FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI INDUKSI MATEMATIKA PRODI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2017

INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Pernyataan yang dimaksudkan dibatasi hanya pada pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang khusus menyangkut bilangan bulat positif. Dengan menggunakan Induksi Matematika akan mengurangi pembuktian bahwa semua bilangan bulat positif termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan jumlah langkah terbatas.

INDUKSI MATEMATIKA Contoh : Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan : “jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2” Misal untuk n = 6, p(6) adalah jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 6 adalah 6(6+1)/2. Terlihat bahwa 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 6(7)/2. Tetapi pembuktian hanya dengan mengambil contoh p(6) saja tidak berlaku sebagai bukti bahwa p(n) benar untuk seluruh n. Walaupun pengambilan contoh n = 6 menghasilkan nilai dibawah himpunan kebenaran p(n), tetapi n = 6 bukan satu-satunya bilangan bulat positif karena bilangan bulat positif tidak berhingga banyaknya.

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA Misalkan p(n) adalah pernyataan bilangan bulat positif dan akan membuktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, hanya perlu menunjukkan bahwa : p(1) adalah benar Untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 1, jika p(n) benar maka p(n+1) adalah juga benar. Langkah 1 dinamakan basis induksi sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Selain itu asumsi yang digunakan pada langkah 2 yang menyatakan bahwa pernyataan adalah benar untuk p(n) disebut hipotesis induksi.

INDUKSI MATEMATIKA-Contoh Contoh 1: Tunjukkan bahwa n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 melalui induksi matematika Jawab : Langkah 1 : Untuk n = 1, maka 1 = 1(1+1)/2 adalah benar. 1 = 1 (1+1)/2 = 1 (2)/2 = 2/2 = 1 Langkah 2 : Misalkan untuk n ≥ 1 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2 adalah benar (hipotesis induksi), maka akan dibuktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (n +1) ((n + 1) + 1)/ 2 adalah benar juga. Sekarang perhatikan: 1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n +1) = ( n(n+1)/2) ) + (n+1) = ( (n2 + n)/2 ) + (2n+2)/2 = (n2 + 3n + 2)/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n+1) ((n+1) + 1) / 2 Karena langkah 1 dan langkah 2 keduanya telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, TERBUKTI bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2

INDUKSI MATEMATIKA-Contoh Contoh 2: Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2 Jawab Langkah 1. Untuk n = 1 jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Langkah 2. Misalkan untuk n ≥ 1 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 adalah benar, maka akan dibuktikan bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2(n+1) – 1) = (n+1)2 atau 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n+1) = (n+1)2 adalah benar juga. Sekarang perhatikan: 1+3+5+…+(2n – 1)+(2n+1) = (1+3+5+…+(2n – 1)) + (2n+1) = n2 + (2n+1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

INDUKSI MATEMATIKA-Contoh Contoh 3: Untuk n ≥ 1, Tunjukkan bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3 Jawab Langkah 1. Untuk n = 1, didapat 13 + 2 (1) = 3 adalah benar kelipatan 3 Langkah 2. Misalkan untuk n ≥ 1, maka n3 + 2n adalah benar kelipatan 3 Akan diunjukkan bahwa : (n+1)3 + 2(n+1) adalah juga benar kelipatan 3. Sekarang perhatikan: (n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2) = (n3 + 2n) + 3n2 + 3n + 3 = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) Adalah benar kelipatan 3. Terlihat bahwa : (n3 + 2n) adalah kelipatan 3 dari hipotesis awal langkah 2 Sedangkan bahwa : 3(n2 + n + 1) jelas merupakan kelipatan 3 juga, sehingga n3 + 2n adalah kelipatan 3 terbukti benar.

INDUKSI MATEMATIKA-Contoh Contoh 4: Buktikan bahwa 22n – 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1 Jawab Langkah 1. Untuk n = 1, didapat 22 (1) -1 = 3 habis dibagi oleh 3. Langkah 2. Misalkan n ≥ 1, maka 22n -1 adalah benar habis dibagi oleh 3. Akan ditunjukkan bahwa : 22(n+1) - 1 adalah benar habis dibagi 3. Sekarang perhatikan bahwa: 22(n+1) - 1 = 22n + 2 - 1 = 22n . 22 - 1 = 4 . 22n – 1 =( 3 + 1).22n – 1 = (22n + 3. 22n) – 1 = (22n – 1) + 3. 22n Adalah benar kelipatan 3. Terlihat bahwa : (22n – 1) adalah benar kelipatan 3 dari langkah 1 sedangkan 3. 22n jelas merupakan kelipatan 3.

INDUKSI MATEMATIKA-Contoh Contoh 5: Buktikan bahwa 1(2) + 2(3) +…+ n(n+1) = untuk semua n. Jawab Langkah 1. Untuk n = 1, didapat adalah benar. Langkah 2. Misalkan n ≥ 1, maka adalah benar. Akan ditunjukkan bahwa : 1(2) + 2(3) + … + n(n+1) +(n+1)(n+2) = = (n3 + 3n2 + 3n2 + 9n + 2n + 6)/3 = ((n3 + 3n2 + 2n) + (3n2 + 9n + 6))/3 = ((n3 + 3n2 + 2n)/3) + 3(n2 + 3n + 2)/3 = ((n3 + 3n2 + 2n)/3) + (n2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) Adalah benar.

Soal Latihan