Tatap muka ke 9 : KALKULUS Diferensial Fungsi koefisien Diferensi dan Derivatif Kaidah-kaidah Diferensial Hakikat Derivatif dan Diferensial Derivatif dari Derivatif

TOKOH KALKULUS Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

Kalkulus (dari Bahasa Latin calculus yang artinya "batu kecil") adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus, yang mempunyai aplikasi luas dalam bidang sains dan teknik, digunakan untuk memecahkan masalah kompleks yang tidak cukup diselesaikan dengan menggunakan teknik aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.

KALKULUS adalah konsep matematika yang mempelajari mengenai analisis tingkat perubahan dari suatu fungsi KALKULUS terdiri 2 bidang studi - kalkulus diferensial, tingkat perubahan rata-rata atau seketika dari suatu fungsi - kalkulus integral, mengenai pencarian nilai fungsi asal bila diketahui nilai perubahannya dan juga penentuan luas bidang dibawah kurva yang dibatasi oleh sumbu X

PENEMU Operasi matematika untuk diferensial dan integral adalah Isaac Newton ( warga negara Inggris) PENERAPAN diferensial untuk membandingkan perubahan dari suatu keseimbangan lama ke suatu keseimbangan baru (Analisis statis komparatif) Analisis tingkat perubahan nilai keseimbangan variabel endogen terhadap perubahan dalam parameter khusus atau variabel eksogen

MENCARI TITIK KRITIS TITIK KRITIS MAKSIMUM MAKSIMUM RELATIF MAKSIMUM ABSOLUT (INTERVAL) TITIK KRITIS MINIMUM

MENCARI TITK KRITIS LANGKAH-LANGKAH UNTUK DERIVATIF PERTAMA =O, dan CARI NILAI “X” MISAL Xo MASUKAN NILAI “Xo” KE DERIVATIF KEDUA JIKA f ”(X) < 0, MAKSIMUM RELATIF PADA TITIK (Xo, f (Xo) JIKA f”(X) > 0, MAKA TITIK MINIMUM NEGATIF JIKA F”(X) = 0, UJI DERIVATIF GAGAL DAN TIDAK DAPAT DISIMPULKAN SECARA PASTI, KEMBALI KE UJI DERIVATIF PERTAMA ATAU YG LEBIH TINGGI

CONTOH : Y= -X 2 +12X + 2 CARI TITIK KRITIS DENGAN DERIVATIF PERTAMA MASUKAN NILAI X=6 KE PERSAMAAN PERTAMA Y = -X 2 +12X + 2 = -6 2 + 12 . 6 + 2 = 38 TITIK KRITIS (6,38) DERIVATIF KEDUA f “ (X) = -2 , -2 < 0 BERARTI TITIK MAKSIMUM RELATIF

Y=X3-12X2+36X+8 DERIVATIF PERTAMA f’ (X) = 3X2 -24X + 36 =0 Atau 3 (X2 -8X + 12) Sehingga (X-2)(X-6) Titik kritis X1=2 dan X2=6 Masukan titik kritis X1=2 dan X2=6 ke persamaan semula

Y= f(X) = X3-12X2+36X+8 Untuk X =2 maka (2)3-12. (2)2+36.(2)+8 =40 ; titik (2,40) Untuk X =6 maka (6)3-12. (6)2+36.(6)+8 = 8; titik (6,8) Jadi titik kritisnya adalah titik (2,40) dan titik (6,8) Uji DERIVATIF KEDUA f’ (X) = 3X2 -24X + 36 F” (X) = 6X-24 UNTUK X=2 ; f’’ (X) = 6.2 -24 =-12 < 0, maksimum UNTUK X=6 ; f’’ (X) = 6.6 -24 =12 > 0, MINIMUM

SOAL LATIHAN f(X) = X2 -4X +3 f(X) = X2 -6X +8 f(X) = X3 -6X2 +9X +5 CARILAH TITIK MAKSIMUM ATAU MINIMUM DARI FUNGSI-FUNGSI DIATAS DENGAN MENGGUNAKAN UJI DERIVATIF PERTAMA DAN KEDUA

BIAYA TOTAL, RATA-RATA DAN MARGINAL TC = f (Q) AVERAGE COST (AC) = TC / Q = f(Q)/Q MARGINAL COST (MC) = TINGKAT PERUBAHAN DARI BIAYA TOTAL (TC) TERHADAP PERUBAHAN SATU UNIT PRODUK YANG DIHASILKAN ISTILAH MARGINAL PENGGANTI “DERIVATIF” DALAM MATEMATIKA MARGINAL COST (MC) = DERIVATIF PERTAMA TOTAL COST (TC) MARGINAL AVERAGE COST (MAC) = DERIVATIF PERTAMA BIAYA RATA-RATA

CONTOH: JIKA DIKETAHUI FUNGSI BIAYA TOTAL DARI SUATU PERUSAHAAN ADALAH ; TC = 0,2 Q2 + 500Q + 8000 CARILAH : 1. FUNGSI BIAYA RATA-RATA? 2. JUMLAH PRODUK AGAR BIAYA RATA-RATA MINIMUM ? 3.BERAPA NILAI RATA-RATA MINIMUM TERSEBUT ?

TC = 0,2 Q2 + 500Q + 8000 1. FUNGSI BIAYA RATA-RATA (AC) = TC/Q AC = TC/Q = TC = (0,2 Q2 + 500Q + 8000 )/Q = 0,2 Q + 500 + 8000/Q 2. JUMLAH PRODUK AGAR BIAYA RATA-RATA MINIMUM DENGAN DERIVATIF PERTAMA BIAYA RATA-RATA=0 AC = 0,2 Q + 500 + 8000/Q 0,2 Q + 500 + 8000 . Q -1 dAC / dQ = 0,2 -8000 .Q-2 = 0 0,2 = 8000 / (Q2) 0,2 Q2 = 8000 Q2 = 40.000 ; Q = 200 UJI TITIK MINIMUM DENGAN DERIVATIF KEDUA d’ AC / dQ = 0,2 -800 .Q -2 D’’ AC / dQ =16000 .Q -3 = 16.000/Q3 UNTUK Q = 200 MAKA 16.000/2003 > 0 ; MINIMUM SUBSTITUSIKAN NILAI Q =200 KE PERSAMAAN AC = 0,2 Q + 500 + 8000/Q = 0,2 . 200 + 500 + 8000/200 = 580

PENERIMAAN TOTAL, RATA-RATA DAN MARGINAL TR = P. Q DIMANA P = f (Q) SEHINGGA TR = f(Q) . Q AR = TR /Q = P.Q/Q = P AR = P = f(Q) ; DIMANA f(Q) ADALAH FUNGSI PERMINTAAN MR = dTR/dQ

JIKA DIKETAHUI SUATU FUNGSI PERMINTAAN ADALAH P= 18 – 3Q CARILAH: - PENERIMAAN TOTAL MAKSIMUM - GAMBARKAN KURVA UNTUK - AR, MR DAN TR

PERMINTAAN P= f(Q)P =18 – 3Q TR = P. Q = f(Q) . Q = (18 – 3Q ). Q= 18Q -3Q2 UNTUK MAKS MAKA dTR/dQ=0 dTR/dQ=0 TR = 18Q -3Q2 dTR/dQ = 18 – 6.Q =0; 6Q = 18 ; Q = 3 UNTUK Q = 3, TR = 18. 3 -3.(3)2 = 54-27= 27 MAKSIMUM TR PADA TITIK (3,27)

MR = MARGINAL REVENUE = dTR/dQ TR = 18Q -3Q2 (GAMBAR KURVA) MR = dTR/dQ = 18 – 6 Q (GAMBAR KURVA) AR = TR/Q = 18 -3Q (GAMBAR KURVA)

SOAL JIKA FUNGSI BIAYA TOTAL ADALAH TC=4 + 2Q + Q2 TC = (1/50)Q2 +6Q + 200 TC = Q3 + Q + 8 CARILAH : BIAYA RATA-RATA MINIMUM DAN GAMBARKANKURVA BIAYA TOTAL DAN RATA-RATA DALAM SATU DIAGRAM

SOAL FUNGSI PERMINTAAN SUATU PRODUK ADALAH : P = 24 -7Q P = 12 – 4 Q P = 212 – 3 Q P = 550 – Q HITUNGLAH PENERIMAAN TOTAL MAKSIMUM GAMBARKAN KURVA AR, MR, DAN TR DALAM SATU DIAGRAM

LABA MAKSIMUM LABA (Π) = TR – TC Π = P. Q – (TC) TR = P.Q DIMANA P = f(Q) DAN TC = f(Q)TC Π = P. Q – (TC) LABA MAKSIMUM , dicari dengan menghitung derivatif pertama dari fungsi LABA atau dΠ/dQ = Π’ PENGAUJIAN TERHADAP TITIK MAKSIMUM , dengan mencari derivatif kedua dari fungsi LABA.

contoh

ELASTISITAS PERMINTAAN Elastisitas harga dari permintaan dapat didefinisikan sebagai perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen yang diakibatkan oleh perubahan persentase dari harga barang itu sendiri.

(ELASTISITAS KONSTAN)ELASTISITAS FUNGSI PERMINTAAN HIPERBOLA SAMA SISI FUNGSI UMUM ELASTISITAS NYA ADALA KONSTAN = -m

ELASTISITAS