Teori Antrian Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Situasi kehidupan nyata Menunggu untuk membeli bensin Menunggu untuk naik wahana di Dufan Menunggu utk ambil uang di ATM Menunggu lampu hijau Menunggu … Dll. Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Siapa yang Senang Menunggu? Pelanggan/customer jelas tidak Pengusaha juga tidak Biaya lebih Membutuhkan biaya ruang lebih utk menunggu Kehilangan pelanggan Pelanggan tidak bahagia Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lalu Mengapa Menunggu? Permintaan/demand > Layanan/service yg tersedia Mengapa layanan tdk mencukupi? Tidak ekonomis Tidak ada ruang Kedatangan yg tdk dp diprediksi Pertanyaan menarik untuk pelanggan? Berapa lama saya harus menunggu? Berapa orang dlm barisan? Kapan sebaiknya saya datang utk mendapatkan layanan lebih cepat? Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Masih Menunggu … Pertanyaan menarik utk service provider? Seberapa besar area tunggu? Berapa banyak pelanggan pergi? Apakah sebaiknya teler ditambah? Apakah sebaiknya sistem membentuk 1 atau 3 barisan antrian? Apakah sebaiknya sistem menyediakan jalur cepat? Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Akhirnya … Datang Teori Antrian Menjelaskan fenomena antrian Menunggu dan melayani Memodelkan sistem secara matematis Mencoba menjawab pertanyaan-pertanyaan tadi Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Sistem Antrian Kedatangan utk layanan Menunggu utk layanan Mendapat layanan Meninggalkan sistem Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Sistem Antrian Umum Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Karakteristik Proses Antrian Pola kedatangan Pola layanan Disiplin antrian Kapasitas sistem Jumlah kanal layanan Jumlah tingkat/stages layanan Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Pola Kedatangan Stochastic Kelakuan pelanggan Apakah time dependent? Distribusi probabilitas Kedatangan tunggal/single atau batch Kelakuan pelanggan Pelanggan sabar Menunggu selamanya Pelanggan tidak sabar Menunggu utk suatu perioda waktu dan memutuskan utk pergi Melihat antrian panjang dan memutuskan tdk bergabung Mengubah barisan utk menunggu Apakah time dependent? Pola kedatangan Stationary (time independent – probability distribution) Pola kedatangan Nonstationary Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte). Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Ciri distribusi poisson: Contoh : Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,. Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ciri distribusi poisson: 1. rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya 2. bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar a. probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval b. probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0). c. Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent d. Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain. Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Pola Layanan Distribusi utk waktu layanan Layanan tunggal/single atau batch (mesin paralel) Proses layanan tergantung jumlah pelanggan menunggu (state dependent) Layanan sangat cepat masih memerlukan antrian? Tergantung juga pada kedatangan Mengasumsikan mutually independent Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Disiplin Antrian Cara pelanggan-pelanggan mendapatkan layanan First come, first serve Last come, first serve Random serve Priority serve Preemptive Nonpreemptive Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Kapasitas Sistem Kapasitas terbatas Kapasitas tdk terbatas Ukuran sistem maksimum Kapasitas tdk terbatas Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Jumlah Kanal Layanan Sistem antrian multiserver Single line service Multiple line service Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Tingkat/Stages Layanan Single stage Multiple stages Tanpa feedback (Entrance Exam) Dg feedback (Manufacturing) Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Notasi Antrian A / B / X / Y / Z A : Distribusi waktu antar kedatangan Notasi Kendall (1953) A / B / X / Y / Z A : Distribusi waktu antar kedatangan B : Distribusi waktu layanan X : # kanal layanan paralel Y : Kapasitas sistem Z : Disiplin antrian Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Notasi Antrian A/B/X/Y/Z Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/M/3/∞/FCFS Waktu antar kedatangan exponential Waktu layanan exponential 3 server paralel Ruang tunggu tdk terbatas Disiplin antrian First-Come First-Serve Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/D/1 Waktu antar kedatangan exponential Waktu layanan Deterministic 1 server Ruang tunggu tdk terbatas (default) Disiplin antrian FCFS (default) Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/M/1 M/M/c/k M/M/∞ Ek/M/1 M/G/1 G/M/m G/G/1 Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Sistem Antrian - Dasar G/G/m Waktu antar kedatangan dg distribusi A(t) Waktu layanan dg distribusi B(x) m servers Cn: pelanggan ke-n memasuki sistem Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
PERILAKU BIAYA dua jenis biaya yang timbul PERILAKU BIAYA dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang gambar 10.2 Total Biaya untuk fasilitas pelayanan Dalam sistem antrian ada mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan. Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Single-channel Queuing Model : Poisson distributed Arrivals and exponentially distributed service time Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan: rata-rata jumlah kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu luang dari pelayanan Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
CONTOH 1. Mc Donald memiliki data tingkat kedatangan rata-rata konsumen adalah 0,75 orang per menit dan tingkat layanan rata-rata sebanyak 1 konsumen per menit. Tentukan: Tingkat probabilitas fasilitas layanan sibuk Jumlah rata rata konsumen dalam antrian Jumlah rata rata konsumen dalam sistem Waktu rata rata dalam antrian Waktu rata rata dalam sistem CONTOH 2. Mc Donald memiliki data tingkat kedatangan rata-rata konsumen adalah 10 orang per jam dan tingkat layanan rata-rata sebanyak 6 konsumen per 30 menit. Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Prob tidak unit dalam layanan Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Tingkat probabilitas tidak ada konsumen dalam sistem Contoh. Channel = 2 tingkat kedatangan rata-rata =0,75 konsumen per menit dan tingkat layanan rata-rata per menit = 1 konsumen. Tentukan: Tingkat probabilitas tidak ada konsumen dalam sistem Jumlah rata rata konsumen dalam sistem Rata rata waktu dalam antrian Rata rata waktu dalam sistem Probabilitas unit yang datang harus menunggu Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Contoh. 1 Sebuah perusahaan yang menyewakan furniture mempunyai satu gudang dengan satu mesin pengangkut yang dioperasikan oleh satu kelompok yang terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja. Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Sebuah perusahaan yang menyewakan furniture mempunyai satu gudang dengan satu mesin pengangkut yang dioperasikan oleh satu kelompok yang terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja. Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
0! = 1 Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
What is the probability that the teller is idle? An average of 10 cars per hour arrive at a single-server drive-in teller. Assume that the average service time for each customer is 4 minutes, and both interarrival times and service times are exponential. Answer the following questions: What is the probability that the teller is idle? What is the average number of cars waiting in line for the teller? (A car that is being served is not considered to be waiting in line.) What is the average amount of time a drive-in customer spends in the bank parking lot (including time in service)? On the average, how many customers per hour will be served by the teller? Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
What is the probability that the teller is idle? An average of 10 cars per hour arrive at a single-server drive-in teller. Assume that the average service time for each customer is 4 minutes, and both interarrival times and service times are exponential. Answer the following questions: What is the probability that the teller is idle? What is the average number of cars waiting in line for the teller? (A car that is being served is not considered to be waiting in line.) What is the average amount of time a drive-in customer spends in the bank parking lot (including time in service)? On the average, how many customers per hour will be served by the teller? Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
1 For the present situation, compute L and W. Suppose that all car owners fill up when their tanks are exactly half full.† At the present time, an average of 7.5 customers per hour arrive at a single-pump gas station. It takes an average of 4 minutes to service a car. Assume that interarrival times and service times are both exponential. 1 For the present situation, compute L and W. 2 Suppose that a gas shortage occurs and panic buying takes place. To model this phenomenon, suppose that all car owners now purchase gas when their tanks are exactly three-quarters full. Since each car owner is now putting less gas into the tank during each visit to the station, we assume that the average service time has been reduced to 3 1/3 minutes. How has panic buying affected L and W? Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Machinists who work at a tool-and-die plant must check out tools from a tool center. An average of ten machinists per hour arrive seeking tools. At present, the tool center is staffed by a clerk who is paid $6 per hour and who takes an average of 5 minutes to handle each request for tools. Since each machinist produces $10 worth of goods per hour, each hour that a machinist spends at the tool center costs the company $10. The company is deciding whether or not it is worthwhile to hire (at $4 per hour) a helper for the clerk. If the helper is hired, the clerk will take an average of only 4 minutes to process requests for tools. Assume that service and interarrival times are exponential. Should the helper be hired? Problems in which a decision maker must choose between alternative queuing systems are called queuing optimization problems. In the current problem, the company’s goal is to minimize the sum of the hourly service cost and the expected hourly cost due to the idle times of machinists. In queuing optimization problems, the component of cost due to customers waiting in line is referred to as the delay cost. Thus, the firm wants to minimize Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
Lab. Telematika ITB 2006 hend@telecom.ee.itb.ac.id ET6040 Jaringan Antrian
UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian