Pusat Massa Pikirkan sistem yg terdiri dari 2 partikel m1 dan m2 pada jarak x1 dan x2 dari pusat koordinat 0. Kita letakkan titik C disebut pusat massa dari sistem sejarak dari pusat koordinat 0, dapat dicari dari: Bila terdapat n partikel m1 , m2, ……, mn sepanjang garis lurus, sepanjang definisi pusat massa dan partikel-partikel terhadap pusat sumbu adalah: dimana x1, x2, ……,xn adalah jarak dari massa ke pusat sumbu

Sedangkan Σmi = M adalah massa total dari sistem, sehingga: Andaikan terdapat 3 partikel tidak terletak pada satu garis lurus, tapi pada suatu bidang. Pusat massa C didefinisikan dan terletak pada koordinat dan dengan : Koordinat pusat massa x, y diukur dari pusat koordinat 0. m1 y1 C m3 y3 m2 y2 x2 x1 x3

Untuk sejumlah partikel terletak pada sebuah bidang, pusat massa , dimana: Untuk sejumlah partikel tidak perlu terletak pada bidang tapi tersebar pada ruang, pusat massa, x , y, z : Sebuah benda tegar , semacam batang mistar dapat dipikirkan sebagai sebuah sistem yg terdiri dari paket partikel ketat.Jumlah partikel begitu banyak dan ruang diantaranya begitu kecil, sehingga benda dpt dipikirkan terdiri dari sejumlah massa yg tersebar secara kontinu.

Untuk memperoleh pernyataan bagi pusat massa kontinu, membagi benda menjadi elemen kecil sejumlah n dengan massa Δmi yg terletak pada suatu titik xi, yi, zi. Koordinat pusat massa dinyatakan: Sekarang massa elemen dibagi lebih banyak lagi dari n menjadi tak terhingga. Koordinat pusat massa :

Bila pusat r adalah jarak dari pusat sumbu sampai dengan elemen massa dm, vektor pusat massa R terletak : Contoh: carilah pusat massa dari 3 partikel dengan massa m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, dan m3 = 3 kg yg terletak pd sudut-sudut segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter. y m3 1 m c x m1 m2

Gerakan Pusat Massa Pikirkan gerakan dari sekelompok partikel dengan massa m1, m2, …….,mn dan massa total M. Dari persamaan pusat massa diperoleh: dengan adalah koordinat pusat massa. Differensiasi pers. diatas terhadap waktu diperoleh:

Bila Fix adalah resultan gaya yg bekerja pada partikel mi, pers Bila Fix adalah resultan gaya yg bekerja pada partikel mi, pers. diatas dapat ditulis: ax adalah komponen ke arah sumbu x dari percepatan pusat massa. Tiga persamaan skalar dapat digabung menjadi 1 persamaan vektor : dari persamaan ini, massa total dari sekelompok partikel kali dengan percepatan pusat massa sama dengan penjumlahan vektor dari gaya-gaya yang bekerja pada kelompok partikel tsb.

Contoh: terdapat 3 partikel dengan massa berbeda terkena gaya luar seperti pada gambar. Hitung percepatan pusat massa dari sistem ini. 16 N 4 kg 6 N θ 8 kg Tentukan resultan gaya luar yg bekerja pada sistem. Komponen ke arah sumbu x dari gaya ini : Fx = 14 – 6 = 8 N Komponen y : Fy = 16 N Resultan gaya luar: Percepatan pusat massa: -2 4 4 kg -3 14 N Resultan gaya ini membentuk sudut dengan sumbu x:

IMPULS DAN MOMENTUM Ditinjau sebuah partikel bermassa m yg bergerak dalam bidang xy Kalau V1 adalah kecepatan ketika t = t1 dan V2 kecepatan ketika t = t2, maka: Dari Hukum Newton II: V y F x

Bentuk integral disebelah kanan memberikan hasil: Hasil kali massa sebuah partikel dengan kecepatannya disebut momentum linier partikel, merupakan besaran vektor: momentum linier = m V untuk mudahnya disebut momentum. Persamaan 5.1 dituliskan: Besar dan arah impus vektor gaya resultan terhadap sebuah partikel dalam sembarang selang waktu sama besar dengan besar dan arah perubahan vektor momentum partikel yg bersangkutan. Ini dikenal sebagai asas impuls-momentum

Contoh: sebuah bola bermassa 0,4 kg dilemparkan terhadap sebuah dinding bata. Pada saat membentur dinding bola itu bergerak horisontal ke kiri dengan kecepatan 30 m/s , lalu memantul horisontal ke kanan dengan kecepatan 20 m/s. Hitunglah impuls gaya yg dilakukan oleh dinding terhadap bola itu. V2 V1

Kekekalan Momentum Linier Apabila tidak ada gaya luar bekerja terhadap suatu sistem, besar dan arah momentum total sistem itu akan tetap konstan. Karena gaya gesek = 0, gaya resultan sistem = 0, maka yg bekerja terhadap sistem itu hanya gaya aksi-reaksi satu dengan yg lain. Bila VA2 dan VB2 adalah kecepatan A dan B setelah tumbukan , maka: VA1 = 2 m/s VB1 = -2 m/s mB = 3 kg mA = 5 kg

Benda A bermassa mA mulanya bergerak ke kanan dengan kecepatan VA1 Benda A bermassa mA mulanya bergerak ke kanan dengan kecepatan VA1. Benda itu bertumbukan dengan benda B yg sedang diam, sesudah tumbukan kedua benda itu terpisah dan bergerak kekanan dgn kecepatan VA2 dan VB2. VA2y VA2 Momentum x awal = mAVA1 Momentum x akhir sistem = mAVA2x + MBVB2x Momentum y akhir sistem =mAVA2y – mBVB2y Sehingga: mAVA2x + mBVB2x = mAVA1 mAVA2y - mBVB2y = 0 Menunjukkan kevektoran momentum yaitu komponen x dan komponen y momentum keduanya kekal VA2x A A A B B VB2x VB2y VB2

Dari kekekalan momentum diperoleh: Tumbukan Elastis Tumbukan ini terjadi diantara 2 bola yg bergerak lurus sepanjang garis hubung pusat bola. Dari kekekalan momentum diperoleh: m1 m1 m1 m2 m2 m2 F F V’1 V’2 V1 V2 Tumbukan Setelah tumbukan Sebelum tumbukan

Dari kekekalan energi kinetik diperoleh: Kedua persamaan dibagi :

Tumbukan Tak Elastis Pada tumbukan tak elastis kekekalan energi tidak berlaku, sehingga: jika dibagi dengan ,diperoleh:

Bila perbandingan selisih kecepatan setelah dan sebelum tumbukan disebut koefisien tumbukan e : Maka: Jika tumbukan elastis sempurna : e = 1 Jika tumbukan tidak elstis : e = 0 Jika tumbukan elastis sebagian : 0 < e < 1

Contoh Ayunan balistik digunakan untuk mengukur kecepatan peluru. Ayunan tsb terdiri dari balok kayu massa M dengan 2 utas tali. Sebuah peluru dengan massa m bergerak secara horisontal dengan kecepatan V menumbuk ayunan dan tetap tinggal di dalamnya. Bila kenaikan ayunan setinggi y, berapa kecepatan awal peluru? Momentum awal sistem : m V Momentum sistem saat tumbukan : mV = (m + M) V’ Setelah tumbukan berlalu, sistem ini masih setinggi maksimum y, dengan energi kinetik semuanya diubah menjadi energi potensial : m M y V

Contoh soal: Sebuah peluru bermassa 2 g ditembakkan horisontal dengan kecepatan 500 m/s ke sebuah balok kayu bermassa 1 kg yg mulanya diam diatas permukaan datar. Peluru itu masuk ke dalam balok lalu keluar dengan kecepatan yg sudah berkurang menjadi 100 m/s. Balok itu meluncur sejauh 20 cm dari letak awalnya sepanjang permukaan tsb. hitung: a. Koefisien gesek luncur antara balok dan permukaan b. Berkurangnya energi kinetik peluru tsb. c. energi kinetik balok pd saat setelah peluru menembusnya

Solusi: Kekekalan momentum: N m2 V2 V2’ V1 V1’ m1 S=20 cm w

Koefisien gesek luncur : Berkurangnya energi kinetik peluru: Energi kinetik balok setelah peluru menembusnya:

Tugas sebuah peluru bermassa 2 g ditembakkan dengan kecepatan 500 m/s mengenai bandul ayunan balistik yg mulanya diam. Bandul ini bermassa 1 kg dan tergantung pada tali yang panjangnya 1 m. Peluru itu menembus bandul dan keluar dengan kecepatan 100 m/s. hitung: a. Berapa kecepatan balok/bandul setelah tumbukan b. berapa tinggi naiknya balok setelah tumbukan.