KONSEP DASAR PROBABILITAS

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok). Factorial = n! Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek). Permutasi nPr = n!/ (n-r)! Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

Contoh :  

Perusahaan memiliki 12 mobil untuk distribusi produk, garasi yg dimiliki perusahaan hanya cukup untuk 5 mobil, berapa kemungkinan susunannya jika urutan diperhatikan? berapa kemungkinan susunannya jika urutan tidak diperhatikan?

Pengantar : Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

Konsep dan definisi dasar Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Peristiwa/kejadian (A) adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel n(A).

Contoh eksperimen pengambilan bola dalam kotak dimana kesepuluh bola yang ada diberi nomor 1- 10. Ruang sampel disimbolkan dengan S = {1,2,3,…,10}. Jika A merupakan himpunan bola bernomor prima, maka A = {2,3,5,7} yg merupakan subset dari S dan A merupakan kejadian dalam ruang sampel S.

Ruang Sampel Diskrit dan Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu bila anggotanya berada dalam interval. Contoh S = {x|10<x<11}, S = {x|x>0} Ruang sampel diskrit bila anggotanya terhitung. Contoh S = {rendah,tinggi,sedang}, S = {2,4,6,8,10}

Diagram Pohon (Tree Diagrams) Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham Probabilitas bersama Diagram Pohon Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa Probabilitas Bersyarat 1 x 0,6 x 0,35 = 0,21 BCA 0,35 Jual BLP 0,40 1 x 0,6 x 0,40 = 0,24 BNI 0,25 1 x 0,6 x 0,25 = 0,15 0,6 1 BCA 0,35 1 x 0,4 x 0,35 = 0,14 Beli BLP 0,40 1 x 0,4 x 0,40 = 0,16 0,4 BNI 0,25 1 x 0,4 x 0,25 = 0,10 0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0 Jumlah Harus = 1.0

KASUS: suatu pesan penting akan dikirimkan kepada pimpinan dengan cara berantai. Orang pertama akan mengirimkan ke orang kedua, orang kedua mengirim pesan ke orang ketiga dan orang ketiga akan langsung menyampaikan pesan ke pimpinan. Jika sifat pengiriman pesan dari orang 1 ke orang berikutnya adalah terlambat atau on time, untuk memudahkan pendataan ruang sampel dapat terlebih dahulu membuat diagram pohon

Diagram pohon Jadi S = {(o,o,o),(o,o,l),(o,l,o),(o,l,l),(l,o,o),(l,o,l),(l,l,o),(l,l,l)}

Soal Latihan Berdasarkan hasil penelitian ternyata bahwa mahasiswa pria hanya 40% dari total jumlah mahasiswa di Jakarta. Berdasarkan pada tingkat kelulusan ternyata mahasiswa wanita 90% lulus tepat waktu, dan 80% mencapai IPK di atas 3,0. Sedang mahasiswa pria yang lulus tepat waktu hanya 40% dan IPK di atas 3,0 hanya 50%. Hitunglah: Berapa persen, mahasiswa pria lulus tidak tepat waktu dan IPK di bawah 3,0? Berapa peluang mahasiswi lulus tepat waktu dan IPK di atas 3,0?

1 P(C) =0,9 Mahasiswi P(A) =0,6 P(D) =0,1 Lulus Tepat P(E) =0,4 Mahasiswa P(B) =0,4 Lulus Tepat P(E) =0,4 Lulus Tidak Tepat P(F) =0,6 IPK>3,0 P(M) =0,5 P(K) =0,5 IPK<3,0 P(J) =0,2 P(L) =0,5 P(N) =0,5 Mahasiswi P(A) =0,6 P(C) =0,9 P(D) =0,1 P(G) =0,8 P(H) =0,2 P(I) =0,8

Peluang mahasiswa lulus tidak tepat waktu di bawah 3,0 P(N|F|B) = 0,4 x 0,6 x 0,5 = 0,12 Peluang mahasiswi lulus tepat waktu dengan IPK di atas 3,0: P(G|C|A) = 0,6 x 0,9 x 0,8 = 0,432

Union (gabungan), Intersection (Irisan) dan Complement (Komplemen)  

Kasus Probabilitas Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak. Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8. Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.

Definisi probabilitas Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :

Sifat-sifat probabilitas kejadian A : 0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

Contoh (1): Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah

Contoh (2): Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat (a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

Probabilitas kejadian majemuk (1): Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

Probabilitas kejadian majemuk (2): Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :

Contoh : Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut? Jawab : Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka : Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah : P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36

Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau mutually exclusive): Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku : Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :

Contoh : Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab : Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)} Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah : P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36

Dua kejadian saling komplementer: Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :

Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama. Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36 Sehingga, Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36

Dua kejadian saling bebas (independent): Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

Contoh: Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½ = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½ = {(m,m), (b,m)} A  B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m,m)}  P(A  B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A  B) = P(A). P(B) ¼ = ½ . ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas.

Latihan: Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada gambar di bawah tersusun atas tiga tingkat. Sistem ini akan bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing berjalan baik. Diketahui P(A) = 0,7; P(B) = 0,7 ; P(C ) = 0,9 ; P(D) = 0,8 ; P(E) = 0,6 ; P(F) = 0,6 ; dan P(G) = 0,6. Hitunglah probabilitas sistem berjalan dengan baik.

Jawab: P(T1) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = 0,7 + 0,7 – (0,7)(0,7) = 0,91 P(T2) = P(C  D) = P(C).P(D) = (0,9)(0,8) = 0,72 P(T3) = P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(E).P(F) – P(E).P(G) – P(F).P(G) + P(E).P(F).P(G) = 0,6 + 0,6 + 0,6 – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) + (0,6)(0,6) (0,6) = 0,936 Jadi, P(sistem berjalan baik) = P(T1  T2  T3) = P(T1).P( T2).P( T3) = (0,91).(0,72).(0,963) = 0,613. Artinya sistem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3% kemungkinan dapat berjalan dengan baik.

Probabilitas bersyarat (conditional probability): Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

Contoh (1): Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak? Jawab : Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak B = kejadian sekering kedua rusak Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B) P(A  B) = P(A). P(BA) = 5/20 . 4/19 = 1/19

Contoh (2): Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

Jawab: Responsen J S Jumlah R 20 40 60 W 30 10 50 100 Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

Aturan Bayes : Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. S A1 A2 A3 B

probabilitas kejadian B adalah : P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3) = disebut Hukum Probabilitas Total

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut : disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh: Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

Jawab P(bola yang terambil berwarna merah) = P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

Soal 1: Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola : Merah Tidak biru Merah atau putih

Soal 2: Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui : Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik wanita 3 orang, , dan Sarjana ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita 4 orang Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita? Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik? Hitunglah P(AB). Hitunglah P(AB).

Soal 3: Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih, seperti yang dituliskan dalam tabel di bawah ini Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil 1 bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih. Berapa peluang bahwa bola itu merah ? Berapa peluang bahwa bola itu putih ? Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1? Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2? Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Jumlah Bola merah 5 7 8 20 Bola putih 4 3 9 16 10 17 36

Soal 4 Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem yang saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem tersebut terlihat dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi dan sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak bergantung satu sama lain dan juga pada komponen A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9 dan masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem mekanik tersebut berfungsi dengan baik. A B1 B2 Input Output

Soal 5 Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2. Kapasitas produksi mesin pertama adalah 30% dan mesin kedua adalah 70%. 40% dari produksi mesin pertama menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Sedangkan 50% dari mesin kedua menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Apabila dipilih secara random sebuah produksi, berapa probabilitas: Produk yang terambil menggunakan komponen lokal Bila diketahui produk yang terambil menggunakan komponen lokal, berapa probabilitas produk tersebut dari mesin pertama.