FTI Universitas Mercu Buana Yogya Matematika Diskrit Rev 2014 Induksi Matematika FTI Universitas Mercu Buana Yogya Matematika Diskrit Rev 2014

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.   Contoh : p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”. Buktikan p(n) benar!

Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.   Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah- langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Prinsip Induksi Sederhana. Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1.    p(1) benar, dan 2.  jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat positif n  1,

Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.   Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Induksi matematik berlaku seperti efek domino.

Prinsip Induksi yang Dirampatkan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n  n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n0) benar, dan 2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n  n0,

Latihan Contoh 3. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen, banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2n.

Latihan Contoh 6. Sebuah ATM (Anjungan Tunai Mandiri) hanya menyediakan pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000, -. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan jawaban anda dengan induksi matematik.

Prinsip Induksi Kuat Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n  n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1. p(n0) benar, dan 2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n  n0,.

Contoh 8. [LIU85] Teka-teki susun potongan gambar (jigsaw puzzle) terdiri dari sejumlah potongan (bagian) gambar (lihat Gambar). Dua atau lebih potongan dapat disatukan untuk membentuk potongan yang lebih besar. Lebih tepatnya, kita gunakan istilah blok bagi satu potongan gambar. Blok-blok dengan batas yang cocok dapat disatukan membentuk blok yang lain yang lebih besar. Akhirnya, jika semua potongan telah disatukan menjadi satu buah blok, teka-teki susun gambar itu dikatakan telah dipecahkan. Menggabungkan dua buah blok dengan batas yang cocok dihitung sebagai satu langkah. Gunakan prinsip induksi kuat untuk membuktikan bahwa untuk suatu teka-teki susun gambar dengan n potongan, selalu diperlukan n – 1 langkah untuk memecahkan teki- teki itu.

Soal iini untuk Latihan di rumah Buktikan dengan induksi matematik bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk n bilangan bulat positif. Hal 170 (2) Buktikan bahwa : n4 - 4n2 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat lebih dari sama dengan 2. 3 .50+3.51+3.52+…+3.5n=3(5 n+1-1)/ 4 untuk n lebih dari 0

Soal ini Tugas Elearning -22

No Soal yang dikerjakan Pembagian Nomer Soal No NIM No Soal yang dikerjakan 1 12111074 3 2 13111054 4 13111099 5 13111101 6 13111104 7 13111105 8 13111107 13111108 9 13111109 10 13111111 11 13111113 12 13111114 13 13111115 14 13111119 15 14111001 16 14111002 17 14111005 18 14111006 19 14111009 20 14111010 21 14111012 5 7 22 14111019 6 8 23 14111020 1 24 14111022 2 25 14111023 3 26 14111025 4 27 14111026 28 14111033 29 14111036 30 14111038 31 14111040 32 14111052 33 14111053 34 14111082 35 14111086 36 14111091 37 14111094 38 14111095 39 14112018 40 14112087 41 13122038 1 4 42 13122040 2 5 43 14121005 3 6 44 14121015 7 45 14121019 8 46 14121029 47 14121043 48 14122008 49 14122009 50 14122040

Pengumpulan Tugas Mengerjakan Minimal 2 Nomor saja, Tugas di Kumpul maksimal 4 hari setelah tanggal Kuliah. Dikirm via email ke immshj@gmail.com Subject : 22-Diskrit13-Nama Jawaban boelh diketik atau Ditulis tangan dan di Foto/Scan bentuk file JPG. Terima Kasih

Rereferensi Buku Matematika diskrit Rinaldi Munir BAB IV Materi Presentasi UPN Yk