MATEMATIKA MODUL 8 Oleh UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA 2012 Priyono FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA 2012 ‘12 Matematika Bisnis Proyono, SE. ME. Pusat Bahan Ajar dan Elearning Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id

dx 1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Kuosien diferensiy/x tak lain adalah lereng dari kurva y = f (x). Sedangkan derivatif dy/dx adalah lim (y/x) untukx→0. Jikax sangat kecil, lim (y/x) =y/x itu sendiri,dengan perkataan lain derivatif fungsi yang x→0 bersangkutan sama dengan kuosien diferensinya (dy/dx =y/x). jadi untuk x yang sangat kecil, derivatif juga mencerminkan lereng dari kurva y = f(x). Uraian mengenai diferensial berikut ini akan semakin memperjelas makna tentang derivatif, serta mempertajam pemahaman akan ketiga konsep yang saling berkaitan: kuosien diferensi, derivatif, dan diferensial. Notasi derivatif dy/dx sesungguhnya terdiri atas dua suku, yaitu dy dan dx. Suku dy dinamakan diferensial dari y, sedangkan dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x (dx) mencerminkan perubahan sangat kecil pada variable bebas x. Diferensial dari x: dx = x Adapun diferensial dari y (dy) mencerminkan taksiran perubahan pada variable terikat y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variable bebas x. Diferensial dari variable terikat sebuah fungsi sekaligus merupakan diferensial dari fungsi yang bersangkutan, yakni hasil kali dari derivatifnya terhadap perubahan pada variable bebas. dy Diferensialdari y : dy _____ dx dx Berdasarkan penjelasan mengenai masing-masing dx dan dy di atas, maka derivatif dy/dx tak lain adalah lereng taksiran ( approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. Lereng yang sesungguhnya (the true slope) adalah kuosien diferensi y/ x. Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) dari,atau lebih kecil(underestimated) dari atau sama dengan lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung dari jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas. Untuk fungsi y = f (x) yang linier,lereng taksiran selalu sama dengan lereng sesungguhnya, berapapun x. Dengan perkataan lain derivatif fungsi linear tak lain ‘12 Matematika Bisnis Proyono, SE. ME. Pusat Bahan Ajar dan Elearning Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id 2

6x(∆x) + 3 (∆x)² ∆x dx dx = 6x (x) + 3 (x)² ∆y 6x(∆x) + 3 (∆x)² ∆x = Proses penurunan fungsi ini disebut diferensiasi. Limit dari suatu kuosien diferensi disebut derivative atau turunan. Sehingga, Jika Y = 3 x² Maka kuosien diverensinya ∆y 6x(∆x) + 3 (∆x)² ∆x = ∆x = 6x + 3 ∆x Dan derivative atau turunan fungsinya limit ∆x →0 ∆y ∆x 6x(∆x) + 3 (∆x)² = ∆x ∆y ∆x = 6x + 3 ∆x =6x Cara menuliskan turunan dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi atau lambang. Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat dituliskan Limit ∆x →0 ∆y = y’ = f’ (x) = yx = fx (x) = dy = df (x) = ∆y ∆x dx dx ∆x 2. DERIVATIF DARI DERIVATIF Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya. Fungsiawal : y = f(x) Turunan pertama : dy d f(x) : y’ = f ‘ (x)= ___ = ____ dx d2 y Turunan kedua : y’’ = f’’ (x) = ____ = ______ dx2 d3y Turunan ketiga : y’’’= f’’’(x) = ____ = ______ dx3 dx d2 f(x) dx2 d3f(x) dx3 ‘12 Matematika Bisnis Proyono, SE. ME. Pusat Bahan Ajar dan Elearning Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id 4