KONSEP DAN HUKUM PROBABILITAS Referensi : Walpole, RonaldWalpole. R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye, K. 1996. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Prentice Hall. London. Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Perhatikan hasil peluang berikut: Hitung peluang : P(A) ! n(A) = 4 n(S) = 7 p(A) = 4/7 Hitung peluang : P(B) ! n(B) = 4 n(S) = 7 p(B) = 4/7 Ruang Sampel Dan Perisriwa

Perhatikan hasil peluang berikut: Hitung peluang : P(AUB) ! n(AUB) = 6 n(S) = 7 p(AUB) = 6/7 Hitung peluang : P(AB) ! n(AB) = 2 n(S) = 7 p(AB) = 2/7 Ruang Sampel Dan Perisriwa

Perhatikan hasil peluang berikut: Hitung peluang : P(AUB) ! =p(A) + P(B) - P(AB) =(4/7) + (4/7) – (2/7) = 6/7 Ruang Sampel Dan Perisriwa

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Contoh Kasus Sebuah perusahaan akan membuka 2 cabang baru. Peluang didirikan di Malang adalah 70%, peluang didirikan di Jember adalah 60%, peluang didirikan di Malang dan Jember adalah 50%. Hitung peluang kedua cabang dibuka di Bondowoso????????????? Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Solusi Bagi menjadi 2 peristiwa : A = peristiwa didirikan di Malang B = peristiwa didirikan di Jember Maka ruang sampel pendirian cabang adalah : (AB, AB,AB, AB) AB = Malang, Jember AB = Malang, Bukan Jember AB = Bukan Malang, Jember AB = Bukan Malang, Bukan Jember ( Bondowoso boleh kan ..) Konsep dan Hukum Probabilitas

Diagram Venn di bawah terbagi atas 4 daerah : 1 = Keduanya di Malang 2 = Satu di Malang, satu di Jember 3 = Keduanya di Jember 4 = Keduanya tidak di Malang dan atau Jember P(daerah 4) = P (A U B)’ A B 1 3 4 2 10/9/01

Konsep dan Hukum Probabilitas Hitung P(AUB)’ P(AUB)’ = 1 – P(AUB) Ingat ada hukum : P(A)+P(A’) = 1, sehingga P(A’) = 1 – p(A) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB) P(AUB) = 70% + 60% – 50% = 80% P(AUB)’ = 1 – 80% = 20% Peluang kedua cabang didirikan di Bondowoso adalah 20% Konsep dan Hukum Probabilitas

Dengan cara yang sama, hitung probabilitas : Kedua cabang di Malang? P(Malang dan Jember) = 50%, sedangkan P(Malang) = 70%. P(Malang) diartikan bisa ada satu cabang di Malang atau kedua cabang di Malang. P(satu cabang di Malang) = P(Malang dan Jember) = 50%, maka P(Kedua cabang di Malang) = 70% - 50% = 20% P(A) = 70% meliputi daerah 1 (kedua cabang di Malang) dan daerah 2 (salah satu cabang di Malang) P(daerah 2) = 50%, maka P(daerah 1) = 70%-50%=20% A B 1 3 4 2 Konsep dan Hukum Probabilitas

Dengan cara yang sama, hitung probabilitas : Kedua cabang di Jember ? Jawaban : 10% Minimal salah satu cabang di Malang? Jawaban : 70% Minimal salah satu cabang di Jember? Jawaban : 60% Minimal salah satu cabang di Bondowoso? Jawaban : 20% Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Perhitungan probabilitas secara komputasi dengan generating random number Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas PELUANG BERSYARAT Lowongan kerja menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) sebanyak 100 orang Jumlah pelamar 10.000 orang. Berapa peluang bisa menjadi PNS? Jawaban : 100 / 10.000 = 1% Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Ujian saringan sebanyak 4 tahap (Administratif, Tes Potensi Akademik, Tes Kompetensi, Tes Wawancara) Peserta yang lulus hingga sebelum Tes Wawacara adalah 200 orang Peluang menjadi PNS dengan syarat sudah lulus hingga sebelum Tes Wawacara adalah 100 / 200 = 50% Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas TIPE PEKERJAAN Peternak, Petani, Pencopet (??) Dosen, Administrasi Tempat Kerja Indoor Outdoor Total Alat Kerja Tanpa Laptop 10 25 35 Dengan Laptop 60 5 65 70 30 100 Konsep dan Hukum Probabilitas

A = Bekerja indoor B = Alat kerja dengan laptop Indoor, tanpa laptop A = Bekerja indoor B = Alat kerja dengan laptop Outdoor, dengan laptop A B 10 5 60 25 Indoor, dengan laptop Outdoor, tanpa laptop Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas HITUNG PELUANG P(A) ? (10+60) / 100 = 70/100 P(B) ? (60+5) / 100 = 65/100 P(AB) ? 60 / 100 P(AUB) ? (10 + 60 + 5) / 100 = 75/100 Konsep dan Hukum Probabilitas

HITUNG PELUANG BERSYARAT Apabila sifat pekerjaannya indoor, berapa peluang bekerja dengan laptop ? Bisa ditulis P(B|A) …. P(B|A) = 60 / (10+60) = 60/70 Apabila sifat pekerjaannya indoor, berapa peluang bekerja tanpa laptop ? Bisa ditulis P(B’|A) …. P(B’|A) = 10 / (10+60) = 10/70 Konsep dan Hukum Probabilitas

HITUNG PELUANG BERSYARAT Apabila sifat pekerjaannya harus menggunakan laptop, berapa peluang tempat bekerja besifat indoor ? Bisa ditulis P(A|B) P(A|B) = 60 / (60+5) = 60/65 Apabila sifat pekerjaannya harus menggunakan laptop, berapa peluang tempat bekerja besifat outdoor ? Bisa ditulis P(A’|B) P(A’|B) = 5 / (60+5) = 5/65 Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

HUKUM PROBABILITAS TOTAL Berdasarkan gambar di samping maka dapat dihitung peluang A adalah : Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas PELUANG BERSYARAT Peluang A dengan syarat B : Maka peluang A irisan B : Konsep dan Hukum Probabilitas

HUBUNGAN PELUANG BERSYARAT DENGAN TOTAL PROBABILITAS Peluang A : Peluang bisa dinyatakan : Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

BENTUK UMUM HUKUM PROBABILITAS TOTAL Apabila dalam ruang sampel terdiri atas peristiwa A, B1, B2, B3 dan B4 dan A beririsan dengan B1, B2, B3 dan B4 maka peluang A adalah : Konsep dan Hukum Probabilitas

PEMBENTUKAN TEOREMA BAYES Peluang B dengan syarat A bisa dihitung dari persamaan (2-18) Sementara peluang A irisan B bisa dihitung dengan (2-19) Konsep dan Hukum Probabilitas

PEMBENTUKAN TEOREMA BAYES Gantikan hubungan pada (2-19) dengan (2-18), maka peluang B dengan syarat A bisa dihitung : Dari perhitungan probabilitas total menggunakan peluang bersyarat, diperoleh peluang A : Konsep dan Hukum Probabilitas

PEMBENTUKAN TEOREMA BAYES Hasil subtitusi dari probabilitas total menggunakan peluang bersyarat terhadap (2-20) diperoleh teorema Bayes : Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas KASUS Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang pak Ali terpilih 0,30, peluang pak Banu terpilih 0,50 sedangkan peluang pak Cokro terpilih 0,20. Kalau pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,80. Bila pak Banu atau pak Cokro terpilih maka peluang kenaikan iuran secara berurutan adalah 0,10 dan 0,40. Seseorang merencanakan masuk menjadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan mengetahui bahwa iuran telah naik. Berapakah peluang pak Cokro terpilih menjadi ketua? Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas PENYELESAIAN Beberapa peristiwa bisa dituliskan : A = orang terpilih menaikkan iuran B1 = pak Ali terpilih B2 = pak Banu terpilih B3 = pak Cokro terpilih Peluang pak Cokro terpilih dengan syarat iuran koperasi naik adalah : P(B3|A). Maka ini bisa dihitund dengan pendekatan aturan Bayes. Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas PENYELESAIAN Dengan Peluang B3 dengan syarat A bisa dihitung : P(B1A) = P(B1).P(A|B1) = (0,30)(0,80) = 0,24 P(B2A) = P(B2).P(A|B2) = (0,50)(0,10) = 0,05 P(B3A) = P(B3).P(A|B3) = (0,20)(0,40) = 0,08 Maka Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas PENYELESAIAN Dengan cara yang sama : Peluang pak Ali terpilih dengan syarat telah terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,24/0,37 = 0,65 atau 65% Peluang pak Banu terpilih dengan syarat telah terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,05/0,37 = 0,14 atau 14% Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah naik, hasil ini menunjukkan bahwa kemungkinan besar bukan pak Cokro yang sekarang menjadi ketua koperasi tersebut Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas EVALUASI Bila iuran koperasi ternyata tidak naik, berapa peluang bahwa pak Cokro yang terpilih? Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas JAWABAN EVALUASI Peluang pak Cokro yang terpilih dengan syarat situasi yang terjadi adalah iuran koperasi tidak naik adalah : P(B3|A’) Maka P(B1A’) = P(B1).P(A’|B1) = (0,30)(1-(0,80)) = (0,30(0,20) = 0,06 P(B2A’) = P(B2).P(A’|B2) = (0,50)(1-(0,10)) = (0,50)(0,90)=0,45 P(B3A’) = P(B3).P(A’|B3) = (0,20)(1-(0,40)) = (0,20)(0,60)=0,12 Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas JAWABAN EVALUASI Peluang B3 dengan syarat A’ bisa dihitung : Peluang pak Cokro terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan iuran koperasi adalah 19% Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas JAWABAN EVALUASI Dengan cara yang sama : Peluang pak Ali terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,06/0,63 = 0,10 atau 10% Peluang pak Banu terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,45/0,63 = 0,71 atau 71% Sehingga bila ternyata iuran koperasi naik, maka peluang terbesar untuk ketua yang terpilih adalah pak Ali Sedangkan bila ternyata iuran koperasi tidak naik, maka peluang terbesar untuk ketua yang terpilih adalah pak Banu Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas LATIHAN-01 Suatu tes kejujuran yang diberikan kepada seorang tersangka memiliki kehandalan 90% apabila orang tersebut bersalah dan 99% bila orang tersebut tidak bersalah. Dengan kata lain, 10% dari yang bersalah dinyatakan tidak bersalah oleh tes ini dan 1% dari yang tidak bersalah dinyatakan bersalah. Apabila si tersangka adalah bagian dari 5% orang yang bersalah dan tes menyatakan dia bersalah. Berapa peluang orang tersebut bersalah? Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas LATIHAN-02 Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas LATIHAN-03 Pada suatu acara outbound berkumpul beberapa peserta dari berbagai suku antara lain : Jawa, Sunda, Madura dan Bugis dengan proporsi masing-masing sebanyak 40%, 30%, 20% dan 10%. Saat acara makan disediakan menu masakan bersayur dan tidak. Peluang mengambil masakan bersayur pada peserta dari Sunda adalah 80%, sedangkan untuk Jawa, Madura dan Bugis memiliki peluang masing-masing 70%, 15% dan 20%. Seorang peserta sedang mengambil makanan dari menu tidak bersayur, hitung peluang bahwa peserta tersebut berasal dari suku Sunda? Seorang peserta sedang mengambil makanan dari menu bersayur, hitung peluang bahwa peserta tersebut berasal dari suku Madura? Konsep dan Hukum Probabilitas

Independence and Multiplication Rule Independent Events Two events are independent if one may occur irrespective of the other Event A and B are independent if and only if P[AB] = P[A] P[B] Konsep dan Hukum Probabilitas

Independence and Multiplication Rule Example: A1 = sample contains Pb P[A1] = 0.32 A2 = sample contains Hg P[A2] = 0.16 sample contains both P[A1A2] = 0.10 What is the probability of a sample contains Pb will also contains Hg? Konsep dan Hukum Probabilitas

Independence and Multiplication Rule Answer P[A2|A1] = P[A1A2] / P[A1] = 0.10/0.32 = 0.31  P[A2] = 0.16  A1 and A2 are not independent Independent if P[A2|A1] = P[A2] Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem Let A1, A2, A3, …, An be a collection of events which partition S. Let B be event such that P[B]  0 For any events Aj, j = 1,2,3,…,n then Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas LATIHAN-04 Example Distribusi tipe golongan darah dalam satu daerah adalah : type A = 41% type B = 9% type AB = 4% type O = 46% Pada kondisi darurat terdapat peluang kesalahan dalam menentukan tipe golongan darah tipe O teridentikasi A = 4% tipe A teridentikasi A = 88% tipe B teridentikasi A = 4% tipe AB teridentikasi A = 10% Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem Seseorang mengalami kecelakaan lalu lintas dan tipe golongan darahnya teridentifikasi tipe A. Berapa peluang bahwa ini adalah tipe darah yang benar? Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem Kasus ini akan menghitung Seseorang mengalami kecelakaan lalu lintas dan tipe golongan darahnya teridentifikasi tipe A. Berapa peluang bahwa ini adalah tipe darah yang benar? Beberapa peristiwa bisa dinyatakan : A : Golongan darah A B : Golongan darah B AB : Golongan darah AB O : Golongan darah O TA : Seseorang teridentifikasi golongan darah A Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem TA O AB B A OTA ABTA BTA ATA TA = (ATA) (BTA) (ABTA ) (OTA ) Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem Akan dihitung peluang tipe golongan darah A dengan syarat hasil identifikasi darah adalah A atau P[A|TA] =? Diketahui : P[A] = 0.41 P[TA|A] = 0.88 P[B] = 0.09 P[TA|B] = 0.04 P[AB] = 0.04 P[TA|AB] = 0.10 P[O] = 0.46 P[TA|O] = 0.04 Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem Pergunakan hubungan peluang bersyarat Bagaimana menghitung P[ATA] dan P[TA] ?? P[ATA] = P[TA|A] P[A] = (0.88)(0.41) = 0.36 P[TA] = P[ATA] + P[BTA] + P[ABTA] + P[OTA] Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Bayes’ Theorem P[TA] = P[ATA] + P[BTA] + P[ABTA] + P[OTA] = P[TA|A] P[A] + P[TA|B] P[B] + P[TA|AB] P[AB] + P[TA|O] P[O] = (0.88)(0.41) + (0.04)(0.09) + (0.10)(0.04) + (0.04)(0.46) = 0.39 Hasil akhir P[A|TA] = 0.36/0.39 = 0.92 Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas LATIHAN-05 An economist believes that during periods of high economic growth, the U.S. dollar appreciates with probability 0.70; in periods of moderate economic growth, the dollar appreciates with probability 0.40; and during periods of low economic growth, the dollar appreciates with probability 0.20. During any period of time, the probability of high economic growth is 0.30, the probability of moderate growth is 0.50, and the probability of low economic growth is 0.20. Suppose the dollar has been appreciating during the present period. What is the probability we are experiencing a period of high economic growth? Konsep dan Hukum Probabilitas

Konsep dan Hukum Probabilitas Our partition consists of three events: high economic growth (event H), moderate economic growth (event M), and low economic growth (event L). The prior probabilities of the three states are P(H) 0.30, P(M) 0.50, and P(L) 0.20. Let A denote the event that the dollar appreciates. We have the following conditional probabilities: P(A | H) 0.70, P(A | M) 0.40, and P(A | L) 0.20. Konsep dan Hukum Probabilitas

Example of Conditional Probability: 3 Cards Trick Consider 3 special cards below Randomized & draw one blue red blue red blue ? Probability of blue bottom = ? Probability of red bottom = ? Konsep dan Hukum Probabilitas

Example of Conditional Probability: 3 Cards Trick Probability of blue top faces: P[blue top] = 3/4 Probability of blue bottom: P[blue bottom] = 1/2 Probability of a card having blue bottom face given blue top face: P[blue bottom|blue top] = (1/2)/(3/4) = 2/3 Konsep dan Hukum Probabilitas

Example of Conditional Probability: 3 Cards Trick Top Blue Red total Blue 2/6 1/6 1/2 Bottom 1/6 2/6 1/2 Red total 1/2 1 Konsep dan Hukum Probabilitas

Example of Conditional Probability: 3 Cards Trick P[A] P[B|A] P[AB] blue bottom 3/6 x 2/3 = 2/6 2/3 blue top 1/3 red bottom 3/6 x 1/3 = 1/6 3/6 blue bottom 3/6 x 2/3 = 2/6 2/3 3/6 1/3 red bottom 3/6 x 1/3 = 1/6 red top Konsep dan Hukum Probabilitas