Program Linear dalam Industri Pakan Ternak

LINEAR PROGRAMMING a. Model umum untuk pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber terbatas secara optimal. b. Masalah timbul saat diharuskan memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan, masing-masing kegiatan pakai sumber yang sama dan jumlahnya terbatas

Pengertian Umum Program Linier = linier programming (LP) : Model matematik pengalokasian sumber daya dgn sasaran untuk mencapai tujuan tunggal (keuntungan maximal atau biaya minimal). sebagai suatu model mtematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier

Dalam model LP dikenal 2 (dua) macam “fungsi”, Fungsi tujuan : fungsi tujuan / sasaran dalam permasalahan LP, berkaitan dgn pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Umumnya nilai yg dioptimalkan bernotasi Z. Fungsi batasan : bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Pemakaian sumber per unit MODEL LP Kegiatan Sumber Pemakaian sumber per unit Kegiatan (keluaran) Kapasitas 1 2 3 …. n a11 a12 a13 a1n b1 a21 a22 a23 a2n b2 a31 a32 a33 a3n b3 … m am1 am2 am3 amn bm ΔZ pertambahan tiap unit C1 C2 C3 Cn Tingkat kegiatan X1 X2 X3 Xn Model Matematis???

Model Matematis Fungsi tujuan: Batasan : Maksimumkan Z = C1X1+ C2X2+ C3X3+ ….+ CnXn Batasan : a11X11+ a12X2 + a13X3 + ….+ a1nXn ≤ b1 a21X11+ a22X2 + a33X3 + ….+ a2nXn ≤ b1 ….. am1X11+ am2X2 + am3X3 + ….+ amnXn ≤ bm dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, ………. Xn ≥ 0

Asumsi-asumsi Dasar Linear Programming Proportionality naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan Additivity nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, dalam LP dianggap kenaikan nilai tujuan (Z) akibat kenaikan 1 kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z dari kegiatan lain

Asumsi-asumsi Dasar Linear Programming Divisibility keluaran (output) dihasilkan setiap kegiatan berupa bilangan pecahan. Demikian pula nilai Z. Deterministic (Certainty) Asumsi : bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.

PROGRAM LINIER Sistem persamaan linier pertidaksamaan linier model Matematika PROGRAM LINIER Penyelesaian dg Metode Simplex Penyelesaian dg cara Grafis

Persamaan Linier (PL) Penyelesaian PL dg eleminasi Penyelesaian PL dg subtitusi Penyelesaian PL dg matriks Penyelesaian PL dg grafis Penyelesaian PL dg metode simplex Contoh: Carilah Penyelesaian a. persamaan 3x + 4y = 2 2x – 3y = 7 b. persamaan 3x + 2y = 19 4x + 3y = 26

Contoh Aplikasi LP dalam Pabrik Pakan Ternak Menentukan formulasi pakan ternak Menentukan keuntungan maksimum dalam memilih bentuk pakan berdasarkan mesin yang digunakan Menentukan bahan pakan yang murah dll

Aplikasi Program Linear dengan Grafis

Aplikasi Produksi Pakan (contoh) Perusahaan pakan membuat 2 macam bentuk pakan : Mash (M), dan Pellet (P). 3 macam mesin:1) mixer, 2) mesin pelet, dan 3) grinder mash halus. Setiap 1 ton pakan mash : memakai mesin 1 selama 6 jam, tanpa melalui mesin 2 terus memakai mesin 3 selama 2 jam. Pakan pellet diproses mesin 1 selama 5 jam, di mesin 2 selama 3 jam, tanpa menggunakan mesin 3. Jam kerja maksimum : mesin 1 = 30 jam, mesin 2 =15 jam, dan mesin 3 = 8 jam. Proporsi laba per 1 ton pakan bentuk mash= Rp 3 juta dan bentuk pellet = Rp 5 juta. Tentukan berapa ton sebaiknya pakan bentuk mash dan bentuk pellet yang dibuat agar keuntungan maksimal.

Bentuk Tabel Merek Mesin M (X1) P (X2) Kapasitas Maksimum 1. Mixer 6 5 30 2. Pellet 3 15 3. Grinder 2 8 Sumbangan laba

Bentuk Matematis Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 Batasan (constrain)

Fungsi batasan pertama (2 X1  8) 2X1  8 dan X1  0, X2  0 4 X1 Gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan: X1  0, X2  0 dan 2X1  8

Fungsi batasan (2 X1  8); 3X2  15; 6X1 + 5X2  30; X1  0 dan X2  0 6 5 6X1 + 5X2 = 30 2X1 = 8 4 D C 3X2 = 15 5 Daerah feasible B A

MENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUM Dengan menggambarkan fungsi tujuan X2 X1 6 5 6X1 + 5X2 = 30 2X1 = 8 4 3X1 + 5X2 = 20 D 10 = 3X1 + 5X2 4 C 3X2 = 15 5 Daerah feasible B A

MENCARI KOMBINASI YANG OPTIMUM Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif Z = 3X1 + 5X2 X2 X1 6 5 6X1 + 5X2 = 30 2X1 = 8 4 Titik C: X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5 Titik D: Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25 D C 3X2 = 15 5 Titik A: Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12 Titik B: X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18 Daerah feasible B A

Aplikasi Formulasi Pakan Peternak ingin menggunakan bahan A dan B untuk dibuat campuran pakan ayam pedaging. Bagaimana kombinasi ke-2 bahan tsb agar keuntungannya optimum?

Misalkan X1 adalah jumlah pakan A X2 adalah jumlah pakan B H1 adalah harga per unit pakan A H2 adalah harga per unit pakan B Maka: Total biaya yang dikeluarkan peternak adalah Z = H1. X1 + H2.X2

Asumsi logis A dan B tidak negatif X1>0 X2>0 Apabila batasan kedua adalah syarat-syarat kandungan zat makanan (misalkan protein, energi,vit dan min) yang harus dipenuhi, maka:

Apabila: Jumlah minimum protein yang dikandung =b1 energi =b2 vit =b3 min =b4 dan Jumlah protein dalam pakan A= a1.1 B = a1.2 energi dalam pakan A = a2.1 B = a2.2 vit A = a3.1 B = a3.2 min A = a4.1 min B = a4.2

persamaan a1.1 X1 + a1.2 X2 > b1 a2.1 X1 + a2.2 X2 > b2 a3.1 X1 + a3.2 X2 > b3 a4.1 X1 + a4.2 X2 > b4

Titik-titik yang fisible adalah

Aplikasi Program Linear dengan Eliminasi

Aplikasi Sebuah pabrik pakan dapat menghasilkan 150 ton pakan jadi berbentuk tepung. Pabrik tsb menyetujui kontrak penjualan pakan pellet 76 ton. Apabila dalam proses pembuatan pellet 5% akan hilang/rusak, berapa pakan berbentuk tepung yang dapat diproduksi dan kontrak penjualan pellet terpenuhi? Jawab: (150-X)-0.05(150-X)= 76 X = 70

Aplikasi Program Linear dengan Matrix

Penyelesaian Persamaan Linier dengan Matriks Misalkan persamaan linier: ax + by = c dx + ey = f 1. Tuliskan matriks dari konstanta-2 persamaan linier baris kolom 2. digunakan operasi hitung, sehingga matriks tersebut menjadi Sehingga dpt disimpulkan penyelesaian sistem persamaan tsb. adalah (c, f)

Contoh: dik: sistem persamaan linier 3x + 4y = 2 2x – 3y = 7 1. Matriks dari konstanta-konstanta 2. Kalikan baris pertama dg 1/3 3. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

4. Kalikan baris kedua dg -3/17 5. Kalikan baris kedua dg -4/3 kemudian tambahkan kpd baris pertama 6. Jadi penyelesaian sistem 3x + 4y = 2 2x – 3y = 7 Adalah (2, -1)

Latihan Carilah penyelesaian sistem: 3x + 2y = 19 4x + 3y = 26 Dengan bantuan matriks

Sistem Persamaan Linier dg 3 variabel Perhatikan: a1x + b1y + c1z = p a2x + b2y + c2z = q a3x + b3y + c3z = r Maka dari sistem persamaan linier 3 varibel di atas perlu diusahakan memperoleh matriks: Ini berarti penyelesaian sistem persamaan di atas (p, q, r)

Contoh: x - 4z = 5 2x - y + 4z = -3 6x – y + 2z = 10 Matriks dari konstanta-konstanta adalah: 1. Kalikan baris pertama dg -2 kemudian tambahkan kpd baris kedua

2. Kalikan baris pertama dengan -6, kemudian tambahkan kpd baris ketiga 3. Kalikan baris kedua dengan -1 4. Tambahkan baris kedua kpd baris ketiga, sehingga menjadi

5. Kalikan baris ketiga dengan 1/14 6. Kalikan baris ketiga dg 12 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris kedua 7. Kalikan baris ketiga dg 4 kemudian tambahkan hasilnya kpd baris pertama didapat x = 3, y = 7, dan z = -1/2. jadi penyelesaiannya (3, 7, -1/2)