Sejarah Matematika Zaman Alexandria Nuzli Ihsan 1301432 Dosen pembimbing : Dra. Hj. Helma, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Padang Home Materi Apollonius Trigonometri Yunani Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Trigonometri Yunani Apollonius Trigonometri Yunani Materi Apollonius Trigonometri Yunani Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Apollonius Home Materi Apollonius Trigonometri Yunani Exit Apollonius

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Appplonius lahir di PORGA pada tahun 262 SM Beliau pergi ke Alexandria, belajar disana bersama murid-murid Euclid Home Materi Apollonius Beliau kembali ke Alexandria,dan meninggal (tahun 190 SM) Beliau mengajar di Universitas Alexandria Trigonometri Yunani Beliau mengajar di Universitas Pergamun Exit

Karya-Karya Appolonius Sejarah Matematika Zaman Alexandria Karya-Karya Appolonius Home Karya yang Hilang Materi Karya yang Sebahagian Hilang Apollonius Karya yang ditemukan Trigonometri Yunani Exit

Karya Apollonius yang hilang Sejarah Matematika Zaman Alexandria Karya Apollonius yang hilang Home Materi Quick Delivery Apollonius Dalam buku ini Apollonius mengkalkulasikan nilai (phi) dengan nilai yang sedikit lebih baik dibandingkan kalkulasi yang dilakukan oleh Archimedes, yaitu 3,1416. Trigonometri Yunani Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Karya Apollonius yang sebahagian Hilang Home Apollonius Plane Loci Apoolonius on Vergings Apollonius Tangencius Cutting off an Area Materi 124 Proposisi 125 proposisi 124 proposisi yang pada umumya berhubungan dengan problem pada cutting off a ratio 147 proposisi Dan untuk Tiga lingkaran dibicirakan dalam buku II. Dalam buku II ini tidak terdapat penyelesaian problem, ini merupakan tantangan matematikawan berikutnya, salah seorang yang memberikan penyelesaian terhadap problem ini adalah Newton, dengan hanya menggunakan mistar dan jangka. Apollonius Problem dalam buku : Bagaimana melukis suatu lingkaran yang menyinggung tiga unsur yang diketahui : titik, garis lurus atau lingkaran. 2 Postulat : Tempat kedudukan titik yang selisih kuadrat jaraknya terhadap dua titik tetap adalah konstan, adalah suatu garis yang tegak lurus kepada garis yang menghubungkan kedua titik tadi. Tempat kedudukan titik – titik yang perbandingan jaraknya dari dua titik tetap (bukan berimpit) adalah konstan, adalah suatu lingkaran. Berhubungan dengan inklinasi, yang hanya dapat diselesaikan dengan jangka dan mistar. Problem dalam buku : Diketahui dua garis a dan b, dengan dua titik tetap A pada a, B pada b. Lukiskanlah melalui suatu titik O yang diketahui suatu garis lurus yang memotong a di A’ dan b di B’. Sehingga AA’/BB’ konstan. 2 Teorema : Apabila A dan B dua titik tetap, dan k suatu konstan yang diketahui, maka tempat kedudukan titik p, dimana AP/BP=k, adalah suatau lingkaran apabila K≠1, atau suatu garis lurus apabila k=1. Apabila A,B..... adlah titik – titik tetap , dan a,b.......,k adalah konstanta- konstanta yang diketahui, maka tempat kedudukukan titik p, dimana a(AP)2+b(BP)2+ . . . . =k adalah suatu lingkaran. Trigonometri Yunani Meliputi 10 kasus : 2 kasus yang lebih mudah dibicarakan dalam buku euclid elementa. 6 kasus lainnya dibicarakan dalam buku I tangencius. 2 kasus yang paling sukar yaitu dua garis dan satu lingkaran. Masalah dalam buku : Bagaimana menyisipkan suatu segmen antara dua tempat kedudukan,sehingga garis dari segmen itu melalui titik yang diketahui. Exit Penyelesaian : Ekuivalen dengan penyelesaian persamaan kuadrat ax+x²=bc

Berisi tentang teori teori sederhana mengenai kerucut Sejarah Matematika Zaman Alexandria Karya Apollonius yang ditemukan Home Concics Cutting off a Ratio 400 Proposisi Materi Problem dalam buku : Diketahui dua garis a dan b, dengan dua titik tetap A pada a, B pada b. Lukiskanlah melalui suatu titik O yang diketahui suatu garis yang memotong a di A’ dan b di B’. Sehingga AA’/BB’ konstan. 8 Buah Buku 181 Proposisi Apollonius Buku I Berisi tentang teori teori sederhana mengenai kerucut Buku V Ditemukan dalam bentuk terjemahan kedalam bahasa Arab. Diterjemahkan lagi kedalam Bahasa Latin oleh Halley (1706) Trigonometri Yunani Buku II Buku VII Penyelesaian : Ekuivalen dengan penyelesaian persamaan kuadrat ax²-bx=bc Buku III Buku VII Exit Buku IV Buku VI

Dalam buku I ini Apollonius memperkenalkan kerucut cabang dua Sejarah Matematika Zaman Alexandria Buku I concics Home Dalam proposisi 5, Apollonius memperlihatkan bahwa setiap kerucut lingkaran miring, bukan hanya mempunyai tak terhingga banyaknya irisan lingkaran yang sejajar dengan alasnya, tetapi juga mempunyai tak terhingga banyak irisan lingkaran yang dikenal dengan nama “irisan subcontrary”. Semua irisan kerucut dari suatu “circular double cone” tegak maupun miring. A Dalam proposisi 13 apollonius memberikan sifat – sifat persamaan elips dan hiperbola, yaitu : misalakan ABC adalah suatu irisan segitiga dari kerucut lingkaran miring, dan misalkan p adalah sembarang titik pada irisan HPK yang memotong elemen kerucut. Perpanjangan HK memotong perpanjangan BC di G. Dalam buku I ini Apollonius memperkenalkan kerucut cabang dua A Materi P H E Memperlihatkan bahwa tidak perlu melakukan irisan tegak lurus kepada salah satu elemen dari kerucut, dan bahwa dari satu kerucut tungal seseorang dapat memperoleh ketiga jenis irisan kerucut. H M D D K E M Apollonius “Apabila suatu garis lurus yang panjang tak terhingga dan selalu melalui suatu titik tetap diputar mengelilingi keliling lingkaran yang tidak sebidang dengan titik tetap itu, maka gerakan garis lurus itu akan membuat permukaan dari suatu kerucut bercabang dua”. P K F B G B C C Trigonometri Yunani Generalisasi kedua apollonius mendemonstrasikan bahwa tidak di haruskan kerucut itu kerucut tegak, tetapi boleh juga kerucut lingkaran miring. Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Buku II concics Home L Materi Buku II dari conics melanjutkan studi tentang conjugate diameter dan garis singgung. Contoh C P L’ Q K Apollonius Q’ K’ Trigonometri Yunani Apabila P sembarang titik suatu parabola dengan pusat C, maka garis singgung pada P akan memotong assymtots pada titik – titik L dan L’ yang mempunyai Jarak yang sama dari P. Begitu juga proposisi yang lain dalam buku II ini mengatakan bahwa, sembarang tali busur QQ’ sejajar dengan CP yang memotong asymtot pada titik – titik K dan K’, sedemikian sehingga QK = Q’K’ dan QK.QK’=CP2. Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Buku III concics Home Salah satu teoremanya adalah ; “Apabila garis singgung pada dua titik A dan B suatu kerucut berpotongan di titik dan juga memotong diameter melalui B dan A dititik D dan E, maka segitiga – segitiga CBD danACE akan mempunyai luas yang sama”. Materi Juga terdapat teorema tentang hasil perkalian dari segmen – segmen tali busur yang berpotongan. Yaitu : Apollonius Apabila dua tali busur PQ dan MN sejajar dengan dua arah yang diketahui, berpotongan di titik O (PO)(OQ)/(MO)(ON) adalah konstan dan tidak tergantung kepada letak O. Trigonometri Yunani maka Exit Saat sekarang ini dikenal denganTeorema NEWTON

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Buku IV concics Home Berisi pembuktian kebalikan dari proposisi yang ada dalam buku III mengenai sifat- sifat harmonik dari kutub dan polar. Materi Contoh Apollonius Apabila satu cabang hiperbola memotong kedua cabang hiperbola yang lain, maka cabang yang berlawanan dari hiperbola yang pertama tidak akan memotong salah satupun dari kedua cabang hiperbola kedua pada titik. Trigonometri Yunani Apabila suatu hiperbola satu cabang dari hiperbola kedua dengan kecekungannya dalam arah yang berlawanan, maka cabang yang berlawanan dari hiperbola pertama tidak akan memotong cabang yang berlawanan dari hiperbola kedua. Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria } Home Materi Apollonius Buku V concics Home Apabila A adalah puncak suatu parabola Y2=PX, Y2=PX Buku V dari consics berhubungan dengan garis – garis lurus maksimum dan minimum terhadap suatu kerucut. Teorema Apollonius tentang maksima dan minima sebenarnya adalah teorema tentang garis singgung dan garis normal terhadap irisan kerucut.Dalam buku ini Apollonius membuktikan teorema yang berhubungan dengan normal (garis tegak lurus) terhadap parabola. P Materi G adalah sebuah titik pada sumbu X, A X H adalah suatu titik antara A dan G maka HG=p, H } G Apollonius p HP dilukis tegak lurus kepada sumbu dan memotong parabola di P, Trigonometri Yunani maka PG adalah garis lurus minimum dari G kepada kurva, karena itu adalah normal kepada parabola pada PH. Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Buku VI concics Berisi teorema-teorema dan problem-problem kostruksi yang berhubungan dengan kerucut yang sama dan kerucut yang sebangun. Diantara proposisi yang termudah dalam buku ini adalah demonstrasi bahwa semua parabola adalah sebangun, dan bahwa suatu parabola tidak mungkin sebangun dengan elipps atau hiperbola, begitu juga elipps dengan hiperbola. Home Proposisi lain adalah membuktikan bahwa apabila sembarang kerucut di potong oleh dua bidang sejajar sehingga membentuk irisan – irisan eliptik atau hiperbolik, maka irisan – irisan itu akan sebangun, tetapi tidak sama. Materi Apollonius Trigonometri Yunani Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Buku VII concics Home Berisi sejumlah teorema yang berhubungan dengan conjugate diameter, dan proposisi baru yang berhubungan dengan diameter irisan dan bangun-bangun yang diatasnya. Materi Apollonius Salah satunya adalah : Dalam setiap elips dan hiperbola, selisih dari kuadrat sembarang dua conjugate diameter adalah sama dengan jumlah atau selisih masing-masing nya dari kuadrat sumbu-sumbu. Trigonometri Yunani Dalam buku ini juga dibuktikan bahwa apabila garis singgung pada ujung – ujung pada suatu pasangan sumbu sekawan suatu elips atau hiperbola , maka jajaran genjang yang terbentuk oleh empat garis singgung ini akan sama dengan empat persegi panjang sumbu – sumbu. Exit

Buku VIII ini merupakan lanjutan dari buku VII Sejarah Matematika Zaman Alexandria Buku VIII concics Home Materi Buku VIII ini merupakan lanjutan dari buku VII Apollonius Trigonometri Yunani Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Trigonometri Yunani Home Materi Apollonius Trigonometri Yunani Trigonometri Yunani Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius ARISTARCHUS (310 – 230 SM) Home Karyanya “On the Size and Distance of the Sun and Moon” , menyatakan : Dengan menggunakan rumus Materi Kesalahan : Apollonius Ketika bulan setengah penuh, sudut yang dibuat oleh bulan , matahari dan bumi adalah 3º Aristarchus mengambil kesimpulan : Sudut yang di buat bumi, matahari dan bulan bukanlah 3° , melainkan 10’ . Trigonometri Yunani Jarak antara bumi dan matahari lebih dari 18 kali jarak bumi dan bulan , dan lebih kecil dari 20 kali. Exit

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius HIPPARCHUS (140 SM) Dijuluki Home “Bapak Trigonometri”. Menyusun Tabel Trigonometri. Materi Kontribusi Membagi sudut lingkaran atas 360° Apollonius Trigonometri Yunani Karyanya terdiri dari 12 buku yang berhubungan dengan konstruksi tali busur Exit

Talibusur dalam lingkaran Sejarah Matematika Zaman Alexandria Minelaus (100 M) Home Teorema Minelaus Sphaerica O A C D B C D A C Talibusur dalam lingkaran Elements of Geometry B Materi Minelaus sudah mengenal persamaan yang digunakan sebagai lemma-lemma dalam membuktikan teoremanya tentang transversal-transversal. A B F Buku I Teorema Minelaus dalam bidang datar “Dua segitiga bola adalah sama dan sebangun apabila sudut sudut yang sepadan adalah sama” Pada lingkaran O. AB = 2 x sin 1 AOB x r 2 Jika BOB’ = diameter lingkaran, AB = 2 x cos 1  AOB x r Karya E C’ O D’ r Apollonius A B O D Buku II Aplikasi geometri bola untuk fenomena astronomi Lemma Pertama Apabila talibusur AB dalam lingkaran dengan pusat O dipotong oleh jari-jari OD pada titik C, maka : Trigonometri Yunani “Apabila suatu transversal memotong sisi-sisi AB, BC, dan AC pada suatu segitiga ABC masing-masingnya pada titik D, E, dan F, maka AD•BE•CF = BD•CE•AF “ Dalam segitiga bola : sin AD•sin BE•sin CF=sin BD•sin CE•sin AF B’ Buku III Jadi : (Teorema Thales dan Phytagoras) ≡ (Trigonometri modern) AB² + AB’² = 4r² ≡ sin² ѳ + cos² ѳ = 1 Teorema Minelaus tentang talibusur dalam lingkaran Sphaerica Lemma Kedua Apabila talibusur AB di perpanjang dan dipotong oleh perpanjangan OD’ di C’, maka : Exit

Mathematical Syntaxis Sejarah Matematika Zaman Alexandria PTOLEMY (150 M) Contoh : Home Mathematical Syntaxis Teorema Ptolemy Rumus Talibusur dari Setengah Busur Misal : AD = d = suatu sisi segiempat yang merupakan diameter lingkaran AD = 2r sin B → 2r•BC + AB•CD = AC•BD BD = 2A , CD = 2B Maka , BC = 2r sin (A - B) CD = 2r sin B AB = 2r sin (90° - A) BD = 2r sin A AC = 2r sin (90° - B) Mathematical Syntaxis Geography Panjang suatu sisi segibanyak beraturan dengan 720 sisi dalam lingkaran dengan jari-jari 60 unit B B Ptolemy membagi diameter lingkaran trigonometrinya menjadi 120 bagian . Masing-masing bagian dibagi menjadi 60 menit. Masing-masing menit dibagi menjadi 60 detik. Dengan menggunakan bahasa talibusur Ptolemy , dinyatakan : Geography Talibusur ½° Hanya ditemukan salinan ( Arab). Dengan menggunakan Teorema dalam buku Elements Euclid Talibusur 72° = 30√(10-2√5) = 70,536 B Materi Misal : D = titik tengah busur BC d = diameter lingkaran = AC = 2r AE = AB DF membagi dua EC sama besar (DF tegak lurus EC) Maka : FC = ½ (2r – AB) dari geometri elementer diketahui, DC² = AF•FC → DC² = r (2r – AB) misal BC = 2A → DC = 2r sin ½ A AB = 2r cos A Diperoleh : C C Apabila ABCD segiempat (cembung) yang dilukis dalam suatu lingkaran, maka AB•CD + BC•DA = AC•BD Berisi tentang tabel trigonometri dan metoda yang digunakan dalam konstruksinya. Talibusur 36° = 30(√5-1) = 37,083 Optics Hanya ditemukan salinan ( Arab dan Latin). C Apollonius Karena jari-jari lingkaran berisi 60 bagian maka talibusur dari sudut 60° juga berisi 60 bagian, dan talibusur dari 120° adalah 60√3 atau 103 bagian 55 menit 33 detik. A A E F D D d d Daftar talibusur dari ½° - 180° untuk setiap ½°, yang sama dengan daftar sinus untuk ½° - 90° untuk setiap ½° Tabel ini sangat penting bagi astronomer dan digunakan lebih dari seribu tahun. Buku I Dengan menggunakan Rumus setengan sudut Berisi tentang Fisika : Bayangan, hukum refleksi, Tabel refleksi (dari udara ke air, dari udara ke kaca dan dari air ke kaca). Talibusur 1½° = 1 34’ 15” E Karya A D Trigonometri Yunani Buku I Inti dari perhitungan tali busur Ptolemy adalah proposisi geometrik yang dikenal dengan “Teorema Ptolemy” Talibusur ¾° = 47’ 8” “Apabila suatu segitiga dilukis dalam suatu segitiga, dan apabila BD suatu tali busur yang membagi sudut ABC atas dua bagian yang sama , maka: Diperoleh (RUMUS PTOLEMY) : Sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B Sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B Cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B Cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B Teori tentang peredaran-peredaran ( cyrcle and epicycle ) planet, dikenal dengan “SYSTEM PTOLEMIK” Optics Tetrabiblos Buku XII Talibusur 1° = 1 2’ 50” Berisi tentang Matematika yang dihubungkan dengan Mistik, Agama, dan Astrologi Tetrabiblos Exit Talibusur 30’ = 31’ 25” ≡ sin 15’ = 0,00873

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Karya Heron Home Materi Apollonius Metrica Pneumatrica Geometrica Karya Heron Metrica Terkenal karena rumusnya : mendeskripsikan sekitar 100 mesin dan permainan Materi Silinder Empat Persegi Panjang B U K II B U K I Isi Kerucut Luas Bujursangkar Suatu tabulasi luas An dari segibanyak beraturan n sisi yang diukur dengan kuadrat sisi Sn. Dimulai dengan : A3 = 13/10 S3² A12 = 45/4 S12² A5 = 5/3 S5² dan 12/7 S5² Untuk heksagon : 13/5 S6 Geometrica Buku III Mencari diameter Apollonius Prisma Dioptra Trapezoida Dengan : a, b, c : sisi-sisi segitiga s : setengah jumlah ketiga sisi segitiga Segitiga Jajaran Genjang Pneumatica Luas lingkaran Berisi tentang deskripsi dan aplikasi teknik mesin Berisi tentang pembagian luas dan isi tertentu untuk mendapatkan ratio tertentu. Lingkaran dan Segmen-segmennya Kerucut Terpancung Pyramida Segi Banyak Beraturan Trigonometri Yunani C O N T H Keliling Lingkaran (perimeter) Dioptra Catoprica Bola dan Segmen Bola Permukaan Silinder Segmen Parabola Pyramida Terpancung Berisi tentang pemantulan cahaya (refleksi) Mencari sisi-sisi Segitiga siku-siku Exit Catoptrics Isi Prismatoida Permukaan Bola Kerucut Bidang Lima Beraturan

Sejarah Matematika Zaman Alexandria Home Materi Apollonius Trigonometri Yunani Exit