HIMPUNAN Abdul Aziz Karim

 Gugus HIMPUNAN pendefinisian Hpn biasa Gugus SEKAWANAN SEDERETAN SEKELOMPOK SEDERETAN SETUMPUK SEKUMPULAN HIMPUNAN pendefinisian Hpn biasa Gugus

“Mahasiswa/wi Unlam yang suaranya merdu supaya berhadir pada Hari Suara Sedunia setiap tanggal 08 Juni di lapangan Meriang Banjarpura”  status mahasiswa/wi Unlam, jelas karena mempunyai KTM  suara merdu, ini tidak jelas !. Merdu menurut team penilai, tetapi belum tentu bagi team penilai yang lain atau orang lain di luar team.  Jadi sekumpulan mhs Unlam yang bersuara merdu, tidak dapat dinyatakan sebagai suatu gugus; himpunan biasa

“Mahasiswa/wi yang telah terdaftar di Unlam pada tahun Akademik 2007/2008, resmi menjadi mahasiswa Unlam” Jelas yang tidak terdaftar bukan merupakan mahasiswa Unlam. Karena agar terdaftar tentunya harus memenuhi semua persyaratan yang telah tetapkan Sebagai bukti diri (identitas) mempunyai KTM Unlam  Jadi seluruh mhs yang terdaftar tsb merupakan suatu gugus. Sedangkan individu mhsnya merupakan anggota/unsur gugusnya.

ε ε Katakan “sekumpulan mahasiswa “ (G) terdiri dari : x = mhs yang terdaftar di Unlam y = mhs yang tidak terdaftar di Unlam Notasi gugusnya : x G x di dalam (termasuk unsur/anggota) G ε y G y di luar (bukan unsur/anggota) G ε

“banyaknya bilangan habis dibagi dua dari sejuta bilangan” Gugus terhingga : bila banyaknya unsur suatu gugus wajar untuk dihitung “banyaknya bilangan habis dibagi dua dari sejuta bilangan” Gugus tak hingga : bila banyaknya unsur suatu gugus tidak dapat dihitung atau mustahil atau tidak wajar untuk dihitung “banyaknya butiran pasir seberat 1 ons”

 Ciri Penentu suatu Gugus Untuk membuat (menulis) Notasi suatu Gugus dilakukan dengan cara berikut :  Metode senarai  Ciri Penentu suatu Gugus Cara ini (Notasi Gugus) bermanfaat untuk satu atau lebih ciri penentu, apakah suatu unsur (anggota) termasuk atau tidak termasuk ke dalam suatu gugus

 Metode senarai D = gugus banyaknya (nilai) mata sebuah dadu bersisi enam D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = gugus nilai suatu seri kartu Brigde B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} K = gugus nilai kembar kartu domino K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Secara umum, dinyatakan sebagai gugus X mengandung n unsur (anggota) sebanyak xi (i = 1, 2, 3, 4, 5, ……, n) X = {x1, x2, x3, x4, x5, ……….., xn} Bila X dinyatakan sebagai gugus tak hingga maka notasinya : X = {x1, x2, x3, x4, x5, ……….., xn, ……}

ε ε  Ciri Penentu suatu Gugus Secara umum, bila :  x = suatu unsur gugus U tertentu (universum/semesta)  c(x) = ciri untuk menentukan termasuk tidaknya suatu unsur tertentu ke dalam suatu gugus X tertentu ε X = {x ; x U, C(x)} A = gugus bilangan asli A = {1, 2, 3, 4, 5, ……} Metode senarai A = {a ; a bilangan asli} A = {x ; x A, x = n, n A} ε Metode ciri penentu

ε ε ε ε B = gugus bilangan bulat B = {x ; x B, x = n-1, n B} C = gugus bilangan cacah C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……} ε ε C = {x ; x C, x=n-1, n A} CL Hpn-01

 Gugus Induk & Anak-gugus X1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ……} bil. asli ganjil X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ……} bil. asli genap  Unsur2 gugus X1 merupakan pula unsur2 gugus A  Unsur2 gugus X2 merupakan pula unsur2 gugus A A mencakup X1 A X1 ∩ A mencakup X2 A X2 ∩ Kesimpulan : setiap unsur selalu dicakup oleh gugus semestanya X1 dicakup A ∩ X1 A X2 dicakup A ∩ X2 A

 Denah Venn ∩  ∩  N B N B A (mencakup) A (dicakup) A B N Dalam bahasa matematika :  Bila setiap unsur gugus A juga menjadi unsur gugus B, maka dinyatakan gugus A merupakan anak gugus B  Bila gugus A merupakan anak gugus B, maka setiap unsur gugus A merupakan pula unsur gugus B

 Agar hubungan anak gugus tersebut berlaku, maka dalam pengertiannya “harus terjadi serempak atau bersamaan”, atau dengan kata lain “berlaku secara timbal-balik”  Ungkapan pengertian tsb dilambangkan dengan dibaca “jika dan hanya jika” Jadi setiap unsur gugusA adalah juga menjadi unsur gugus B, gugus A adalah anak gugus dari gugus B Ini berarti bahwa A dan B adalah gugus yang sama  A = B A B ∩ & A B ∩

 Bila semua unsur gugus A yang dicakup oleh gugus B; tetapi tidak semua unsur gugus B dicakup oleh gugus A, maka ini dinyatakan gugus A merupakan anak gugus biasa dari gugus B  A B ∩ atau B A ∩

N = {n1 , n2 , n3 , n4}  Bila dibentuk anak gugus berunsur 3 : (gugus induk)  Bila dibentuk anak gugus berunsur 3 : N31 = {n1 , n2 , n3} N33 = {n1 , n3 , n4} N32 = {n1 , n2 , n4} N34 = {n2 , n3 , n4}  Bila dibentuk anak gugus berunsur 2 : N21 = {n1 , n2} N24 = {n2 , n3} N22 = {n1 , n3} N25 = {n2 , n4} N23 = {n1 , n4} N26 = {n3 , n4}

 Bila dibentuk anak gugus berunsur 1 : N11 = { n1 } N13 = { n3 } N12 = { n2 } N14 = { n4 }  Bila dibentuk anak gugus berunsur 0 nol) : N0 = { } Gugus Kosong = O Pengertian : { } ≠ { 0 } Gugus mengandung 1 unsur yaitu angka nol Gugus tanpa unsur

Semua anak-anak gugus dari gugus induk N dapat pula dihimpun menjadi “Gugus Kuasa” dari gugus induk N 2N = {N, N31, N32, N33, N34, N21, N22, N23, N24, N25, N26, N11, N12, N13, N14, } O

Penggunaan Persamaan Kombinasi untuk menentukan banyaknya anak-gugus Gugus Kuasa dari gugus Induk N C(n,i) = n ! i ! (n-i) ! Untuk : n ! = 1, 2, ………., (n-1), n i ! = 0, 1, 2, ………., (n-1), n 0 ! = 1

Dari Gugus Induk N [di atas] diperoleh anak-gugus2 dari Gugus Kuasa untuk sejumlah unsur : C(4 , 4) = 4 ! 4! (4-4)! = 1  Jumlah unsur 3; C(4 , 3) = 4 ! 3! (4-3)! = 4  Jumlah unsur 2; C(4 , 2) = 4 ! 2! (4-2)! = 6  Jumlah unsur 1; C(4 , 1) = 4 ! 1! (4-1)! = 4  Jumlah unsur 0; C(4 , 0) = 4 ! 0! (4-0)! = 1

a. 5 orang laki-laki (k1, k3, k5, k7 dan k9) CL Hpn-02 SL Hpn-02  Mhs Fakultas Kehutanan Unlam yang tergabung dalam “Himpun- an Mhs Peduli Lingkungan” (HIMAPELI) sebanyak 9 orang yang terdiri dari : a. 5 orang laki-laki (k1, k3, k5, k7 dan k9) b. k1, k6 dan k8 merupakan mhs S1reg c. k2, k5 dan k7 merupakan mhs S1eks d. sisanya merupakan mhs S03reg e. selain itu ada pula yang berstatus :  pegawai yaitu k1 dan k9  mahasiswa murni yaitu k3, k4, k5, k6 dan k8  sisanya berwiraswasta

ε ε I = {x; x B, 1 ≤ x < 4} J = {x; x B, (x-1)(x-2)(x-3)} dan Ditanyakan : (1). Tentukan notasi gugus dari pernyataan tsb JCL Hpn-02A (2). Tentukan gugus kuasanya (3). Tentukan gugus : mahasiswa perempuan, mahasiswa S1 & mahasiswa reguler.  Dinyatakan bahwa : I = {x; x B, 1 ≤ x < 4} ε J = {x; x B, (x-1)(x-2)(x-3)} ε dan Tentukan apakah “I = J”, bila B = gugus bilangan bulat JCL Hpn-02B

 Bilangan Kardinal “nilai yang menunjukkan banyaknya unsur dari suatu anak gugus” Berarti bilangan kardinal merupakan bilangan asli yang terhingga; sehingga disebut pula sebagai gugus-gugus terhingga. D = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} Dari sebuah dadu bersisi enam disusun anak gugus masing-masing : D1 = { 1 } D3 = {1 , 2 , 3} D5 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} D2 = {1 , 2} D4 = {1 , 2 , 3 , 4}

Bilangan kardinal suatu gugus dilambangkan dengan n(G), sehingga bilangan kardinal untuk gugus-gugus D1, D2, …, D6 adalah n(D1) = 1 n(D3) = 3 n(D5) = 5 n(D2) = 2 n(D4) = 4 n(D6) = 6 Misalkan ada dua buah gugus terhingga berupa sebuah dadu dan hari kerja D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (nilai mata dadu) H = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}

Hubungan “nilai mata dadu” (D) dengan “hari kerja” (H) 1   Senin 2   Selasa 3   Rabu 4   Kamis 5   Jumat 6   Sabtu n(H) = 6 n(D) = 6

Keduanya mempunyai bilangan kardinal yang sama yaitu n(D) = n(H) = 6 Karena setiap unsur pada gugus “mata dadu” (D) berpa-danan tepat satu unsur terhadap setiap unsur gugus “hari kerja” (H), sehingga dikatakan : “gugus D setara dengan gugus H” D ≈ H Hubungan kesetaraan ini tidak terjadi, bila ditemukan ada minimal satu unsur yang tidak mempunyai padanannya. Misal gugus nilai kembar kartu domino dengan gugus hari pasaran (Jawa).

Hubungan “nilai kembar kartu domino” (K) dengan “hari pasaran” (P) 0   Pon 1   Wage 2   Kliwon 3   Legi 4  5   Pahing n(K) = 7 6  n(P) = 5 Keduanya tidak mempunyai perpadanan, maka kesetaraan antara gugus “nilai kembar kartu domino” (K) dan gugus “hari pasaran” (P) tidak terjadi. D ≈ H

 Tentukan bilangan kardinal dari gugus : CL Hpn-03 SL Hpn-03  Tentukan bilangan kardinal dari gugus : JCL Hpn-03A { x | x bilangan bulat dan 1 ≤ x < 23}  Dari gugus-gugus berikut : A = {a,b,c,d,e,f,g} B = { x | x adalah sila-sila Pancasila} C = { x | x adalah hari-hari dalam seminggu} JCL Hpn-03B D = {Pahing, Pon, Wage, Kliwon, Legi} E = {ungu, biru, hijau, kuning, jingga, merah} adakan pengelompkan gugus-gugus yang setara !