Teori bilangan Dosen : Wiyono M,Pd 2B1 Matematika Kelompok 4 : 1. Anggi Desyana P 6. Nur Wakhid 2. Anisa Febriani 7. Rahmatika RA 3. Desi Atika 8. Siti Nurfadillah 4. Esti Yuliana 9. Syara Syafitri 5. Maya Febriani 10. Wilda Oktaviani
Teorema fermat dan wilson
A. Teorema fermat Perhatikan barisan bilangan: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Bilangan-bilangan dalam barisan ini kongruen modulo 7 berturut-turut dengan: 4, 1, 5, 2, 6, 3 Tampak pada barisan bilangan terakhir ini, suku-sukunya adalah bilangan-bilangan asli kurang dari 7, yaitu unsur- unsur dari himpunan residu terkecil modulo 7. Contoh tersebut merupakan satu ilustrasi dari teorema berikut ini : Teorema 5.1 Jika (a,m)=1 maka residu-residu terkecil modulo m dari barisan: a, 2a, 3a,…,(m-1)a adalah suatu permutasi dari 1, 2, 3,…,(m-1).
Teorema 5.1 dapat dikatakan bahwa jika (a,m)=1 maka setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu dari 0, a, 2a, 3a,…,(m-1)a. Ingat bahwa setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu dari 0,1,2,3,4,…,(m-1). Bukti :
Teorema 5.2: Jika p suatu bilangan prima dan (a,p)=1 maka ap-1 1 (mod p) Bukti : Ambil sembarang bilangan prima p dan bilangan bulat a sedemikian (a,p)=1 maka menurut Teorema 5.1, residu-residu terkecil mod p dari: a,2a,3a,…,(p-1)a adalah suatu permutasi dari 1,2,3,…,(p-1) sehingga hasil kalinya akan kongruen mod p juga, yaitu: a,2a,3a…(p-1)a 1,2,3…(p-1)(mod p) ap-1 (1,2,3…(p-1)) (p-1)!(mod p) ap-1 (p-1) ! (p-1)!(mod p)
Karena p dan (p-1). Saling prima (mengapa Karena p dan (p-1)! Saling prima (mengapa?) maka kita dapat melenyapkan (p-1)! dari kekongruenan terakhir ini sehingga diperoleh: ap-1 1 (mod p) teorema fermat tersebut dapat dinyatakan lebih umum dengan meniadakan ketentuan (a,p) = 1
Teorema wilson Teorema 5.5 : Jika p suatu bilangan prima maka kekongruenan X2 1 (mod p) mempunyai tepat dua solusi, yaitu 1 dan p-1. Bukti: Misalkan r adalah suatu solusi dari pengkongruenan X2 1 (mod p) maka r2 – 1 0 (mod p) (r+1)(r-1) 0 (mod p) Pengkongruenan terakhir ini berarti p I (r+1) (r-1) karena p suatu bilangan prima maka: p I (r+1) atau p I (r-1) r+1 0 (mod p) atau r-1 0 (mod p) r -1 (mod p) atau r 1 (mod p) r (p-1) (mod p) atau r 1 (mod p)