PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER STATISTIK (ESA 310) PERTEMUAN 3 <TEAM DOSEN> PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER

VISI DAN MISI UNIVERSITAS ESA UNGGUL

Materi Sebelum UTS 01. Pengertian dan Deskripsi Data 02. Probabilitas 03. Distribusi Probabilitas: Peubah acak diskrit 04. Distribusi Probabilitas: Peubah acak kontinu 05. Distribusi Sampling 06. Estimasi 07. Hipotesis

Materi Setelah UTS 08. Analysis of Variance 09. Regressi dan Korelasi Sederhana 10. Regressi dan Korelasi Ganda 11. Distribusi Chi-Square dan analisis frekuensi 12. Statistik non-Parametrik 13. Statistik Parametrik dengan SPSS 14. Statistik uji komparatif dan asosiatif dengan SPSS

03 Distribusi Probabilitas: Peubah acak diskrit Tujuan: Memahami ditribusi probabilitas diskrit dan kontinu

Peubah acak (Variabel Random) Variabel random diskrit: Suatu variabel random yang hanya dapat menjalani harga-harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilangan bulat) Variabel random kontinu: Suatu variabel random yang dapat menjalani setiap harga dalam suatu interval (tak berhingga banyaknya) Distribusi Peluang: Model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluang dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, atau grafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagai frekuensi relatif jangka panjang.

PERUMUSAN PROBABILITAS 1. PERUMUSAN KLASIK : Bila kejadian E (EVENT) terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi, maka probabilitas dari E = P(E): m/n (asumsi: setiap kejadian contoh memiliki peluang muncul yang sama) Contoh 1: * jika sebuah uang logam dilemparkan, berapa peluang (probabilitas) munculnya sisi muka? muka=m, belakang=b, n=2; P(m) = P(b) = ½ * Jika sebuah dadu dilempar, berapa peluang munculnya salah satu muka? P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

Definisi dan Contoh Var random X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R X : S  R Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kali S = {SS, SB, BS, BB} X : VR Banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2} BB SB BS SS 1 2 R X S

Peluang dan Variabel Random

Peluang dan Variabel Random

Variabel Random Distribusi Peluang Diskret Contoh Distribusi banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan mata uang logam tiga kali.

Variabel Random Distribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas) Contoh Fungsi densitas suatu variabel random X

Variabel Random

Variabel Random

Variabel Random Dua Variabel Random Ada dua variabel random yang diamati bersamaan dalam suatu eksperimen. Contoh: Sebuah mata uang logam dilemparkan tiga kali. X: banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama Y : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga Distribusi peluang untuk dua variabel random disebut sebagai distribusi peluang bersama

Peluang dan Variabel Random

Variabel Random

Variabel Random

Diagram karakteristik perbedaan probabilitas diskrit dan kontinu

VARIABEL RANDOM DALAM STATISTIKA BERNOULLI BINOMIAL MULTINOMIAL GEOMERIK HIPERGEOMETRIK POISSON DISKRIT: VARIABEL RANDOM KONTINU NORMAL UNIFORM KONTINU BETA GAMMA EXPONENTIAL WEIBULL CAUCHY DOUBLE EXPONENTIAL

Distribusi Variabel Random Diskrit Eksperimen Bernoulli Eksperimen dengan hanya dua hasil yang mungkin Contoh melempar mata uang logam satu kali Mengamati telur ayam, apakah anak ayam itu jantan atau betina Mengamati kedelai yang ditanam, tumbuh atau tidak Reaksi obat pada tikus, positif atau negatif

Distribusi Variabel Random Diskret Sifat-sifat Eksperimen Bernoulli tiap usaha (trial) menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin, dinamakan sukses (S) dan gagal (G); peluang sukses, P(S) = p dan peluang gagal P(G) = 1 − p, atau P(G) = q; usaha-usaha tersebut independen

Distribusi Variabel Random Diskret

Distribusi Variabel Random Diskret

Ada x kejadian sukses dengan peluang px dan n-x kejadian sukses gagal dengan peluang (1-p)n-x

Distribusi Variabel Random Diskret dan Kontinu

Distribusi Variabel Random Diskret dan Kontinu

Contoh (Distribusi Binomial) Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalah banyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut. Tentukan probabilitas munculnya muka Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah muka muncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 dan p = 1/2 dengan distribusi peluang:

Lambang X~Bin(n;p) n parameter banyaknya percobaan P adalah parameter peluang sukses ~ simbol untuak distribusi E(X) = np ; rata-rata (mean) nilai X V(X) = npq ; besarnya variansi Contoh Dari lima saham yang diperdagangkan berapakah peluang : Tepat saham A dan B akan naik Lebih dari 3 saham naik X = jumlah saham naik ; p = 0.5 (fifty-2) X~Bin(5;0.5) ; E(X) = 2.5 P(2 saham naik ) = P(X>=3) = 1-P(X<=2) Memakai tabel binomial kumulatif

Dengan menunjukkan bahwa X = banyaknya yang mendapat nilai A Contoh : jika diamati 15 orang mahasiswa, berapakah probabilitas 9 orang dengan nilai A ? Berapakah rata-rata yang mendapat nilai A ? Dengan menunjukkan bahwa X = banyaknya yang mendapat nilai A adalah variabel random binomial dengan n = 15 dan p = dihitung langsung menggunakan tabel distribusi binomial

Distribusi Variabel Random Diskrit Eksperimen hipergeometrik: Dalam populasi berukuran N sebanyak k dinamakan sukses sedangkan sisanya N − k dinamakan gagal Sampel berukuran n diambil dari N benda Cara pengambilan sampel tanpa pengembalian

Contoh (Distribusi Hipergeometrik) Suatu kotak berisi 40 suku cadang dengan 3 rusak. Sampel berukuran 5 diambil sekaligus dari kotak. Pengambilan sampel ini adalah suatu eksperimen hipergeometrik dengan X adalah banyaknya suku cadang rusak, N = 40, n = 5 dan k = 3 dengan distribusi peluang:

Distribusi Poisson Var X~Pois(µ) Contoh X = jumlah kejadian tertentu dalam satuan unit waktu atau ruang µ = rata-rata kejadian E(X) = V(X) = µ Contoh Banyaknya telepon dalam periode tertentu Banyaknya pelanggan pada counter Banayknya kcelakaan Banyaknya mesin rusak dll Sifat-sifat eksperimen Poisson: banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh (bebas) dari apa yang terjadi pada interval waktu atau daerah yang lain, Statistics UEU 2017

peluang terjadinya sukses dalam interval waktu yang singkat atau daerah yang sempit sebanding dengan panjang interval waktu, atau luas daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut, peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang singkat atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan. X ~ Binomial(n, p) Bila n besar dan n kecil, Binomial(n, p) → Poisson(λ), dengan λ = np X adalah banyaknya sukses dalam eksperimen Poisson, yang mempunyai distribusi probabilitas Mean dan Variasi

Contoh (Distribusi Poisson) Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu counter selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Peluang 6 partikel melewati counter dalam suatu milidetik tertentu adalah

Distribusi Normal dengan mean E(X) = μ dan variansi Var(X) = σ2 (ditulis N(μ, σ2 ) mempunyai fungsi peluang, fumgsi probabilitas:  = 3, 141593 . . . Dan e = 2, 718282 . . . Distribusi Normal standar: distribusi Normal dengan mean 0 dan variansi 1, ditulis N(0, 1) Transformasi diperoleh distribusi normal yang khusus sehingga tabelnya efisien

Tabel normal standart zo Z zo 1 2 … 7 8 9 0,0 0,5000 0,5004 0,5080 Z zo 1 2 … 7 8 9 0,0 0,5000 0,5004 0,5080 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5348 0,5478 0,5675 0,5714 0,5754 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,6064 0,6103 0,6141 . 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8980 0,8997 0,9015 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9972 0,9973 0,9974

Luasan di bawah Kurva Normal Contoh 2: Distribusi Normal dengan mean μ = 60 dan deviasi standar σ = 12, N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 60 sampai 76

Luasan di bawah Kurva Normal

Luasan di bawah Kurva Normal: Simetris terhadap rata-rata µ Rata-rata = median = modus σ sebagai titik belok kurva: 34 % data dalam jarak 1 σ 68 % data dalam jarak 2 σ 97 % data dalam jarak 3 σ

Pendekatan Normal untuk Binomial Teorema Bila X adalah variabel random binomial dengan mean μ = np dan variansi σ2 = npq, maka untuk n besar merupakan variabel random normal standar.

Pendekatan Normal untuk Binomial Binomial(n = 10, p = 0, 5) → Normal

Pendekatan Normal untuk Binomial Binomial(n = 100, p = 0, 5) → Normal

Distribusi Exponential P(waktu kedatangan < X ) = 1-e-λX ; X>0 X : Sebarang nilai dari variabel random X Λ : rata-rata jumlah kedatangan perunit waktu 1/λ : rata-rata waktu antar kedatangan Contoh : Sopir datang di jembatan tol, Nasabah datang pada mesin ATM Contoh : Kedatangan customer 30 per jam. Berapa peluang waktu kedatangan antar customer lebih dari 5 menit ? Λ = 30 f(X) X  = 0.5  = 2.0

Soal: Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalah banyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut. Tentukan Probabilitas (distribusi Binomial) munculnya muka tidak 2 kali. Rata-rata banyaknya kecelakaan disuatu persimpangan jalan raya adalah 2 per minggu. Anggap mengikuti poisson, tentukan: Peluang tidak ada kecelakaan selama 1 minggu Peluang paling banyak 3 kecelakaan dlm 2 minggu Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secara nasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dan deviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yang akan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yang diterima?

Diketahui N(0, 1), hitunglah P(Z ≥ 1, 5).

Kesimpulan: Distribusi Peluang merupakan Model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluang dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, atau grafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagai frekuensi relatif jangka panjang. Distribusi peluang dari variabel acak bisa distribusi diskrit maupun kontinu.

KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN Mahasiswa mampu menguasai konsep distribusi probabilitas

Daftar Pustaka Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers and Keying Ye, 2007, Probabilitiy and Statistics for Engineers and Scientists, 8th edition, Pearson Prentice Hall. Sharma, Subhash, 1996, Applied Multivariate Techniques, John Willey & Son, Inc., USA. Johson & Wichern, 2007, Applied multivariate statistical analysis, Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. J. Supranto, M.A. ,2001, Statistika Teori dan Aplikasi, Erlangga, Jakarta. Douglas C. Montgomery, George C. Runger, 2003, Applied Statistic and Probability for Engineer, third edition, John Wiley and Son Inc. Singgih Santoso, 2014, Panduan Lengkap SPSSversi 20, Alex Media Komputindo.