Bab 9 Tempat Kedudukan Akar (Root Locus) - Definisi tempat kedudukan akar (root locus) - Bagaimana membuat sketsa root locus - Bagaimana menghaluskan sketsa root locus - Bagaimana menggunakan root locus untuk mendapatkan harga-harga kutub (poles) fungsi alih lup tertutup - Bagaimana menggunakan root locus untuk mendeskripsikan secara kuantitatif perubahan-perubahan dalam respon transien dan stabilitas suatu sistem jika penguatan lup terbuka divariasikan

9.1 Pendahuluan - Root locus merupakan suatu metode yang ampuh untuk analisis dan disain yang ditemukan oleh W.R. Evans - Root locus merupakan suatu teknik grafis yang memberikan kita deskripsi kualitatif mengenai performansi suatu sistem kontrol dan juga suatu perkakas (tool) kuantitatif yang ampuh (powerful). - Root locus dapat digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan kontrol untuk sistem-sistem ordo tinggi - Root locus dapat digunakan untuk mendeskripsikan secara kualitatif performansi suatu sistem jika berbagai parameter diubah. - Root locus dapat juga digunakan untuk menaksir stabilitas.

9.1.1 Persoalan Sistem Kontrol Asumsikan fungsi alih lup tertutup secara umum diasumsikan seperti dalam diagram di bawah ini di mana karena itu di mana NG(s), DG(s), NH(s) dan DH(s) adalah polinomial-polinomial pembilang dan penyebut yang dapat difaktorkan berturut-turut dari plant dan umpan balik

Pengamatan - Kita mengetahui harga-harga nol (zeros) dan harga-harga kutub (poles) G(s) dan H(s) - harga-harga nol Ge(s) terdiri dari harga-harga nol G(s) dan harga-harga kutub H (s). - Harga-harga kutub Ge(s) adalah akar-akar persamaan karakteristik lup tertutup. dan tidak segera diketahui. Sesungguhnya akar-akar tersebut bervariasi sebagai suatu fungsi penguatan lup terbuka K. Contoh 9.1 Poles and Zeros dari suatu Sistem Lup Tertutup. Jika G(s) = (s+ 1)/[(s(s + 2)] dan H(s) = (s+ 3)/(s+ 4) apakah zeros dan poles fungsi alih lup tertutup Ge(s) ?

Solusi : Poles G(s) adalah s = 0, -2. H(s) memiliki sebuah pole tunggal di s = -4. G(s) memiliki sebuah zero tunggal di s = -1 dan H(s) memiliki sebuah zero tunggal di s = -3. Fungsi alih lup KG(s)H(s) karena itu memiliki poles di s = 0, -2 dan -4 dan zero di s = -1 dan -3. Sekarang Oleh karena itu zeros Gc(s) terdiri dari zeros G(s) dan poles H(s). Poles Gc(s) tidak segera diketahui tanpa memfaktorkan penyebut (denominator), dan poles tersebut merupakan fungsi K. Karena respon dan stabilitas transien sistem bergantung kepada poles Gc(s) maka kita tidak memiliki pengetahuan mengenai performansi sistem hingga kita memfaktorkan polinomial karakteristik untuk nilai-nilai spesifik K. Root locus akan digunakan untuk memberikan kepada kita suatu gambaran yang tersembunyi mengenai poles Ge(s) jika K bervariasi.

9.1.2 Bilangan-bilangan kompleks dan representasi vektornya Suatu bilangan kompleks s + jw dapat secara grafis direpresentasikan dengan sebuah vektor seperti ditunjukkan dapat diagram di bawah ini. Bilangan kompleks dapat juga dideskripsikan dalam bentuk polar dengan besar (magnitude) M dan sudut q sebagai M < q or [Mejq] Representasi vektor dari s + jw F(s ) = (s+a)