VektoR

Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.

Penyajian Vektor Vektor sbg pasangan bilangan u = (a,b) a : komponen mendatar, b : komponen vertikal Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j u = ai + bj Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

Kesamaan Vektor Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka |u| = |v| arah u = arah v a=c dan b=d

Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda Dua vektor sama, a = b a b Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda a b Dua vektor arah sama, besaran beda a b Dua Vektor besar dan arah berbeda

Sifat-Sifat Operasi Vektor Komutatif  a + b = b + a Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Lanjutan .... (mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0

Contoh Sifat Vektor: * Komutatif :

* Assosiatif :

Penjumlahan Vektor v u w = u + v Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

Pengurangan Vektor Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v) Dalam bentuk pasangan bilangan v u u w = u - v -v

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan u + v u v θ u-v v θ u

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan u + v β α u u-v v α β u

Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat

Besar vektor : Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus : Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : Dalil sinus :

Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda :

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut : Penjumlahan vektor dengan komponen

Vektor Ortogonal Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2

Perkalian vektor : Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s. Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : Scalar product berlaku hukum komutatif Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

Menghasilkan vector : Vector Product Dikenal sebagai : Cross Product Dengan besar c adalah : Besaran ditulis jika dan maksimum jika

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor dikenal sebagai hukum tangan kanan.

Penulisan dalam vektor satuan : Hasil akhir :

Latihan soal : Dua buah vektor bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor dua kali vektor dan , hitung ! Jawab :

Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : Dalil Sinus :

Diketahui 3 buah vektor Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z jika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab : Sudut antara dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan arah sumbu z. Sudut antara diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.

Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah: Sehingga diperoleh :