Strategi Algoritma Kuliah 2 : Kompleksitas Algoritma E. Haodudin Nurkifli Teknik Informatika Universitas Ahmad Dahlan
Jenis algoritma Divide and conquer : menyederhanakan problem yang besar. Greedy methode : mencari yang optimal pada saat itu. Algoritma : jumlah langkah yang berhingga (finite) instruksinya jelas Contoh : for i do 10 then .....
Tujuan Menganalisis algoritma Efisiensi waktu Efisiensi storage
Analisis algoritma Menentukan karakteristik kinerja (memprediksi sumber daya) Mengapa ? Memilih algoritma yang paling efisien dari beberapa alternatif penyelesaian untuk kasus yang sama Mencari waktu yang terbaik untuk keperluan praktis Apakah algoritma itu optimal untuk beberapa kasus atau ada yang lebih baik
Runing time fungsi dari input size Memanggil instruksi sederhana dan mengakses ke memory word sebagai “primitive operation” atau “step” Jumlah step eksekusi algoritma pada input tersebut Dikenal juga “complexity and input”
Kompleksitas tergantung Ukuran input bergantung pada problem Misalkan jumlah data yang diurutkan Karakter lain dari input Apakah data sudah terurut Apakah ada lingkaran dalam grafik
Kompleksitas Worst-case : kompleksitas waktu untuk waktu terburuk (waktu tempuh bernilai maksimum dari suatu fungsi f(n)) atau Tmax(n) Best-case : kompleksitas waktu untuk waktu terbaik (kompleksitas waktu yang bernilai minimum dari suatu fungsi f(n)) atau Tmin(n) Average-case : kompleksitas waktu untuk kasus rata-rata
Metode Analisis Asymptotic/theoretic/mathematic : berdasarkan pendekatan secara teori atau atas dasar analisa secara matematik Empirical/Practical/Empiris/Praktis : berdasarkan pendekatan praktis yang biasanya didasarkan atas data-data yang telah ada atau data-data yang di-generete / dibangkitkan
Asymptotic Menggambarkan karakteristik/perilaku suatu algoritma pada batasan tertentu (berupa suatu fungsi matematis) Dituliskan dengan notasi matematis yg dikenal dgn notasi asymptotic Notasi asymptotic dapat dituliskan dengan beberpa simbul berikut Q, O, W, o, w
Notasi Asymptotic Q, O, W, o, w Didefinisikan untuk fungsi diatas nilai biasa Contoh: f(n) = Q(n2). Menggambarkan bagaimana fungsi f(n) tumbuh pd pembandingan untuk n2. Mendefinisikan himpunan fungsi ; Pada prakteknya untuk membandingan 2 ukuran fungsi. Notasi menggambarkan perbedaan rate-of-growth hubungan antara definisi fungsi dan definisi himpunan fungsi.
Notasi O (big Oh) Ada konstanta n Untuk fungsi g(n),kita definisikan O(g(n)) sbg big-Oh dari n, sbg himpunan: O(g(n)) = {f(n) : konstanta positif c dan n0, sedemikian rupa n n0, sehingga 0 f(n) cg(n) } : ada, : untuk semua Ada konstanta n
Lanjt g(n) adalah asymptotic upper bound untuk f(n). f(n) Secara intuitif : himpunan seluruh fungsi yg rate of growth –nya adalah sama atau lebih kecil dari g(n). g(n) adalah asymptotic upper bound untuk f(n). f(n) = (g(n)) f(n) = O(g(n)). (g(n)) O(g(n)).
Lanjt 3 (pembulatan ke atas dalah 3) 2.99 = 2.50 = 2.0001 = 2.99 = 2.50 = 2.0001 = 3n + 7 = ? (tidak bakal lebih 4n) 2n2 + 5 = ? 3 3 Big Oh O adalah merupakan Upper bound dari suatu fungsi
Contoh ? f(n) = 3n + 4 berapa / apa big oh-nya ? 3n+4 <= Cn ? 3*2+4 <=3*3 10<=9 ? Tidak akan pernah terpenuhi berapapun nilai n 3n+4 <= cn ? 3*2+4 <=4*2 ? Apa kesimpulannya Bgm dgn n0 = 2 C =4 3n+4 <= cn ? 3*3+4 <=4*3 ? Bgm dgn n0 = 3 C =4 ? Bgm dgn n0 = 4 C =4 3n+4 <= cn ? 3*4+4 <=4*4 ?
Lanjt Sehingga dari f(n) = 3n+4 akan terpenuhi f(n) <= 4n untuk n >= 4 berarti f(n)=O(4n) untuk n0=4 4n 3n+4 n=4 f(n) n
Contoh dan Latihan Apa fungsi big Oh dari 4n ? 2n+7 ? n2 ? n2+3 ?
Notasi (big Omega) Untuk fungsi g(n),kita definisikan (g(n)) sbg big-Omega dari n, sbg himpunan: (g(n)) = {f(n) : konstanta positif c dan n0, sedemikian hingga n n0, maka 0 cg(n) f(n)}
Lanjt g(n) adalah asymptotic lower bound untuk f(n). f(n) Secara intuitif : himpunan dari semua nilai fungsi yang rate of growth-nya adalah sama atau lebih tinggi dari g(n). g(n) adalah asymptotic lower bound untuk f(n). f(n) = (g(n)) f(n) = (g(n)). (g(n)) (g(n)).
Lanjt 2.0001 = 2 (batas bawah tidak akan kurang dari 2) 2.50 = 2.50 = 2.99 = 3n + 7 = 2n2 + 5 = 2 (batas bawah tidak akan kurang dari 2) 2 2 ? ? Big Omega adalah merupakan Lower bound dari suatu fungsi
Notasi (big theta) Untuk fungsi g(n),kita definisikan (g(n)) sbg big-theta dari n, sbg himpunan sprt berikut (g(n)) = {f(n) : konstanta positif c1, c2 dan n0, sedmikian rupa n n0, maka 0 c1g(n) f(n) c2g(n)}
Lanjt Big theta adalah merupakan tight bound dari suatu fungsi f(n) merupakan (g(n)) pada nilai antara c1 smp c2 g(n) adalah asymptotically tight bound untuk f(n).
Lanjt Secara intuitif : himpunan seluruh fungsi yang rate of growth-nya sama dengan g(n). Secara teknik, f(n) (g(n)). Penggunan sebelumnya, f(n) = (g(n)). Mana yg akan kita teima … ? f(n) dan g(n) nonnegative, untuk nilai n besar.
Contoh (g(n)) = {f(n) : konstanta positif c1, c2, dan n0, yg mana n n0, 0 c1g(n) f(n) c2g(n)} 10n2 - 3n = (n2) Apa nilai konstanta n0, c1, dan c2 sehingga akan terpenuhi fungsi tsb? Buat c1 sedkit lebih kecil dari koefisien utama, dan c2 sedikit lebih besar. Untuk membandingkan tingkat pertumbuhan, lihat term utama. Latihan: Buktikan bahwa n2/2-3n = (n2)
Relasi antara Q, O, W
Relasi antara Q, O, W yakni, (g(n)) = O (g(n)) Ç W (g(n)) Teorema : untuk 2 fungsi g(n) dan f(n), f(n) = (g(n)) jika f(n) = O(g(n)) dan f(n) = (g(n)). yakni, (g(n)) = O (g(n)) Ç W (g(n)) Dalam prakteknya, nilai (atau tight bounds) didapat dari asymptotic upper bound dan lower bound.
Running Time Running time dari suatu algoritma, secara matematis adalah suatu fungsi input n untuk sejumlah n data Misal f(n)=n2 berarti fungsi runing time dari sejumlah n data adalah n2 Running time merupakan fungsi kebutuhan sumberdaya yang diperlukan suatu algoritma (atau implementasinya) untuk memproses sejumlah data n
Lanjt “Running time-nya O(f(n))” O(f(n)) adalah sbgWorst case-nya O(f(n)) batasan pd worst-case running time O(f(n)) batasan pada running time dari setiap input. Q(f(n)) batasan pd worst-case running time Q(f(n)) batasan pd running time dari setiap input. “Running time -nya W (f(n))” W(f(n)) sbg Best case-nya
Analisis Empiris ?