BAB 4 INDUKSI MATEMATIKA

Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat : Induksi matematika adalah metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat. Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat : Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2 Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2 Jumlah n buah bilangan genap positif pertama adalah n2+n Untuk semua n≥1, n3+2n adalah kelipatan 3

4.1 PRINSIP INDUKSI SEDERHANA Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukan bahwa : 1. p(1) benar 2. Untuk semua bilangan bulat positif n  1, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Langkah 1 dinamakan Basis Induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan Langkah Induksi. Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Langkah induksi harus memperlihatkan bahwa p(n)p(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif. Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

4.2 PRINSIP INDUKSI YANG DIRAMPATKAN Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n0 , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut : 1. p (n0) benar 2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

4.3 PRINSIP INDUKSI KUAT Versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk membuktikan pernyataan mengenai bilangan bulat. Versi induksi yang lebih kuat adalah sebagai berikut : 1. p (n0) benar 2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika p(n0), p(n0+1),….p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

4.4 BENTUK INDUKSI SECARA UMUM Bentuk induksi secara umum dibuat supaya dapat diterapkan tidak hanya untuk pembuktian yang menyangkut himpunan bilangan bulat positif, tetapi juga pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum. Syaratnya himpunan objek itu harus memiliki keterurutan dan mempunyai elemen terkecil.

DEFINISI KETERURUTAN DAN ELEMEN TERKECIL Relasi biner “<“ pada himpunan X dikatakan terurut dengan baik bila memiliki properti berikut : Diberikan x, y, z  X, jika x < y dan y < z, maka x < z. Diberikan x, y  X, salah satu dari kemungkinan ini benar: x < y dan y < x, atau x = y Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, terdapat elemen x  A sedemikian sehingga x  y untuk semua y  A . Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong dari X mengandung elemen terkecil.

BENTUK UMUM INDUKSI SECARA UMUM : Misalkan X terurut dengan baik oleh “ < “ dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua x ∈ X. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa : p(x0) benar, yang dalam hal ini x0 adalah elemen terkecil di dalam X dan Untuk semua x > x0 di dalam X, jika p(y) benar untuk semua y < x, maka p(x) juga benar.