Key word Sebutkan 3 hukum penjumlahan prob? Apa pengertian mutual ekslusif: Sebutkan proses dalam prob? Prob dinyatakan dalam anggka pecahan berapa? Jelaskan Hukum perkalian digunakn untuk? 3 konsep dasar perhitungan prob?

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET

BAGIAN II Probabilitas dan Distribusi Probabilitas Diskret OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Pengertian Distribusi Probabilitas Distribusi Probabilitas Binomial Distribusi Probabilitas Hipergeometrik Distribusi Probabilitas Poisson

PENDAHULUAN Definisi: Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa. Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa. Distribusi pro:sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan prob masing-masing event Contoh Kasus: Ada 3 investor yang akan membangun perkebunan kelapa sawit di jambi. Jumlah lokasi di kab muara jambi ada 2 yaitu mendalo dan sengeti. Ketiga investor tersebut bebas memilih lokasinya, di mendalo atau disengeti semua, atau di sengeti DAN mendalo. Berapa kemungkinan dari pilihan ketiga investor tersebut?.

Contoh Dari perhitungan prob ada 8 kemungkinan tersebut, dapat probabilitas INVESTOR JUMLAH Lokasi Sengeti 1 Kumpeh ulu 2 Sengeti 3 4 5 6 7 8 sengeti Dari perhitungan prob ada 8 kemungkinan tersebut, dapat Disusun distribusi probabilitasnya.

Perhitungan probabilitas 3 lokasi JUMLAH Lokasi Sengeti di pilih investor Jumlah frekuensi Total kemungkinan Distribusi proba hasil (Pr) 1 8 1/8 0.125 3 3/8 0.375 2 Jumlah total distribusi 1.000 Dari perhitungan prob ada 8 kemungkinan tersebut, dapat Disusun distribusi probabilitasnya.

Grafik poligon

VARIABEL ACAK (RANDOM) Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda (Bilagan Real) Variabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval.(nilainya bilangan bulat dari perhitungan) Variabel acak kontinue Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang menempati seluruh titik dalam suatu interval (hasil pengukuran)

Fungsi Prob Var Random Jika X suatu var Random, maka fungsi Prob dari X =p(x) jika X Diskrit, atau f(x) jika x Kontinu, yaitu fungsi yang memenuhi syarat berikut: p(x) ≥0 , x diskrit f(x) ≥0 , x kontinu 2. ∑ p(x) = 1 , x diskrit ∫ f(x)dx = 1 , x kontinu Fungsi distribusi: F (x) = P (X ≤x= ∑ p(x) , x diskrit F (x) = P (X ≤x)=∫ f(x) dx , x kontinu

Contoh Pada pertandingan sepak bola, jumlah gol yang di cetak adalah variabel random diskrit.Sedangkan waktu yang diperlukan untuk mencetak gol adalah variabel random continue.

VARIABEL ACAK DISKRIT DALAM SEBUAH TABEL DISTRIBUSI PROB JUMLAH PELUANG SELALU SAMA DENGAN SATU, MAKA VAR DISKRIT SUDAHA TERBENTUK. SEHINGGA VAR ACAK DISKRIT MENENTUKAN DIST PROB APABILA: NILAI X= x1, x2...xn TERDAPAT PELUANG P(xi)=P(X=xi) SEHINGGA: Rumus 1: peluang diskrit n ∑ P( xi ) = 1 Xi P(x)= Fungsi Prob Untk Var X acak pada harga X=x

Expectasi sebuah variabel acak diskrit Rumus 2: ekspektasi var diskrit acak ε (X) = ∑xi . p(xi) Contoh: Pengamatan terhadap banyak kendaraan yang melalui tikungan setiap menit. Banyak kendaraan 1 2 3 4 5 6 7 8 Prob 0,01 0,05 0,10 0,28 0,22 0,18 0,08 0,03 Prob dalam 1 menit paling sedikit ada 3 kendaraan yang lewat = 1-(0,01+0,05+0,10=0,84. Dengan rumus 2 di peroleh bahwa rata-rata tiap menit kendaraan Lewat sebanyak: (0)(0,01)+(2)(0.05)+....(8)(0.03)= 3,94 /100 menit

RATA-RATA HITUNG, VARIANS DAN STANDAR DEVIASI = E(X) = (X.P(X)) Varians 2= (X - )2 .P(X) =  2 Standar Deviasi

RATA-RATA HITUNG, VARIANS DAN STANDAR DEVIASI   Standar deviasi =  = 2 =0,75 = 0,87 (penyimpangan dari nilai tengahnya) X P(X) X.P(X) X-  (X- )2 (X- )2P(X) 0,125 0,000 -1,50 2,25 0,28 1 0,375 -0,50 0,25 0,09 2 0,750 0,50 3 1,50  = 1,500   2 = 0,75

BAGIAN II Probabilitas dan Distribusi Probabilitas Diskret OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Pengertian Distribusi Probabilitas Distribusi Probabilitas Binomial Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Probabilitas Hipergeometrik Distribusi Probabilitas Poisson Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL Ciri-ciri Percobaan Bernouli: Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian: (a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain. Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1. Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas. Data yang dihasilkan adalah data perhitungan. Prinsip pengembalian.

PERCOBAAN BERNOULLI Bernouli: p(x) = P(X=x)=(Nn) Лx (1-Л)N-x Binomial: (NX) ) = N! / x! (N – x )! Dengan N! = 1 x 2 x 3 x... x(N-1) x N dan 0 ! = 1 Parameter Binomial menggunakan: Rata-rata µ dan simpangan baku σ rumus: µ = NЛ σ =√NЛ (1- Л)

P (r) = [ n! / r! (n – r ) !] pr q(n-r) DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL Rumus distribusi probabilitas binomial: P (r) = [ n! / r! (n – r ) !] pr q(n-r) P(r) : nil prob binomial P : prob sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan R : banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan n : jumlah total percobaan q : prob gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p ! : faktorial

CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang 15, dan 13 buah diterima? Jawab: n = 15 p=0,9 r=15 q=0,1 P (r) = [n!/ r!(n-r)!] Prq(n-r) P(15) = [15!/ 15!(15-15)!] 0,915 0,115-15 P(15) = [15!/15! (0)!]0,915 0,10 P(15) = 1 X 0,206 X 1 P(15) =0,206 Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakan tabel distribusi binomial dengan n=15; dimana X =15, dan X = 13 dengan P(p)= 0,9 dan dapat diperoleh nilai ...?

Distr Prob Binomial Kumulatif Hasil Penelitian atau peristiwa yang tidak tunggal /kumulatif maka diperlukan adanya tabel distribusi prob binomial kumulatif Contoh: Berapa prob tepat 5 buah semangka tidak pecah dan berapa prob 5 semangka atau kurang tidak pecah dari 6 buah semangka yang ada dalam box pengiriman. Prob tidak pecah (p)=0,95 dan prob pecah (q) = 1-p =1-0,95 =0,05.

Jawaban 1. Prob tepat 5 semangka tidak pecah 2. Prob 5 atau kurang semangka tidak pecah P(r≤5|n = 6.p = (0,95)=P(r=0)+P(r=1) +...P(r=5) = 0.000 +0.000+0.000+0.002=0.031+0.232 = 0.265

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling lepas. Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan. Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik. Percobaan tanpa pengembalian pada populasi terbatas dan jumlah sampel tehadap populasi lebih dari 5%.

P(r) = [(sCr) x (N-s C n-r)] / NCn DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Rumus nilai Distribusi Hipergeometrik: P(r) = [(sCr) x (N-s C n-r)] / NCn s = jumlah sukses dalam N r = jumlah sukses yang menjadi obyek penelitian/perhatian

CONTOH DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Ada 33 perusahaan di BEJ akan memberikan deviden dan 20 di antaranya akan membagikan dividen di atas 100/lembar. Bapepam sebagai pengawas pasar saham akan melakukan pemeriksaan dengan mengambil 10 perusahaan. Berapa dari 10 perusahaan tersebut, 5 perusahaan akan membagikan saham di atas 100/lembarnya? Jawab:

Jawaban N=33 n=10 s=20 r=5 P(r) = [(20C5) x (33-20 C 10-5)] / 33C10 P(r) = [(sCr) x (N-s C n-r)] / NCn P(r) = [(20C5) x (33-20 C 10-5)] / 33C10 P(r) = 15.504 x 1.287 / 92.561.040 = 0.216 Ekseleraasi dis prob binomial terhadap hiper dengan n < 0,05 N. Maka nilai keduanya sama.

Tabel perbandingan hiper dan binom Perusahaan deviden >Rp 100/lembar Distribusi Probabilitas hipergeometrik Distribusi probabilitas Binomial 0.0000 0.0001 1 0.0002 0.0013 2 0.0026 0.0090 3 0.0211 0.0374 >100 saham 4 >0.0898 0.1023 5 >0.2156 0.1920 6 0.2994 0.2503 7 0.2395 0.2237 8 0.1062 0.1312 9 0.0236 0.0456 10 0.0020 0.0071 jumlah 1.000

DISTRIBUSI POISSON Dikembangkan oleh Simon Poisson Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya. Percobaan poison merupakan percobaan yang menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyaknya kejadian dalam suatu interval wktu tententu atau daerah tertentu

Sifat-sifat percobaan poisson Banyaknya kejadian dalam interval yang satu dengan Interval yang lain saling bebas 2. Prob terjadinya satu kejadian dalam interval yang sgt Pendek sebanding dengan panjang interval dan tidak Tergantung pada kejadian diluar interval dan tidak tergantung Pada banyaknya kejadian diluar interval tersebut. 3. Prob terjadinya dua atau lebih kejadian dalam interval yang Pendek dianggap nol. Artinya tidak mungkin terdapat 2 kejadian Secara bersamaan. Contoh: Rata-rata banyaknya tikus diluasan 5 meter persegi ialah 10 ekor. Hitunglah bahwa didalam luasan 5 meter persegi tertentu ada Lebih dari 15 ekor tikus.

contoh Contoh: Rata-rata banyaknya tikus diluasan 5 meter persegi ialah 10 ekor. Hitunglah bahwa didalam luasan 5 meter persegi tertentu ada Lebih dari 15 ekor tikus. Jawab: µ = 10 15 P(x>15) =∑ (x . e- /X!) = 1 - ∑ e10 10x / x! = 1- 0.9513 =0.0487

Rumusan Distribusi Probabilitas Poisson P(X) = x . e- /X! µ= rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, dimana µ=n.p e = bilangn konstant 2.71828 Contoh: Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?

Jawaban Diketahui : n = 150 X=5 p=0,1 (ciri poisson, N>50 dan p kecil yaitu ≤ 0,1) µ = n.p =150 x 0,1 =15 P(X) = x . e- /X! P(5)=155 . 2.7182815 / 5 = 0.02 Hanya 0,2% prob 5 perusahaan membagikan dividennya.

CONTOH DISTRIBUSI POISSON Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen? Jawab: Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel distribusi Poisson. Carilah Nilai  = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai …?

Case binom Di PT X diketahui bahwa dari 9 macam alasan karyawan tidak masuk kerja, satu macan alasan karn sakit. Diambil secara random 4 ijin tidak masuk kerja, berapa prob bahwa 3 diantaranya karena sakit? Rektor ITN mengatakan bahwa hanya 40%dari testing masuk akan lulus ujian saringan masuk ITN. Dari 14 orang peserta testing masuk yang diambil secara random, berapa prob?

Case distribusi Prob 3.Suatu studi menunjukkan bahwa 60% dari semua pasien yang berobat di rumah sakit S, telah menunggu dalam ruang tunggu RS tersebut paling sedikit 45 menit, hitunglah prob bahwa antara diantara 10 pasien yang berobat di RS tersebut 0,1,2,3...atau 10 pasien yang telah menunggu paling sedikit 45 menit. Gambarkan histogram dari distribusi probabilitas tersebut?

Case Distribusi Prob 4. Menurut kantor pusat kepolisian seksi kecelekaan di kota Jambi, rata-rata banyak kematian karena kecelakaan lalulintas tiap tahun adalah 4 dari tiap 100.000 penduduk. Hitunglah prob bahwa disuatu kota dengan 200 000 penduduk terdapat: 1.10 kematian karena kecelakaan lalu lintas 2, 4 sampai 6 kematian 3. Kurang dari 5 kematian 4. Lebih dari 2 kematian.

Case Distribusi Prob 5. 10% dari batu bata yang diproduksi pabrik X diketahui rusak/tidak memenuhi standar.sari sampel 10 buah batu bata yang diambil secara random, hitunglah probnya 2 buah batu bata diantaranya rusak / tidak memenuhi standar dengan menggunakan : Distribusi binomial dan pendekaatan poisson

Case distriusi prob poisson 6. Prob bahwa seseorang akan menderita reaksi buruk dari injeksi suatu macam serum adalah 0,001. hitunglah bahwa dari 2.000 orang yang diinjeksi dengan serum tersebut: 3 orang menderita reaksi buruk Lebih dari 2 orang menderita reaksi buruk

Case Distribusi Prob Poison 7. Seorang broker real estate dapat menjual rata-rata 2 rumah setiap minggunya. µ = 2. hitunglah probnya bahwa dalam minggu tertentu dia hanya dapat menjual satu rumah.

Case distribusi prob multinomial 8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola biru. Sebuah bola diambil secara random dari kotak tersebut, warnanya dicatat dan kemudian bola tersebut dikembalikan kedalam kotak. Hitunglah prob bahwa dari 6 kali pengmbilan bola diperoleh 3 bola merah dan 2 bola putih dan 1 bola biru?

Case Distribusi Prob Hypergeometrik 9. Sebuah kantong berisi 6 kelerng biru dan 4 kelereng merah. Dilakukan eksperimen dengan cara mengambil secara random sebuah kelereng dari dalam kantong tersebut dan warna kelerang yang terambil dobservasi, kemudian diambil lagi sebuah kelereng secara random dengan catatan kelereng yang telah terambil sebelumnya tidak dikembalikan kedalam kantong tersebut. Dari 5 kali pengambilan, berapa probabilitasnya diperoleh 3 kelereng biru?

Jawab 1.p= 1/9 (prob alasan sakit) q= 1-p = 1-1/9 = 8/9 (alasan lain) Rumus Distri Prob Binomial (Kazmier 1979 & Suharyadi 2005) P (r) = [ n! / r! (n – r ) !] pr q(n-r) Jawab 1.p= 1/9 (prob alasan sakit) q= 1-p = 1-1/9 = 8/9 (alasan lain) n= 4 r=3 P(r=3) = 4! / 3!(4-3)! (1/9)3 (8/9) = 4 . 1/729 . 8/9 = 32/656

Jawab 8. Metode 1: P(bola merah pada pengambilan yang mana saja) = 5/12 P(bola putih pada pengambilan yang mana saja) = 4/12 P(bola biru pada pengambilan yang mana saja) = 3/12 Jadi: P(3 Merah, 2 Putih, 1 Biru) = 6! / 3 ! 2! 1! (5/12)3 (4/12)2 (3/12)1 = 625/5184 Metode ke 2: Prob terpilih bola merah yang mana saja adalah 5/12. Maka prob terambil 3 bola merah adalah (5/12)3 Demikian pula 2 bola putih dan 1 bola biru.

8. Metode ke 3 Prob yang dinyatakan dalam: P m3 P2p P1b dalam ekspansi multinomial dari (pm+ pP + pb)6 dimana Pm = 5/12, PP=4/12 dan Pb =3/12. P (X1= n1 , X1 = n2 , X3 = n3) = n! P1n 1 n1! N2! n3! = 6! / 3! 2! 1! (5/12)3 (4/12)2 (3/12)1

Jawaban 9 Metode 1. banyaknya cara pengambilan 3 kelereng hitam dari 6 kelereng putih adalah: 6! / (6 – 3)! banyaknya cara pengambilan 2 kelereng sisanya dari 4 kelereng merah adalah: 4! / (4 – 2)! Jadi: banyaknya sampel yang berbeda yan terdiri dari 3 kelereng biru dan 2 klrg merah adalah: (6! / 3!(6-3)! ( 4! / 2!(4-2)! Jumlah total cara yang berlainan dari pengambilan 5 kelereng dari 10 kelereng dalam kantong (6+4) = 10! / 5!(10-5)!. Jadi prob yang dinyatakan tersebut adalah (6! / 3!(6-3)! ( 4! / 2!(4-2)! / 10!/5!(10-5)! = 10/21

9. Metode 2 Di ketahui: Biru =6, merah= 4. n=5, x=3 Gunakan rumus hypergeometrik dengan without replacement: P(X=x)= (bx) (n r- x) / (b +nm) = (63)(42) / (105) (6! / 3!(6-3)! (4! / 2!(4-2)! / 10!/5!(10-5)! = 10/21

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function. Anda pilih menu statistical pada function category Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda tekan OK. 4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:   BINOMDIST Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False) Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8 MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function Pilih menu statistical pada function category Pilih menu HYPGEOMDIST pada function name, anda tekan OK Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut HYPGEOMDIST Sampel_s : ………… (masukkan nilai r) Number_sampel : ……….. (masukkan nilai n) Population_s : ………… (masukkan nilai S) Number_pop : ………… (masukkan nilai N) Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8 MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function Pilih menu statistical pada function category Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: POISSON X : ………… (masukkan nilai x) Mean : ……….. (masukkan nilai m) Cumulative : ………… (tulis FALSE) Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

TERIMA KASIH