FUNGSI REF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed. 2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.

PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. A B

ILUSTRASI FUNGSI A f B Input Kotak hitam Output Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B dise- but bayangan(image) dari a. Himpunan Rf:= { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.

GRAFIK FUNGSI Misalkan f: A  B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a ∈ A} Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: B A

CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1. 2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|. 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A  B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4. 6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

FUNGSI FLOORING dan CEILING Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌊ x ⌋. Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌈ x ⌉. CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling: ⌊0.5⌋ = 0, ⌈0.5⌉ = 1, ⌊-0.5⌋ = -1, ⌈-0.5⌉ = 0 ⌊3.1⌋ = 3, ⌈3.1⌉ = 4, ⌊ 6 ⌋ = 6, ⌈ 6 ⌉ = 6. Grafik flooring Grafik ceiling

SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING ⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1 ⌈x⌉ = n bila n-1< x < n ⌊x⌋ = n bila x-1 < n ≤ x ⌈x⌉ = n bila x ≤ n < x+1 x-1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x+1 ⌈-x⌉ = - ⌊x⌋ ⌊-x⌋ = -⌈x⌉ ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n ⌈x+n⌉ = ⌊x⌋ + n

CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte. CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu ⌊300,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x  y → f(x)  f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: ∀x ∀y [f(x) = f(y)  x = y] atau ∀x ∀y [x  y → f(x)  f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x  y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. A B A B satu-satu tidak satu-satu

CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif. CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x2 satu-satu ? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu. CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh x + 5 ≠ y + 5  g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: ∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y maka f tidak surjektif. A B A B kepada tidak kepada

CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif ? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif. CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3  x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A. CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif. A B fungsi bijektif

INVERS FUNGSI Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL, y = f(x) ↔ x = f -1 (y) Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel. f(a) b=f(a) f -1(b)=a A B f -1(b)

CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D. ⊂ g f A B C f◦g