TEORI PROBABILITAS

Probabilitas suatu peristiwa adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi. Probabilitas peristiwa nilainya antara 0 hingga 1 Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan “hasil yang tidak pasti” Eksperimen : proses pengumpulan data tentang fenomena tertentu yang menunjukkan adanya variasi dalam hasilnya.

Definisi : Ruang sampel : himpunan dari elemen-elemen yang merupakan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen, ditulis dengan lambang S Peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel, ditulis dengan lambang huruf besar : A, B, C …. Peristiwa sederhana : peristiwa yang hanya mempunyai 1 elemen saja S={a1, a2, a3, …….an} dimana ai adalah elemen yang mungkin dari ruang sampel. Contoh 1: Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu satu kali Hasil : mata dadu yang tampak di atas Ruang sampel : S={1,2,3,4,5,6} Suatu peristiwa : A= angka ganjil yang muncul A={1,3,5}

Operasi Himpunan : Union A dan B: (AUB) Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau di dalam B (termasuk yang ada di dalam keduanya jika ada) Interseksi/irisan antara A dan B (A∩B) adalah himpunan semua elemen yang merupakan anggota A dan juga anggota B. Komplemen suatu peristiwa A adalah himpunan semua elemen yang tidak merupakan anggota A. A B A B A∩B AUB

Probabilitas suatu peristiwa : Dua peristiwa A dan B saling asing jika irisan kedua himpunan tersebut kosong yaitu A∩B=Ø sehingga berlaku : P(A U B) = P(A) + P(B) Contoh 2 : Buah Mentimun diklasifikasikan dalam tiga kelompok kualitas yaitu Kualitas I, II dan III. Kualitas I dan II memenuhi syarat sebagai bahan acar dan kualitas III tidak memenuhi standar sebagai bahan acar. Jika diambil secara random 200 buah mentimun dan diperoleh data bahwa 120 buah termasuk dalam kualitas I, 50 termasuk kulaitas II dan 30 buah termasuk kualitas III, hitunglah probabilitas buah mentimun yang dapat digunakan sebagai bahan acar !

Jawab : Jika A : buah mentimun kualitas I B : Buah mentimun kualitas II maka mentimun yang termasuk , bahan acar adalah A U B karena kejadian A dan B saling asing maka berlaku P(A U B) = P(A) + P(B) = 120/200 + 50/200 = 0,6 + 0,25 = 0,85 Jadi probabilitas buah mentimun yang dapat digunakan sebagai bahan acar adalah 85%.

Kejadian A dan B tidak saling asing jika : P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Kejadian A dan B independen : jika kemungkinan terjadinya B tidak dipengaruhi oleh kemungkinan terjadinya A. Independen : sampling dengan pengembalian. Maka berlaku : P(A/B) = P(A) atau P(B/A) = P(B) dan P(A ∩ B) = P(A) . P(B). e. Jika A dan B merupakan dua kejadian dependen maka : P(A/B) ≠ P(A) atau P(B/A) ≠P(B) dan Dependen : sampling tanpa pengembalian.

Contoh 3: (kejadian tidak saling asing) Probablilitas kejadian A yaitu kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg adalah 0,3  P(A) = 0,3 Probalilitas kejadian B yaitu kentang yang dapat ditrima pembeli adalah 0,8  P(B) = 0,8 Jika probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg atau ditrima pembeli adalah 0,9  P(A ᴜ B) = 0,9 Maka : probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg dan dapat ditrima pembeli (A dan B) adalah P(A dan B) = P(A) + P (B) – P(A or B) = 0,3 + 0,8 – 0,9 = 0,2

f. Probabilitas bersyarat : Jika A dan B dua kejadian dengan P(B)>0 maka probabilitas bersyarat kejadian A kalau diketahui B telah terjadi adalah : P(A∩B) P(A/B)= P(B) g. Jika A1, A2, A3, A4, …….Ak adalak kejadian partisi dari S dan B kejadian sembarang dari S, maka untuk setiap i=1,2,3…k berlaku teorema bayes :

Contoh soal 4 : Probabilitas Bersyarat : Seorang petugas Quality control melakukan inspeksi terhadap produk teh berdasarkan standar yang ada. Jika terdapat kejadian : I : {Produk lolos inspeksi} B : {Produk sesuai dengan standar konsumen} Sehingga : I  B : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen sesuai dengan standar yang diinginkan. I  BC : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen tidak sesuai dengan standar yang diinginkan. Jika diketahui berdasarkan pengalaman : I  B = 0,80 I  BC= 0,02 IC  B= 0,15 IC  BC= 0,03 Hitunglah probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan tidak sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen.

Jawab : Ditanyakan : probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen  P(BC/I) = ? I : {Produk lolos inspeksi} terdiri dari dua kejadian yaitu : I  B = Produk lolos inspeksi dan sesuai standar konsumen I  BC= Produk lolos inspeksi dan tidak sesuai dengan standar konsumen Jadi I = (I  B)  (I  BC) P(I) = P (I  B)  P (I  BC) = 0,80 + 0,02 = 0,82 Sehingga :

Analisis kombinatorik : Aturan Perkalian Jika suatu percobaan terdiri dari k bagian dan bagian 1 menghasilkan n1 hasil yang berbeda, bagian 2 menghasilkan n2 dan seterusnya bagian k menghasilkan nk maka banyaknya hasil yang berbeda yang mungkin n1xn2xn3x…..xnk. 2. Aturan permutasi : Banyaknya susunan atau urutan yang berbeda dari k obyek yang diambil dari n obyek adalah : Jika k=n maka n! = n faktorial (Konvensi : 0!=1)

Contoh soal 5 : (Aturan Perkalian) Satu buah koin yang seimbang dilempar dua kali maka berapakah banyak hasil yang berbeda yang mungkin ? Jawab : Dalam kejadian tersebut terdapat dua bagian kejadian yaitu bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2  n1=2 bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2  n2=2 maka hasil yang berbeda yang mungkin dari kejadian tersebut adalah n1 Xn2 = 2 X 2 = 4

Contoh soal 6 a: (Permutasi) Sebuah supermarket menjual 5 jenis susu formula. Supermarket tersebut mempunyai satu etalase di bagian depan pintu yang hanya terdiri dari 3 rak bertingkat. Jika urutan peletakan susu formula didalam rak bertingkat sangat penting untuk diperhatikan ada berapakah cara untuk menata 3 jenis susu formula dari 5 jenis yang ada secara bergantian ? Jawab : Urutan penting  Kejadian permutasi Dicari dulu nilai (n-k+1)=(5-3+1)=3 5P3= 5 X 4 X3 = 60 cara.

3. Aturan kombinasi Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil k obyek adalah :  Tidak memperhatikan urutan Contoh soal 7: Sebuah perusahaan memiliki 10 orang teknisi jika dibutuhkan 3 orang teknisi untuk dikirim ke suatu daerah, ada berapa alternatif teknisi yang terpilih ?  Jawab : Urutan tidak penting  Kombinasi Kombinasi 3 dari 10 teknisi :  

4. Aturan partisi Jika suatu obyek terdiri dari N elemen yang berbeda dan akan dibagi dalam k partisi (kelompok atau bagian) dimana bagian I beranggotakan n1 dan bagian II beranggotakan n2 dan bagian k beranggotakan nk elemen, maka jumlah partisi yang berbeda adalah : Dimana n1 + n2 + ….+ nk=N

Contoh soal 8: Aturan Partisi Sebuah perusahaan mempunyai 12 orang analisis dan perusahaan tersebut akan membagi mejadi 3 kelompok yaitu untuk menyelesaikan pekerjaan I membutuhkan 3 orang analis, untuk pekerjaan II membutuhkan 4 orang analis, dan untuk pekerjaan III membutuhkan 5 orang analis. Dalam permasalahan ini ada berapakah cara yang berbeda yang mungkin untuk membagi tugas tersebut ? Jawab : Terdapat N=12 analis yang dibagi dalam beberapa bagian n1=3, n2=4, dan n3=5 sehingga jumlah partisi yang berbeda yang mungkin adalah :

Kerjakan soal berikut dikumpulkan paling lambat tanggal 15 Oktober 2013 : Sebuah pabrik mempunyai 2 mesin penggiling lateks, penggiling I dalam kondisi idle (mengganggur) adalah 40%, sedangkan mesin II dalam kondisi mengganggur 30%. Jika kedua alat dipasang paralel (indenpenden satu sama lain) maka hitunglah : Kedua mesin sama-sama mengganggur Kedua mesin sama-sama tidak ada yang mengganggur Minimal ada satu mesin yang mengganggur. Dari 20 mahasiswa terdiri dari 12 orang laki-laki dan 8 wanita. Jika akan dipilih 4 orang wakil secara rnadom, berapakah probabilitas a. Yang terpilih ada 2 orang yang wanita b. Yang terpilih minimal ada 2 wanita