(Kerja, Energi dan Daya) BAB. 9 (Kerja, Energi dan Daya) 5/16/2018

Tujuan Instruksional: Setelah pertemuan selesai, peserta (mahasiswa) diharapkan dapat menentukan besaran-besaran usaha, energi dan daya dalam persoalan mekani-ka sederhana. 5/16/2018

Konsep Kerja-Energi Kerja (W) dan energi (E) merupakan konsep alter-natif untuk menyelesaikan persoalan gerak. W dan E dikembangkan dari konsep (F) dan gerak. Konsep W dan E merupakan penghubung antara mekanika Newton dengan bagian ilmu fisika yang lain (gelombang, fisika panas, dan listrik magnet) W dan E juga menjadi penghubung antara ilmu fisika dengan bidang ilmu lainnya (kimia, elektro, mesin, ilmu gizi dll) 5/16/2018

Pendahuluan. F, dasar pembicaraan di dalam dinamika. Apabila informasi F tidak lengkap, akhirnya infor-masi gerak tidak akan kita peroleh. Kelengkapan informasi F, akan mempermudahkan pemberian informasi besaran lain sepanjang ben-tukan sifat khusus F diperlukan. Misal F, sebagai f(t) atau tetapan memudahkan kita untuk menginformasikan tentang I dan p. F sebagai f(r) akan memunculkan besaran E. Arah F, tetap (misal gaya berat) akan memberikan (menginformasikan) konsep energi potensial (Ep). 5/16/2018

Bagaimana Mekanisme Perubahan Bentuk Energi ? E, hanya dapat berubah bentuk,  dari bentuk satu berubah menjadi bentuk lain. Kerja (W), karena F dapat merubah bentuk E. Interaksi, dapat merubah bentuk E. Contoh PLTA. Air sungai di tempat yang tinggi mempunyai Ep yang besar (nantinya sebagai bentuk air terjun). 5/16/2018

Lanjutan. Jika air sungai menemukan terjun, maka F gra-vitasi merubah Ep air menjadi energi kinetik (Ek) dari air terjun. Ketika air terjun tersebut menumbuk turbin, maka W oleh F tumbukan tersebut diubah Ek air terjun menjadi Ek turbin. Kerja turbin, yang membawa kumparan berputar merubah Ek turbin menjadi energi listrik. E adalah suatu besaran yang menunjukkan ke-mampuan untuk melakukan W. 5/16/2018

Apakah kerja itu? 0rang memindahkan bangku dari satu tempat ke tempat lain Mesin traktor memindahkan tanah Semut membawa makanan 0rang, mesin traktor dan semut melakukan usa-ha/kerja (mekanik) 5/16/2018

A. Konsep Kerja (W) W  besaran skalar. Gaya F bekerja pada suatu benda, dan benda mengalami perpindahan sejauh dr artinya F ter-sebut telah melakukan usaha (kerja). Jika, akibat F bekerja pada suatu benda, maka benda akan berpindah dari A  B. Kerja, W, dilakukan oleh sebuah F, pada suatu benda sebagai hasil perkalian titik antara F tersebut de-ngan perpindahan dimana F itu bekerja. 5/16/2018

Lanjutan. Persm di atas dapat dihitung jika informasi F jelas, [F sebagai tetapan atau fungsi perpindahan F (r)]. F r  W = F r cos  → W = F . r 5/16/2018

W merupakan pernyataan dot product sehingga hasilnya skalar, Besaran FT = F cos  merupakan nilai F dalam arah perpindahan. Koordinat kartesian (tiga dimensi) persm gaya di-nyatakan sebagai: Gaya, F = Fx i + Fy j + Fz k Perpindahan, dr = dx i + dy j + dz k, W = F . dr = (Fx dx + Fy dy + Fz dz) 5/16/2018

Dua komponen yang harus ada dalam usaha - kerja Bila F searah dengan gerak dan pergeseran (per-pindahan) dan berupa garis lurus, maka besarnya FT = F sehingga kerja menjadi: W = F r Apabila gerakan benda berupa garis lurus dan gaya F membuat sudut  maka usahanya, W = F r cos  Satuan usaha N m atau kg m2 s-2 dan disebut joule (J), James Prescott Joule (1818 – 1889). Dua komponen yang harus ada dalam usaha - kerja Pelaku yang memberikan gaya (F) pada benda dan perpindahan (r) benda. 5/16/2018

Contoh. F = 600 N digunakan orang untuk menggeser benda sejauh 2 m. Carilah W yang dilakukan oleh F tersebut jika dengan perpindahan: a. searah b. tegak lurus c. berlawanan Penyelesaian. a. W = F r cos  = (600 N)(2 m) cos 0o = 1200 J. b. W = F r cos  = (600 N)(2 m) cos 90o = 0 J. c. W = F r cos  = (600 N)(2 m) cos 180o = - 1.200 J 5/16/2018

Contoh. Sebuah F = 6 t (N) bekerja pada sebuah partikel m = 2 kg. Bila partikel mula-mula diam, carilah W yang dilakukan F selama dua detik pertama ? Penyelesaian. W = ∫ F dr tidak dapat langsung digunakan kare-na gaya F(t). 5/16/2018

Sekarang peroleh x sebagai fungsi t, yaitu 5/16/2018

B. Konsep Energi. 1. Energi Kinetik (Ek). Ek, adalah energi yang terkandung di dalam ob-yek (benda) yang bergerak. Gaya (F), bekerja pada suatu benda akan me-nyebabkan perpindahan (sebesar dr). Besaran, ½ m v2 disebut Ek ,(besaran skalar). 5/16/2018

Kerja (W) = perubahan Ek,  W = ΔEk = ½ m v2 – ½ m vo2. dr vo v F W = F . dr = ½ m v2 – ½ m vo2. W menghasilkan perubahan Ek. Contoh, palu digerakkan agar mempunyai Ek sehingga ketika palu mengenai paku, palu dapat melakukan W terhadap paku sehingga paku da-pat menancap pada dinding. 5/16/2018

Contoh. 0rang mendorong benda m = 0,1 kg di dalam bi-dang horisontal. Benda yang semula diam dido-rong dengan F = 5 N sejauh 2 m. a. Berapa W yang dilakukan gaya tersebut ? b. Berapa Ek akhir ? c. Berapa v akhir benda ? Penyelesaian. Benda mula-mula diam berarti Eko = 0. a. W = F r cos  = (5 N)(2 m)(cos 0o) = 10 J. b. W = Ek - Eko atau Ek = Eko + W Ek = 0 + 10 J = 10 J 5/16/2018

c. Kecepatan akhir, Ek = ½ m v2 sehingga, 5/16/2018

2. Energi Potensial (Ep). Ep, energi yang terkandung dalam suatu sis-tem/benda karena konfigurasi sistem tersebut atau karena posisi benda tersebut. W dari benda karena F tetap memungkinkan memunculkan konsep Ep, (tetapi tidak setiap F tetap akan memunculkan Ep). Ep besaran scalar. Contoh (Ep), untuk menancapkan tiang pan-cang pada pekerjaan konstruksi bangunan, be-ban ditarik ke atas kemudian dilepaskan se-hingga menumbuk tiang pancang, 5/16/2018

Gaya berat (= w), merupakan gaya gravitasi ben-tuk F yang arah dan besar tetap (w = m g) dan [arah menuju pusat bumi (- j)]. Apabila benda berpindah dari A (posisi rA)  B (posisi rB), W yang dilakukan pada benda,  F yang memiliki sifat seperti di atas, W tidak tergantung pada lintasan tetapi hanya tergantung pada posisi awal dan akhir. 5/16/2018

Lanjutan. Dalam koordinat kartesian tiga dimensi, vektor posisi benda dinyatakan sebagai: rA rB A B m g 0A = rA = xA i + yA j + zA k 0B = rB = xB i + yB j + zB k Perpindahan posisi dari A → B dinyatakan sebagai, rB – rA = (xB - xA) i + (yB - yA) j + (zB - zA) k 5/16/2018

Lanjutan. Gaya, F = - m g j W = F . Δr = m g (yA – yB) = - m g (yB – yA) Pernyataan m g y disebut energi potensial (Ep). W = EpA - EpB = - (EpB – EpA) = - Ep Satuan energi potensial (Ep)  joule. Negatip (-) dari W karena F gravitasi bumi meng-hasilkan perubahan Ep gravitasi bumi. 5/16/2018

Lanjutan. Jika y posisi benda [menyatakan tinggi tempat (dinotasikan h)] maka Ep, Ep = m g h. W, F berat merupakan negatif (-) perubahan EP awal dan akhir. F melakukan kerja [W, (-)], artinya Ep berubah dari potensial rendah menuju tinggi, dan sebalik-nya. Jika lintasan tertutup [edar benda kembali ke po-sisi semula (awal), semula berposisi pada A dan kembali ke A], maka  W = 0. 5/16/2018

Contoh. Benda m = 3 kg, diangkat naik dari permukan ta-nah sampai setinggi 2 m. Berapa W yang dilakukan ? Berapakah Ep-nya sekarang ?. Percepatan gravi-tasi bumi 10 m s-2 Penyelesaian. W = (3 kg)(10 m s-2)(0) - (3 kg)(10 m s-2)(2 m) = - 60 J Tanda (-) artinya kita perlu mengeluarkan tenaga untuk mengangkat benda m = 3 kg sampai seting-gi 2 m (yaitu 60 J). Ep benda sekarang adalah m g h, Ep = (3 kg)(10 m s-2)(2 m) = 60 J 5/16/2018

Soal: Sebuah batu ber-m = 2 kg dijatuhkan dari ketinggi-an 5 m. Bila gesekan diabaikan, maka tentukan: perubahan Ep benda, Ek pada saat dia sampai di tanah, kecepatan benda saat menyentuh tanah ! Penyelesaian. ? 5/16/2018

Soal Seorang mahasiswa mengendarai sepeda dari tem-pat parkir FKIP kembali ke asrama. Pada saat men-capai pertigaan, awal jalan menurun menuju asra-ma, kelajuan sepeda adalah 5 m s-1 dan mahasiswa tersebut berhenti mengayuh sepeda dan sepedanya dibiarkan melaju tanpa direm. Ketika hampir sam-pai asrama ternyata kelajuan sepedanya mencapai 15 m s-1. Berapakah kira-kira beda ketinggian antara jalan di depan asrama dan di pertigaan tersebut? Penyelesaian. ? 5/16/2018

Soal. Seorang mahasiswa mengangkat buku ber-m = 0,5 kg dari lantai ke atas meja yang tingginya 75 cm dengan melawan F gravitasi. Tentukan: A. W yang dilakukan oleh mahasiswa tersebut. B. W yang dilakukan F gravitasi. Penyelesaian. ? 5/16/2018

Soal. Sebuah batu ber-m = 2 kg dijatuhkan dari ke-tinggian 5 m. Bila gesekan diabaikan, tentukan (a) perubahan Ep benda, (b) Ek pada saat dia sampai di tanah, (c) v benda saat menyentuh tanah Penyelesaian. ? 5/16/2018

Bentuk Energi Lain Energi listrik, Ep elektromagnetik dan Ek elektron yang mengalir pada penghantar dan pada peralatan listrik Energi kimia, Ep elektromagnetik dan Ek pada atom dan molekul Energi dalam gas ideal: Ek partikel-partikel gas ideal Energi nuklir, Ep inti (kuat dan lemah) dalam ben-tuk energi ikat inti atau massa (dari kesetaraan massa dengan energi) 5/16/2018

C. Konsep Daya (P). Daya (P, besaran skalar) adalah laju transfer energi dari satu sistem ke sistem lain. Cepat atau lambatnya W yang dihasilkan gaya F yang bekerja pada benda tidak selalu sama (me-miliki nilai tertentu). W yang dihasilkan tiap satuan waktu disebut P. Dengan demikian pernyataan, maka P adalah, Satuan daya J s-1 atau watt, (James Watt 1736 - 1819). 5/16/2018

Pernyataan P dapat pula diformulasikan sebagai, daya 5/16/2018

Contoh. Benda massa m dilempar dengan sudut elevasi  kecepatan awal vo. Berapakah P rata-rata yang di-lakukan oleh w selama gerakan dan P sesaat sebagai fungsi waktu. Penyelesaian. Benda dilempar ke atas akhirnya akan jatuh kembali ke tanah sehingga usaha (W-nya nol). P rata-rata = P total dibagi waktu sehingga P rata-rata = 0 5/16/2018

Kecepatan gerak parabola, v = vx i + vy j v = vo cos  i + (vo sin  – g t) j Dengan demikian daya sesaat, P = F . v = - m g j . [vo cos  i + (vo sin  - g t) j] P = m g (g t - vo sin  ) 5/16/2018

D. Hukum Kekekalan Energi Mekanik Persm kerja, W = EpA - EpB dan W = Ek - Eko. Apabila, nilai F yang bekerja pada benda tetap maka, F bersifat konservatif, Akibat ada F, bekerja pada benda, maka benda berpindah dari A → B sehingga ada kemungkinan benda memiliki Ek maupun Ep. Dengan demikian dalam masalah ini dapat berla-ku, EpA - EpB = EkB - EkA . 5/16/2018

Soal. Sebuah mobil dapat menghasilkan F sebesar 2. 104 N. Jika mobil tersebut melaju dengan kelajuan rata-rata 40 m s-1 tentukan P mobil tersebut. Pertanyaan yang sama untuk sebuah truk yang dapat menghasilkan F = 105 N yang melaju de-ngan v rata-rata 10 m s-1 Penyelesaian ? 5/16/2018

Contoh: gaya gravitasi, gaya pegas W oleh F konservatif, tidak tergantung lintasan, tapi hanya tergantung titik awal dan akhir. Contoh: gaya gravitasi, gaya pegas Jika F total merupakan F konservatif maka: Jika disusun menjadi, EpA + EkA = EpB + EkB Hukum kekekalan energi mekanik (Em). Ep + Ek = E, besaran E disebut Em. 5/16/2018

Persm EpA + EkA = EpB + EkB disebut hukum kekekalan Em. Em benda di bawah pengaruh F konservatif selalu tetap. Posisi A dan B dari benda berlaku untuk semba-rang tempat (posisi) sehingga pernyataan hukum kekekalan Em ditulis: m g hA + ½ m vA2 = m g hB + ½ m vB2 5/16/2018

Contoh. Berapakah v benda yang menumbuk tanah, apabila benda massa m dijatuhkan dari menara setinggi h (dari tanah)? Penyelesaian. Dari soal diketahui, vA = 0; vB = v dan hA = h; hB = 0. Persm berlaku, (m)(g)(h) + ½ (m)(0) = (m)(g)(0) + ½ (m)(v2). Dengan demikian dihasilkan, v = √2 g h m s-1. 5/16/2018

Contoh. Bola homogen berjari-jari r bermassa m seim-bang (diam) pada puncak bola lain dengan jari-jari R, (R > r). Bila keseimbangan diganggu, bola tergelincir tanpa mengguling (koefisien geseran nol). Dimana dan dengan v berapa bola kecil meninggalkan bola besar ! (lihat gambar) Penyelesaian. m g h1 + ½ m v12 = m g h2 + ½ m v22 Bila pusat bola diposisikan (0; 0) berlaku, m g R = m g R cos  + ½ m v2 v2 = m g R (1 – cos ). 5/16/2018

Diperoleh persm, gR cos  = 2 g R (1 - cos ). R  v h A N Posisi A berlaku, Benda meninggalkan lintas-an (dipenuhi N = 0) sehing-ga v2 = g R cos . Diperoleh persm, gR cos  = 2 g R (1 - cos ). Sehingga, 3 cos  = 2   = 48o 1! 1! Kecepatan, v2 = g R (1 – cos 48o 1! 1!!) Posisi A berada pada sudut 48o 1! 1!! dan berke cepatan, 5/16/2018

Gaya Pegas. Gaya pegas, gaya nilainya tergantung pada perubah-an panjang pegas (F = k x). F gaya, x perubahan panjang pegas (karena kon-traksi) dan k tetapan pegas. F = - k x, arah gaya berlawanan dengan perubah-an panjang. Pernyataan F = - k x, disebut hukum Hooke. Kerja dari gaya pegas, W = ½ k x2. 5/16/2018

Contoh. Suatu sistem terdiri dari dua benda identik ber-massa m. Kedua benda terhubung dengan tali dalam pegas (tetapan pegas k dan m diabaikan). Mula-mula pegas terkompresi, lalu tali diputus. Hitung pemanpatan pegas tersebut agar benda di bawah terangkat ! Penyelesaian. Energi total awal, Eawal = ½ k (ΔL)2 + m g (L – ΔL)2 Energi total akhir (pegas teregang x), Eakhir = ½ k (x)2 + m g (L + x)2 Kekekalan energi, Eawal = Eakhir. 5/16/2018

k x2 + 2 m g x + [2 m g (ΔL) - k (ΔL)2] = 0 Benda bawah akan naik jika, k x ≥ m g k (ΔL) – 2 m g ≥ m g k (ΔL) ≥ 3 m g 5/16/2018

Contoh. Sistem m-pegas (gambar sam-ping) terdiri dari balok dengan massa m dan dua pegas dengan konstanta pegas k dan 3k. Massa m dapat berosilasi ke atas dan ke bawah, tetapi orientasi balok di-pertahankan mendatar. Kedua pe-gas dihubungkan dengan tali tanpa massa melalui suatu katrol licin. x 3k k m tali Berapakah periode osilasi sistem ? (nyatakan dalam : m dan k) 5/16/2018

Penyelesaian. Teori yang mendasari, Hukum Hooke dan osilasi. Untuk memudahkan pembahasan, kita akan nama-kan pegas k sebagai pegas 1 dan pegas 3k sebagai pegas 2. Tegangan kedua pegas sama, karena di-hubungkan lewat satu tali maka, k x1 = 3 k x2. Simpangan massa m = x. Dari geometri jelas bah- wa, 2 x = x1 + x2. Jadi, , Gaya yang bekerja pada massa m, 2 k x1= 3 k x. Persm gerak sistem, 5/16/2018

Contoh. Suatu pegas memiliki konstanta pegas k dan mas-sa m. Untuk memudahkan perhitungan, pegas ini dapat dimodelkan dengan sistem yang terdiri atas susunan m dan pegas. Untuk pendekatan perta-ma, anggap system pegas ber-m ini ekuivalen de-ngan sistem m-pegas yang terdiri dari dua m iden-tik m’ dan dua pegas identik yang tidak ber-m de-ngan konstanta k’. (Jika kita menambahkan terus jumlah m dan pegas dalam model ini maka akan semakin mendekati pegas sesungguhnya). Mula-mula sistem dibiarkan pada keadaan seimbang. Panjang pegas menjadi L (panjang kendurnya Lo). Jika ujung atas A dipotong, berapa percepatan massa bawah menurut model ini ? 5/16/2018

Lanjutan. Asumsikan percepatan gravitasi g tetap. Teori yang mendasari : Hukum Hooke tentang pegas, Newton tentang gerak. Hubungan antara m dan m’, 2 m! = m Hubungan antara k dengan k’ , Saat mula-mula, Pertambahan panjang pegas bawah karena gaya gra- vitasi, F = k! Δx1  m! g= k! Δx1   5/16/2018

Lanjutan. Tegangan pegas bawah, Pertambahan panjang pegas atas, k, m m’ k’ A Tegangan pegas bawah, Pertambahan panjang pegas atas, F = k! ∆ x2  2 m! g = k! ∆ x2   Tegangan pegas atas, 5/16/2018

Lanjutan. Saat sambungan dengan langit-langit dipotong (titik A), Tegangan pegas atas = nol Tegangan pegas bawah = F pada m bawah, 1. F gravitasi = m’g = 2. F dari pegas bawah = Jadi total F pada m bawah = nol, sehingga m bawah tidak dipercepat. arah ke bawah arah ke atas 5/16/2018

Lanjutan. F pada m atas. F gravitasi = m! g = 2. F dari pegas bawah = Jadi total F pada m atas = mg, Percepatan m atas = = 2 g arah ke bawah arah ke bawah 5/16/2018

Benda Bergerak Lurus (fomulasi gaya). Kasus benda bergerak lurus (satu dimensi), Ep hanya tergantung pada satu koordinat katakanlah x [atau Ep(x)]. Bentuk persm gerak benda yang di-maksud hendak diformulasikan dengan menggu-nakan hukum kekekalan Em. Formulasi hukum ke-kekalan Em, berbentuk Ep + Ek = E. Formula persm energi bentuknya dapat berubah sebagai berikut, m v2 + 2 Ep (x) = 2 E 5/16/2018

Persm di atas memberikan persm gerak benda da-lam formulasi energi. Persm dapat dihitung jika bentuk Ep sebagai fungsi x diketahui, kita dapat memperoleh bentuk x, kare-na m dan E tetap. 5/16/2018

Contoh. Bentuk Ep dari gaya (F i), (F tetapan) adalah Ep = - F x. Keadaan benda pada saat to = 0, xo = 0. Carilah bentuk persm gerak benda tersebut ! Penyelesaian. 5/16/2018

Persm terakhir dikuadratkan akan diperoleh, Pernyataan F/m = a, E = ½ m v2 - F x  E = ½ m v2 √2 E/m = vo , sehingga dihasilkan x = vo t + ½ a t2. 5/16/2018

Gerak Benda Karena Gaya Sentral Bentuk Ep (r). Jika Ep tergantung pada r [Ep (r)] bentuk F sentral a-kan memberikan bentuk energi m v2 + 2 Ep (r) = 2 E. v dinyatakan dalam koordinat kutub, Energi menjadi, 5/16/2018

Integrasi r (edar/lintasan) sebagai fungsi t dengan batas, t = to ; r = ro dan untuk t = t ; r = r akan memiliki bentuk hubungan sebagai berikut, Peredaran (r) dapat dinyatakan dalam hubungan dengan sudut , dengan mengganti 5/16/2018

Integrasi dengan batas-batas r = ro ;  = o dan saat r = r ;  =  , Integrasi persm di atas dapat dilakukan jika bentuk (model) Ep diketahui. 5/16/2018

Contoh. Bagaimana bentuk persm lintasan suatu benda yang memiliki (dipengaruhi), Ep = - k/r, k tetapan. Penyelesaian. 5/16/2018

Integrasi persm di atas, dengan batas integrasi ro = 0 dan o = - ½  dan r = r dan  =  hasilnya: Nilai L, m, k dan E tetap sehingga lintasan r diten-tukan oleh besaran, √1 + 2 E L m-1 k-2 yang akan menentukan bentuk lintasan (r) benda. Bentuk lintasan r, (berupa lingkaran, elips, para-bola atau hiperbola), ditentukan oleh nilai kelon-jongan e = √1 + 2 E L m-1 k-2 5/16/2018

Gaya Nonkonservatif Kerja gaya-gaya nonkonservatif, walaupun dalam lintasan tertutup nilai W ≠ 0, (ada energi yang hi-lang). Contoh F nonkoservatif adalah F geseran. Benda bergerak dari A → B karena pengaruh F, (F secara umum dapat diurai menjadi F konservatif dan nonkonservatif) tetap memiliki hukum kekekal an energi. Hukum kekekalan bentuk: W = EpA - EpB + W!. Ep, dihasilkan oleh F konservatif dan W! oleh F nonkonservatif. 5/16/2018

Disusun persm sebagai berikut: (EkB - EkA) = EpA - EpB + W! W! = (Ek + Ep)B - (Ek + Ep)A Persm di atas menginformasikan bahwa terdapat selisih Em akhir dan awal. W, F nonkonservatif, mengindikasikan adanya per-tukaran energi sistem dengan lingkungan. Energi yang tertukar, tidak dapat diperoleh kemba-li (hilang pada lingkungan atau disekitarnya, walau pun lintasannya tertutup). 5/16/2018

Bagan Peta Konsep (Dinamika) r =½ m v2 5/16/2018

5/16/2018