of Demand. Let demand function fi by Partial Elasticity 4.11.5. Definisi Let y = f (x1, x2, …, xn). The partial elasticity of y with respect to xi is defined as Єyxi Ξ . Xi y ∂u ∂xi 4.11.6. Contoh. Price Elasticity of Demand. Let demand function fi by qi = fi (p1, p2, …, pn) ; i = 1,2,…,n Dimana qi dan pi = qd dan qp untuk komoditi i. Maka price Elasticity of demand untuk komoditi i adalah Єqipi = . ; i = 1,2,…,n pi qi ∂qi ∂pi Rolando Danao

Jika Єqipj < 0, then ∂qi/∂pj < 0 (brg complement). Contoh : q1 = 100 – 2(p1)3/2+3p2-p3 P1 = 4, P2 = 5, P3 = 10 Eq1p1 = . [-3(p1)1/2] = = = – 0,27 Єqipj = , i ≠ j Jika Єqipj < 0, then ∂qi/∂pj < 0 (brg complement). Jika Єqipj > 0, then ∂qi/∂pj > 0 (brg substitusi). Єq1p2 = (3) P1 100 – 2(P1)3/2+3P2 – P3 -3(P1)3/2 100 – 2(P1)3/2+3P2 – P3 (-3)(4)3/2 100 – 2(4)3/2+3(5) – 10 Pj qi ∂qi ∂Pj P2 100 – 2(P1)3/2+3P2 – P3 Rolando Danao

Differentiability, Partial Derivatives and Continuity = = 0,17 Artinya 1% P2  q1 sebesar 0,17%  brg substitusi Differentiability, Partial Derivatives and Continuity 3(5) 100 – 2(4)3/2+3(5)+10 4.11.7. Definisi Let f adalah real-valued function on neighborhood Nr(x), xo  Rn. The function f is said to be differentiable at xo jhj there exists a vector a such that = 0 (4-59) Lim xxo f(x) – f(xo) - t(x-xo) ||x – xo|| Rolando Danao

4.11.8. Remark Hubungan antara differentiability dan existensi partial derivative ada pada theorem berikutnya. 4.11.9. Theorem Let f adalah real-valued function  Nr(x), x  Rn. (i) If f differentiable at x, then f is continuous at x and f’(x) exists. (ii) If f has continuous partial derivative at x (i.e., f’(x) exists and is continuous at x), then f is differentiable at x. Rolando Danao

Higher – Order Partial Derivatives Let y = f(x1, x2, …, xn). Since the partial derivatives fi (i = 1, 2, …, n) are functions of x1, x2, …, xn ; Second order partial derivative : Ξ i, j = 1, 2, …, n Ξ f”ij (x1, x2, …, xn) ∂2f ∂xj∂xi ∂ ∂xj ∂f ∂xi 4.11.10. Example Let z = f (x,y) = xy ; then f’x (x,y) = x-1y f’y(x,y) = xy-1 f”xx(x,y) = (-1)x-2y f”xy(x,y) = x-1y-1 f”yv(x,y) = x-1y-1 f”yy(x,y) = (-1)xy-2 Rolando Danao

4.11.11. Remark 4.11.12. Theorem (Young) Contoh 4.11.10., f”xy = f”yx tidak benar pada umumnya. It is true for functions dimana second-order partial derivatives are continuous. This is known as young’s theorem. 4.11.12. Theorem (Young) Let f : D  R have continuous second-order partial derivatives on D  Rn. Then f”ij (x) = f”ji (x) ; I,j = 1,2,…,n Rolando Danao

4.12. Total Derivatives dan Total Differentials 4.11.13. Remark Assuming that f has continuous higher-order partial derivatives, repeated application of Young’s Theorem y = f (x1, x2, x3, x4) Then y123 = f(12)3 = f(21)3 = f213 = f2(13) = f2(13) = f2(31) = f231 , etc. 4.12. Total Derivatives dan Total Differentials y = f (x1, x2, x3, …, xn) dengan asumsi variabel lain constant. ∂y ∂xi Rolando Danao

4.12.1. Definisi 4.12.2. Remark Let y = f (x) dimana x Є R. dy = f’ (x) dx 4.12.2. Remark 1) a = (tan θ)dx = f’ (x)dx = dy Gbr. The Differential dy a= dy θ x x+dx 2) dy = f’ (x) dx = f’ (x) ∂y ∂x Rolando Danao

3) Definisi dari Differentials dapat dinyatakan dalam fungsi beberapa variabel. Let y = f (x) , x  Rn dimana f mempunyai first-order partial derivatives sehingga f1’, f2’, …, fn’. Sekarang, jika f1’(x) berada dalam y per unit perubahan xi. Konsekuensinya fi’dxi adalah suatu approximasi dari perubahan y karena perubahan x  dxi. Maka penjumlahan f’1dx1+ f’2dx2 + … + f’ndxn dapat dilakukan untuk approximasi dari perubahan dalam y pada kombinasi perubahan dx1, dx2, …, dxn. Rolando Danao

4.12.4. Theorem (Rule of differential) 4.12.3. Definisi y = f(x) dimana x  Rn dan f mempunyai first-order partial derivatives. Given dx1 (i = 1, 2,…,n), total differential dy is defined as dy =  f’i (x) dxi n i=1 4.12.4. Theorem (Rule of differential) Let u = f(x) dan v = g(x), dimana x  Rn dan f & g adalah first-order partial derivatives. Maka (i) d(u+v) = du + dv (ii) d(uv) = udv + vdu (iii) d(u/v) = vdu – udv v2 Jika c adalah constan then (iv) dc = 0 Rolando Danao

4.12.5. Definisi Let y = f(x) , dimana x  Rn dan f mempunyai first-order partial derivatives. Let dxi be a differential dalam xj (i=1, 2, …, n). Total derivative dari y with respect to xj in defined as = f’i(x) +  f’j (x) (4.66) dy dx dxj dxi n j≠i 4.12.6. Komentar Jika variabel Xj (j≠i) tidak dipengaruhi oleh perubahan xi, maka dxj/dxi = 0 (j≠i); maka total derivative sama dengan partial derivative dan variabel dianggap konstan. (ii) Bagian pertama dari persamaan di atas (4.66) adalah efek langsung f’i(xi) dan bagian kedua adalah indirect efek lewat variabel lain xj (j≠i). Rolando Danao

4.12.7. Theorem (Chain Rule) 4.12.8. Theorem Let y = f(x) dimana x  Rn dan f memiliki first-order partial derivative dan xi = gi (t) dimana gi (i = 1, 2, …, n) adalah differentiable. =  fj’ (x) dy dt n i=1 dxi dt 4.12.8. Theorem Let y = f(x) dimana x  Rn dan f memiliki first-order partial derivative dan xi = gi (t1, t2, …, tk) dimana gi (i = 1, 2, …, n) memiliki first-order partial derivative . ∂y ∂tj n i=1 ∂xi ∂tj =  fj’ (x) Rolando Danao

4.12.9. Contoh (1) z = x + 2x2y2 – 2y , x = t3 y = 1/t = . + . = (1 + 4xy2) (3t2) + (4x2y - 2) (-1/t2) = 8t3 + 3t2 + 2t-2 (2) y = f (x) = ln (x1 + x2) , x1 = t x2 = t2 = f’1(x) + f’2(x) = + = dz dt ∂z ∂x dx dt ∂z ∂y dy dt dy dt dxj dt dx2 dt 1 x1 + x2 2t x1 + x2 1 + 2t X1 + x2 1 + 2t t + t2 Rolando Danao

4.13. The Implicit Function Theorem (3)  = x3 + 3xy + y3 ; x = w2v , y = wv2 = . + . = (3x2 + 3y) (2vw) + (3x + 3y2) v2 = 6 (v2w4 + v2w) vw + 3 (w2v + v4w2) v2 = 6v3w5 + 9v3w2 + 3v6w2 ∂u ∂w ∂u ∂x ∂x ∂w ∂u ∂y ∂y ∂w 4.13. The Implicit Function Theorem Given the equation f (x1, x2, …, xn, y) = 0 , It may be possible to express y explicitly in terms of the xj’s. Jadi bisa dinyatakan secara eksplisit. Contoh f (x1, x2, y) = y – x12 – x22 + 1 = 0 y = x12 + x22 – 1 y = f (x1, x2) = x12 + x22 – 1 Dimana f adalah differentiable on R2. Rolando Danao

Tetapi turunan f tidak exist pada x = ± 1. The ease in which we wrote y in terms of x1 dan x2 in the above example is, of course, not a characteristic property of implicit functions. Contoh, tetapi tidak mungkin menulis y in terms of x from the equation f (x, y) = x – y – ln (y) + 1 = 0 Moreover, even if we can express y explicitly in terms of x, differentiability at certain points may not be assured. For example, consider the equation of the unit circle f (x, y) = y2 + x2 – 1 = 0 Dapat diperoleh fungsi f:DR , dimana D = (-1,1), by setting y = f (x) = 1 – x2 y2 = 1 – x2 Tetapi turunan f tidak exist pada x = ± 1. Jadi apabila ada kondisi f (x1, x2, …, xn) = 0 adalah differentiable f yaitu y = f (x1, x2, …, xn) dan f (x1, x2, …, xn) = 0 Rolando Danao

4.13.1. Theorem (Fungsi Implisit) Y U Y0 Contoh, f (x, y) = 0 tidak diperoleh y sebagai fungsi x. x X0 V 4.13.1. Theorem (Fungsi Implisit) Let f (x, y) diperoleh dari neighborhood U (x0,y0). a) f (x0, y0) = 0 b) f’y, f’x are continuous on U dan c) f’y (x0, y0) ≠ 0 Then there exists a function f defined on a neighborhood V  R yang berisi x0 yaitu (i) y = f (x) pada V (ii) f [x, f(x)]  0 pada V (iii) f differentiable and has a continuous derivative on V. Rolando Danao

4.13.2. Komentar Implicit Function Theorem menyatakan bahwa f exists tetapi tidak menyatakan bagaimana secara eksplisit. 4.13.3. Theorem Let f (x, y) = 0 and suppose the conditions of the implicit function theorem hold at [x0, y0]. Let f be the function that satisfies y = f (x). Then f’ (x0) = = - dy dx f’x (x0,yo) f’y (x0,yo) Rolando Danao

4.13.4. Contoh Consider the equation f (x, y) = x2 + xy – 2y2 = 0 pada titik [x0, y0] = [1, 1]. (a) f (x0, y0) = f (1,1) = 0 (b) f’y (x, y) = x – 4y dan f’x (x, y) = 2x + y keduanya continuous (c) f’y (x0, y0) = f’y (1,1) = -3 ≠ 0 Kondisi implisit theorem terpenuhi = - = - = 1 dy dx f’x (1, 1) f’y (1, 1) 3 -3 Rolando Danao

4.13.5. Contoh Let z = f (x, y) dimana x, y Є R. Suatu level curve dari f dinyatakan oleh f (x, y) = zo , dimana zo adalah konstan. f (x, y) = f (x, y) – z0 = 0 Andaikan teorema fungsi implisit hold pada titik (x0, y0) maka sama dengan fungsi g dan continuously differentiable pada neigborhood V dari xo such that y = g (x) pada V. Pada (x0, y0) = - = Which gives the slope of the level curve at [x0, y0]. dy dx fx’ (x0, y0) fy’ (x0, y0) -fx’ (x0, y0) -fy’ (x0, y0) Rolando Danao

The Implicit Function Theorem for F (x, y) = 0, The Level curves of a production function defined by Q = f (L, K) adalah isoquant. Slope Isoquant pada titik [L0 , K0] adalah given by The numerical value of dK/dL is called the marginal rate of technical substitution antar dua input yaitu K dan L. - Level curve of utility function defined by u = h (x1, x2)  indifference curve. Slope = -  MRS1.2 The Implicit Function Theorem for F (x, y) = 0, x  Rn, y  R dK dL fl’ (L0,K0) fk’(L0,K0) = - dx2 dx1 h1’(x1,x2) h2’(x1,x2) Rolando Danao

4.13.6. Theorem (Implicit Function Theorem) Let F (x, y) be defined on a neighborhood U containing [xo, yo] and suppose that (a) F (xo, yo) = 0 (b) F1’, …, Fn’ dan Fy’ are continuous over U dan (c) Fy’ (xo, yo) ≠ 0 Then there exist a function f defined over a neighborhood V  Rn containing xo such that (i) y = f (x) on V (ii) F (x, f(x))  0 on V f adalah differentiable and has continuous partial derivatives on V Rolando Danao

4.13.7. Theorem Let F (x, y) = 0 dimana x Є Rn. Suppose that conditions of the Implicit Function Theorem hold at the point [xo, yo]. Let f be the function such that y = f (x). Then = f’i (xo) = - , i = 1, 2, …, n δy δxi fi’ (xo, yo) fy’ (xo, yo) 4.13.8. Contoh Fungsi produksi yang implisit given by F (L, K, Q) = 0. Assuming the Implicit Function Theorem hold at [Lo, Ko, Qo], we can get Marginal Product at [Lo, Ko] : δQ δK f’k (Lo, Ko, Qo) f’Q (Lo, Ko, Qo) = - δQ δL f’L (Lo, Ko, Qo) f’Q (Lo, Ko, Qo) = - Rolando Danao

4.13.9. Contoh The Balance Budget Theorem Consider the following simple model of income determination : y = C + I + G (1) C = g (Z) (2) 0 < g’ (Z) < 1  MPC Z = Y – T (3) Given Io, Go, To terdapat Yo, Co dan Z adalah solusi Eq. Subtitusi persm. (2) (3) ke (1) Y = g (Y - T) + I + G (4) Adalah F (I, G, T, Y) = Y – g (Y – T) – I – G (5) We observe the following : (a) F (Io, Go, To, Yo) = 0 since the point [Io, Go, To, Yo] satisfies persm. (4) Rolando Danao

(b) FI’, FG’, FT’ dan FY’ are continuous as seen below : FI’ (I, G, T, Y) = -1 FG’ (I, G, T, Y) = -1 FT’ (I, G, T, Y) = g’ (Y – T) FY’ (I, G, T, Y) = 1 - g’ (Y – T) (c) FY’ (Io, Go, To, Yo) = 1 – g’ (Yo – To) ≠ 0 The conditions of the Implisit Function Theorem hold; hence, there is a function f defined and differentiable on some neighborhood V containing [Io, Go, To] such that Y = f (I, G, T) on V The rate of change of Y with respect to any exogenous variable (while holding the other exogenous variables constant) is called a multiplier. Specifically, δY/δI, δY/δG dan δY/δT are called the investment multiplier, the government expenditure multiplier, and the tax multiplier, respectively. Rolando Danao

Total differential dY is given by FI’ (I, G, T, Y) FY’ (I, G, T, Y) -1 1 - f’ (Y-T) 1 1 - f’ (Z) = - = - = δY δG FG’ (I, G, T, Y) FY’ (I, G, T, Y) -1 1 - f’ (Y-T) 1 1 - f’ (Z) = - = - = δY δT FT’ (I, G, T, Y) FY’ (I, G, T, Y) f’ (Y-T) 1 - f’ (Y-T) - f’ (z) 1 - f’ (Z) = - = - = Mis : dG = dT dI = 0 Total differential dY is given by δY δI δY δG δY δT δY δG δY δT dY = dI + + dG + dT = δY δG δY δT = + dG δY δG δY δT 1 – f’ (Z) + = = 1 Sehingga, dY = dG Rolando Danao

4.13.10. Theorem (Implicit Function Theorem) The Implicit Function Theorem for Simultaneous Equations F1 (x1, x2, … xn ; y1, y2, …, ym) = 0 F2 (x1, x2, … xn ; y1, y2, …, ym) = 0 . . . Fm (x1, x2, … xn ; y1, y2, …, ym) = 0 The Implicit Function Theorem memberi kondisi : y1 = f1 (x1, x2, … xn) = 0 y2 = f2 (x1, x2, … xn) = 0 . . . ym = fn (x1, x2, … xn) = 0 4.13.10. Theorem (Implicit Function Theorem) Given Fi (x, y) , i = 1, 2, ..., m, x  Rn, y  Rm Rolando Danao

are continuous on U ; and Where Fi is a real-valued function defined on a neighborhood U  Rn+m containing [xo,yo]. Suppose that (a) Fi (xo, yo) = 0 , i = 1, 2, …, m (b) , i = 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m are continuous on U ; and (c) At the point [xo, yo], the Jacobian determinant δFi δyj δFi δXk Rolando Danao

(c) At point (xo,yo) adalah jacobian determinant δF1 δy1 δF1 δy2 δF1 δym … δF2 δym δF2 δy1 δF2 δy2 … ≠ 0 . . . δFm δy1 δFm δy2 … δFm δym Then there exist real-valued functions f1, f2, ..., fm defined on a neighborhood V  Rn containing xO such that : Rolando Danao

4.13.11.Contoh. Balance Budget Theorem Again (i) yi = fi (x) on V , i = 1, 2, …, m ; (ii) Fi [x, fi (x), …, fm (x)] = 0 on V , i = 1, 2, ..., m ; (iii) fi (i = 1, 2, …, m) adalah differentiable and has continuous partial derivatives on V. Proof : Sokolnikoff (1939) 4.13.11.Contoh. Balance Budget Theorem Again Model contoh 4.13.9 dapat ditulis : F1 (I, G, T ; Y, C, Z) = Y – C – I – G = 0 F2 (I, G, T ; Y, C, Z) = C – g (Z) = 0 F3 (I, G, T ; Y, C, Z) = Z – Y + T = 0 Rolando Danao

4.16. Homogeneous Functions 4.16.1. Definisi Let f : D  R, where D  Rn. Fungsi f adalah homogeneous of degree r if and only if f (tx) = tr f (x) for every scalar t > 0. Suatu fungsi homogeneous degree satu disebut linearly homogeneous. 4.16.2. Remarks Mathematically, it is possible to define homogeneity that includes negative values of t but our use of homogeneous functions is confined to those whose domains take only non-negative values. In some cases, it is useful to define homogeneity with respect to a subject of the xj’ s. Rolando Danao

4.16.3. Definisi Let y = f (x1, x2, …, xn ; u1, …, um). Fungsi f dikatakan homogeneous degree r in x1, …, xn pada (u1, …, um)t jhj f (tx1, …, txn, u1, …, um) = tr f (x1, …, xn ; u1, …, um) For every scalar t > 0. Rolando Danao

4.16.4. Contoh 1. The functions defined by the following equations are homogeneous with the indicated degrees : (a) f (x1,x2) = (degree -2) = = (t x1-1)(tx2-2) = t-2 (b) f (x1,x2) = (degree 0) = = tx1.t2-1 = to (c) f (x1,x2) = (degree ½) (d) f (L,K) = LK1- (degree 1) (e) f (x1, x2, …, xn) = xtAx (degree 2) 1 x1x2 1 tx1x2 x1 x2 tx1 tx2 ½ x13 x22 Rolando Danao

2. The Cobb-Douglas Function is a function f:Rn+  R defined by f (x) = k(x1)1(x2)2 … (xn)n ; where k > 0, i > 0. for t > 0 f (tx) = k(tx1)1(tx2)2 … (txn)n = kti(x1)1(x2)2 … (xn)n = ti f (x) hence, f is homogeneous degree I, jika i = 1  linearly homogenous 3. The CES (Constant Elasticity of Substitution) is a function f:Rn+  R defined by f (x) = k [ i xi-]-r/ where k > 0, r > 0,  > -1,   0, i > 0 (i = 1, 2, ..., n) and i = 1. for t > 0. Hence, f is homogeneous of degree r. In particular, f is linearly homogeneous if and only if r = 1. n i=1 Rolando Danao

4.16.5. Remark 4.16.6. Theorem The Cobb-Douglas Production Function f (L, K) = ALK Where L and K are the labor and capital inputs, respectively, is homogeneous of degree  + . In particular, if we double the inputs, we get f (2L, 2K) = 2+ f (L, K) if + > 1 Increasing Return to Scale (IRTS) + < 1 Decreasing Return to Scale (DRTS) + = 1 Constant Return to Scale (CRTS) 4.16.6. Theorem Let y = f (x1, x2, ..., xn). If f is homogeneous of degree r, then the partial derivatives are homogeneous of degree r – 1. Rolando Danao

4.16.9. Theorem (Euler’s Theorem) 4.16.8. Corollary Jika suatu fungsi produksi adalah Constant Return to Scale (CRTS), maka fungsi Marginal product-nya adalah homogeneous of degree zero (homogen berderajat nol). 4.16.9. Theorem (Euler’s Theorem) Let D  Rn and let f : D  R adalah homogeneous of degree r. Then [f’ (x)]tx  r f (x) Atau  f’j (x) xj  r f (x) n i=1 Rolando Danao

4.16.10. Contoh. Cobb-Douglas Production Function defined by Q = f (K, L) = K L1- is homogeneous of degree one. The marginal product are f’K (K, L) = K-1L1- f’L (K, L) = (1-)KL- dan untuk t > 0, f’K(tK, tL) = t-1K-1t1-L1- = K-1L1- = f’K (K, L) f’L(tK, tL) = (1-)tKt-L- = (1-)KL- = f’L(K, L) Thus the marginal product function are homogeneous degree zero. f’K(K,L)K + f’L(K,L)L = K-1L1-K + (1-)KL-L = KL1- + (1-)KL1- = KL1- = f (K,L) Rolando Danao

4.16.17. Homothetic function Recall that homogeneous functions have the property that the slopes of the level curves are the same at each point on a ray from the origin. This property is also possessed by a larger class of functions that contain the homogeneous functions as a subclass. These are called the homothetic functions. Rolando Danao