STATISTIKA Jurusan PWK-FT-UB Pertemuan ke-4/2-4,14-16 Dr. Adji Achmad RF, S.Si, M.Sc Statistika, FMIPA, Universitas Brawijaya Malang

Kaidah Dasar menghitung Dalam kombinatorial ada dua kaidah dasar yang digunakan untuk menghitung, yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian (rule of product) Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang dilakukan (percobaan 1 “atau” percobaan 2), maka terdapat m+n hasil jawaban (atau memiliki m +n kemungkinan jawaban) Contoh1: Seorang mahasiswa akan memilih satu mata kuliah yang ditawarkan pagi dan sore. Untuk pagi ada 7 matakuliah dan sore ada 5 matakuliah yang ditawarkan. Maka mahasiswa tadi mempunyai 7+5 pilihan untuk memilih satu matakuliah tersebut.

2. Kaidah Perkalian/Penggandaan (rule of product) Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila kedua percobaan1 “dan” percobaan 2 dilakukan , maka terdapat mxn hasil jawaban (atau memiliki m xn kemungkinan jawaban Contoh 2 Dua dilantunkan berbarengan, berapa jumlah percobaan: 6x6 = 12

Mencacah Titik Contoh Kaidah Penggandaan Umum Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, operasi kedua n2 cara, dan seterusnya, operasi ke-k dalam nk cara, maka k operasi dalam urtan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2....nk cara Jenis nasi, sayur, lauk, minumunan..... ^:^

Mencacah Titik Contoh Kaidah Penggandaan Umum Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, operasi kedua n2 cara, dan seterusnya, operasi ke-k dalam nk cara, maka k operasi dalam urtan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2....nk cara Jenis nasi

Mencacah Titik Contoh Kaidah Penggandaan Umum Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, operasi kedua n2 cara, dan seterusnya, operasi ke-k dalam nk cara, maka k operasi dalam urtan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2....nk cara Jenis sayur

Mencacah Titik Contoh Kaidah Penggandaan Umum Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, operasi kedua n2 cara, dan seterusnya, operasi ke-k dalam nk cara, maka k operasi dalam urtan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2....nk cara Jenis lauk

Mencacah Titik Contoh Kaidah Penggandaan Umum Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, operasi kedua n2 cara, dan seterusnya, operasi ke-k dalam nk cara, maka k operasi dalam urtan tersebut dapat dilakukan dalam n1n2....nk cara Jenis minuman

Pengertian Permutasi suatu susunan data dengan memperhatikan /membedakan urutan. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian. Rumus: Permutasi dari n objek seluruhnya: nPn = n! = n. (n-1).(n-2)…2.1 = n.(n-1)! Permutasi sebanyak r dari n objek: nPr = n!/(n-r)! Permutasi keliling (circular permutation) Sejumlah n objek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam (n-1)! cara 4. Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan:

Ada berapa cara 3 buku dapat diurutkan ? 2. Ada berapa cara 2 dari 4 buku dapat disusun ? 4! 4! 4.3.2.1 4P2 = = = = 4.3 = 12 cara (4-2)! 2! 2.1 3. 4 orang mahasiswa melakukan diskusi dengan membentuk sebuah lingkaran, ada berapa cara urutan dari 4 orang tadi? Jawab : (4-1)! = 3.2.1 = 6 cara 4. Dalam berapa cara kata “diskrit” dapat diurutkan? jawab: 7! 7.6.5.4.3.2! = = 2520 cara 1!2!1!1!1!1! 2!

2. Kombinasi Suatu susunan data tanpa memperhatikan urutannya. n! nCr = r!(n-r)! Contoh: Ada berapa cara akan dipilih 2 orang dari 4 orang siswa? Jawab: 4! 4.3.2! 12 4C2 = = = = 6 2!(4-2)! 2! 2! 2

Notasi dan Terminologi Ruang Contoh : Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan dan dilambangkan dengan huruf S Contoh Perhatikan percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam. Bila kita tertarik pada bilangan yang muncul, ruang contohnya adalah S1 = 1,2,3,4,5,6} Bila kita tertarik pada apakah bilangan yang muncul genap atau ganjil ruang contohnya adalah S2 = genap, ganjil Sebuah percobaan pelemparan dua koin dan pengamatan pada sisi mana yang muncul, ruang contohnya adalah S ={GG, GA, AG, AA}. Dimana G melambangkan yang muncul adalah Gambar sedangkan A melambangkan yang muncul adalah Angka

Kejadian : Suatu himpunan bagian dari ruang contoh Kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = hati yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S = hati, sekop, klaver, wajik. Kejadian B yaitu terambilnya kartu merah, B = hati, wajik Pada percobaan pelemparan 2 koin, E = {GG, GA} adalah kejadian bahwa pada koin pertama muncul Gambar. Sedangkan kejadian F = {GA, AA} adalah kejadian pada koin kedua muncul Angka

Kejadian Sederhana : adalah suatu kejadian yang dapat dinyatakan sebagai suatu himpunan yang hanya terdiri dari satu titik contoh. Kejadian majemuk : adalah suatu kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa kejadian sederhana

Contoh Pada contoh pelemparan dua koin dengan S ={GG, GA, AG, AA}, kejadian munculnya Gambar pada koin pertama dan Gambar pada koin kedua adalah kejadian sederhana yang dapat dilambangkan dengan A = {GG}. Kejadian munculnya Gambar pada koin pertama adalah kejadian majemuk yang dapat dilambangkan dengan B = {GG, GA}

Pengolahan Kejadian Irisan dua kejadian (AB) : adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan kejadian B Gabungan dua kejadian (AB) : adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya Komplemen suatu kejadian (Ac) : adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A

Contoh Misalkan A = 1,2,3,4,5 dan B = 2,4,6,8; maka AB = 2,4 Bila R adalah himpunan semua pembayar pajak dan S adalah himpunan semua orang yang berusia di atas 65 tahun, maka RS adalah himpunan semua pembayar pajak yang berusia di atas 65 tahun Jika A = 2,3,5,8 dan B = 3,6,8, maka AB = 2,3,5,6,8

Jika M = x|3<x<9 dan N = y|5<y<12, maka MN = z|3<z<12 Misalkan S = buku, anjing, rokok, uang logam, peta, perang. Jika A = anjing, perang, buku, rokok maka Ac = uang logam, peta Misalkan K adalah kejadian terambilnya kartu merah dari seperangkat kartu bridge dan S adalah ruang contohnya yang berupa seluruh kartu tersebut. Maka Kc adalah kejadian terambilnya kartu bukan merah, yang berarti juga terambilnya kartu hitam.

Definisi berdasar pendekatan aksiomatik modern Misalkan sebuah percobaan dengan ruang contoh S. Untuk setiap kejadian E dari ruang contoh S diasumsikan P(E) terdefinisi dan memenuhi tiga aksioma berikut : Aksioma 1 : 0  P(E)  1 Aksioma 2 : P(S) = 1

Contoh Dalam percobaan pelemparan koin, jika kita mengasumsikan bahwa peluang munculnya Gambar dan Angka sama besar, maka P({G}) = P({A}) = ½. Tetapi jika kita mengasumsikan bahwa koin tersebut tidak setimbang sehingga peluang munculnya Gambar adalah dua kali peluang muncul Angka, maka P({G}) = 2/3 dan P({A}) = 1/3 Jika sebuah dadu bermata 6 dilemparkan dan misalkan peluang munculnya tiap sisi adalah sama, maka P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1/6. Dari aksioma 3, kita akan dapat mengetahui peluang kejadian munculnya mata dadu genap adalah P({2,4,6}) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

Diasumsikan bahwa semua hasil dalam ruang contoh mempunyai peluang terjadi yang sama. Misalkan suatu percobaan dengan ruang contoh terbatas, S = 1,2,…,N, maka diasumsikan P1= P2=…= PN sehingga P(i) = 1/N dan P(E) = banyaknya titik dalam E/ banyaknya titik dalam S

Contoh Dalam pelemparan dua koin, ruang contohnya adalah {GG, GA, AG, AA}. Sehingga masing – masing titik contoh memiliki peluang ¼ untuk terjadi. Peluang terjadinya kejadian A yaitu munculnya Gambar pada koin pertama 2/4 karena kejadian A mengandung dua titik contoh. Dalam kejadian pelemparan dua dadu, terdapat 36 titik contoh dalam ruung contohnya sehingga masing – masing titik contoh mempunyai peluang 1/36 untuk terjadi. Kejadian C yaitu kejadian penjumlahan mata dadu yang keluar adalah tujuh mengandung 6 titik contoh yaitu (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) dan (6,1). Sehingga peluang kejadian C adalah 6/36 = 1/6.

Soal - soal 1. Sebuah koin dilempar tiga kali dan sisi apa yang muncul diamati (Gambar atau Angka) Daftarkan ruang contohnya. Daftarkan unsur yang menyusun kejadian A = kejadian muncul sedikitnya dua Gambar, kejadian B = kejadian muncul Gambar pada dua koin pertama dan C = kejadian muncul Angka pada pelemparan terakhir Hitung P(A), P(B), dan P(C)

2. Dari 5 orang laki – laki dan 4 orang perempuan akan dipilih 3 orang sebagai wakil dari suatu partai yang akan dikirim untuk menghadiri suatu konferensi. Berapa peluang yang terpilih adalah (a) ketiganya laki – laki (b) ketiganya perempuan dan (c) 1 laki – laki dan 2 perempuan