AKSIOMATIKA

Apakah sebenarnya hakikat matematika itu? Definisi tentang matematika yang manakah yang diterima secara mutlak selama ini?

Objek Matematika ABSTRAK FAKTA KONSEP OPERASI PRINSIP TEORI BELAJAR PIAGET, BRUNER, VYGOTSKY, AUSUBEL, MERUPAKAN SUMBER KESULITAN GURU UNTUK MENGAJARKANNYA AGAR SESUAI DENGAN PERKEMBANGAN INTELEKTUAL PESERTA DIDIK

Objek Matematika FAKTA KONSEP OPERASI PRINSIP

SIMBOL BILANGAN “3” SECARA UMUM SUDAH DIPAHAMI SEBAGAI BILANGAN “TIGA” RANGKAIAN SIMBOL “3+4” DIPAHAMI SEBAGAI “TIGA TAMBAH EMPAT”

Apakah konsep dalam Matematika itu? NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP DEFINISI KONSEP (ungkapan yang membatasi konsep) REPRESENTASI KONSEP (Wakil/contoh berupa GAMBAR, BENDA) SIMBOL (tanda) KONSEP (ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan klasifikasi atau penggolongan

NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP SIMBOL (tanda) SEGITIGA Memiliki tepat tiga ruas garis Jumlah panjang dua sisi lebih panjang dari panjang sisi ke-3 Tiga ruas garis yang dua-dua ujungnya bertemu ABC

 NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP SIMBOL (tanda) JAJARGENJANG Memiliki empat ruas garis berupa sisi-sisi berhadapan sejajar Diagonal berpotongan dua sama besar Sudut-sudut berhadapan sama besar Segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar dan sama panjang 

NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP SIMBOL (tanda) OPERASI Dapat menghasilkan elemen tunggal Memerlukan elemen yang diberi(input), semesta Aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diberi dalam semesta tertentu Operasi perkalian 4x3=3+3+3+3=12 , , +

NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP SIMBOL (tanda) FUNGSI

NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP SIMBOL (tanda) LIMIT FUNGSI

NAMA KONSEP CIRI-CIRI KONSEP (bisa banyak) DEFINISI KONSEP (Bisa banyak, harus dipilih satu yang lain dijadikan teorema) REPRESENTASI KONSEP SIMBOL (tanda) SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

PEMBENTUKAN KONSEP MATEMATIKA ► Hubungan konsep dan Nama konsep ► Jenis Konsep ► Prinsip dalam mempelajari matematika

Pengabtraksian : aktivitas atau kegiatan sehingga kita menjadi sadar atau tahu atau mengerti tentang kesamaan diantara pengalaman-pengalaman kita. Klasifikasi : kumpulan dari pengalaman-pengalaman kita berdasar dari kesamaan-kesamaan suatu obyek. Abstraksi : sejenis perubahan mental yang kekal, yang merupakan hasil dari kegiatan mengabstraksi memungkinkan kita untuk mengakui bahwa pengalaman baru memiliki kesamaan dari kelas (kelompok) yang telah terbentuk

IDE ABSTRAK YANG DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MELAKUKAN KLASIFIKASI Pengabtraksian KLASIFIKASI ABSTRAKSI KONSEP

CARA MENDAPATKAN KONSEP DENGAN LEBIH CEPAT DAPAT DILAKUKAN DENGAN MENYAJIKAN CONTOH-CONTOH YANG KONTRAS SEGITIGA

SEGITIGA

KELAS KURVA TERTUTUP SEDERHANA YANG TERSUSUN DARI TIGA SEGMEN GARIS HUBUNGAN KONSEP DAN NAMA KONSEP IDE KELAS KURVA TERTUTUP SEDERHANA YANG TERSUSUN DARI TIGA SEGMEN GARIS SEGITIGA BAHASA

KONSEP NAMA ANJING

TERORIS MEMILIKI KONSEP ? BUKAN KARENA DAPAT MENYEBUT NAMA BISA MENYEBUT TERORIS BELUM TENTU TAHU TERORIS ITU APA

MEMILIKI KONSEP DAPAT MENGKLASIFIKASI CONTOH DAN BUKAN CONTOH SEGITIGA BUKAN SEGITIGA SEGITIGA

CARA PEMBENTUKAN KONSEP MEMBERIKAN CONTOH KONSEP DAN NON CONTOH MENDENGAR, MEMBACA, MELALUI SIMBUL

2. KONSEP HASIL ABSTRAKSI KONSEP LAIN JENIS KONSEP 1. DARI SENSORI MOTOR KONSEP MERAH, BERAT, PANAS, MANIS KONSEP BILANGAN PRIMA DARI BILANGAN CACAH KONSEP KEKONTINUAN DARI KONSEP LIMIT 2. KONSEP HASIL ABSTRAKSI KONSEP LAIN

UNTUK MENYAMPAIKAN SUATU KONSEP DAPAT DILAKUKAN DENGAN MEMBERIKAN DEFINISI DARI KONSEP TERSEBUT BILANGAN YANG FAKTORNYA HANYALAH 1 DAN BILANGAN ITU SENDIRI BILANGAN PRIMA

Dua prinsip dalam mempelajari matematika: Konsep yang lebih tinggi daripada yang telah dimiliki seseorang, tidak selalu dapat disampaikan melalui suatu definisi, tetapi dengan cara mengarahkannya untuk menemukan sekelompok contoh yang sesuai. 2. Berkenaan dalam matematika konsep-konsepnya hampir selalu disusun dari konsep yang lain, yang pertama kali harus dijamin adalah konsep-konsep ini harus telah dibentuk pada pikiran siswa.

KONSEP PADA TINGKATAN YANG LEBIH TINGGI HIERARKINYA DARI YANG DIMILIKI SESEORANG MUNGKIN TIDAK DAPAT DISAMPAIKAN DENGAN DEFINISI TETAPI HARUS MELALUI CONTOH-CONTOH FUNGSI SATU-SATU FUNGSI SATU-SATU BUKAN SATU-SATU

Kesimpulan 1.Salah satu cara untuk mempercepat pembentukan konsep yaitu dengan cara memberikan contoh secara kontras. 2.Banyak pengetahuan sehari-hari yang dapat dipelajari langsung dari lingkungan , namun konsep yang demikian biasanya adalah konsep yang tidak begitu abstrak. Dalam matematika seringkali konsep tidak dapat dipelajari langsung dari lingkungan sehari-hari, namun harus dipelajari melalui ahli matematika lain baik langsung maupun tidak langsung

3. Dua prinsip dalam mempelajari matematika: a. Konsep yang lebih tinggi daripada yang telah dimiliki seseorang, tidak dapat dikomunikasikan(disampaikan) kepadanya melalui suatu definisi, tetapi dapat dikomunikasikan(disampaikan) hanya dengan cara mengarahkannya untuk menemukan sekelompok contoh yang sesuai. b.Berkenaan dalam matematika konsep-konsepnyanya hampir selalu disusun dari konsep yang lain, yang pertama kali harus dijamin adalah konsep-konsep ini harus telah dibentuk pada pikiran siswa.

KOMPONEN DEFINISI LATAR BELAKANG (INTENSI-EKSTENSI) GENUS ISTILAH YANG DIDEFINISIKAN ATRIBUT

Latar Belakang Definisi CONTOH DEFINISI-konsep trapesium dapat ditulis dengan definisi: Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar B. Segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis sejajar dengan salah satu sisinya adalah trapesium KEDUA DEFINISI INI MEMILIKI ISI KATA ATAU MAKNA KATA YANG BERBEDA TETAPI MEMPUNYAI JANGKAUAN YANG SAMA DIKATAKAN MEMILIKI “INTENSI” BERBEDA TETAPI “EKSTENSI” YANG SAMA

UNTUK MENGUJI APAKAH EKSTENSI SAMA? DIUJI DENGAN PERTANYAAN “ APAKAH TRAPESIUM MENURUT DEFINISI YANG SATU TERMASUK DALAM DEFINISI YANG KEDUA DAN SEBALIKNYA ? TEPAT SEPASANG SISI SEJAJAR

Hubungan?

CONTOH DEFINISI Sudut adalah bangun geometri yang terjadi bila dua sinar berpangkal sama mempunyai genus bangun geometri B. Sudut adalah bangun geometri yang berupa bidang yang dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama mempunyai genus bidang

KEDUANYA MEMPUNYAI ISTILAH YANG SAMA YAITU SUDUT Yang pertama, memiliki atribut DUA SINAR BERPANGKAL SAMA Yang kedua , memiliki atribut BAGIAN BIDANG DIBATASI DUA SINAR BERPANGKAL SAMA JENIS DEFINISI DEFINISI ANALITIK YAITU dengan menyebut genus proximum dan diferensia spesifika Jajargenjang adalah segiempat yang….. 2. DEFINISI GENETIK dengan menyebut terjadinya Segiempat yang terjadi jika sebarang segitiga diputar sebesar 180o terhadap titik tengah salah satu sisinya adalah jajaran genjang 3. DEFINISI DENGAN RUMUS n!=n(n-1)(n-2)…(1) , AB={x|xA dan xB}

DALAM MATEMATIKA ADA KEBEBASAN UNTUK MEMILIH MENGGUNAKAN SUATU DEFINISI NAMUN PILIHAN INI MEMBAWA KONSEKUENSI DALAM PENGERTIAN-PENGERTIAN SELANJUTNYA CONTOH SEKURANG-KURANGNYA ADA TIGA CARA MENDEFINISIKAN SUDUT SUDUT SEBAGAI: DUA SINAR DAERAH BIDANG HASIL PUTARAN BOLEH DIPILIH SALAH SATU, ASALKAN SELANJUTNYA BERMANFAAT DAN DAPAT MEMBENTUK STRUKTUR SECARA KONSISTEN

DALAM MATEMATIKA SEKOLAH DIPILIH YANG PERTAMA, JADI SUDUT ADALAH DUA SINAR YANG BERPANGKAL SAMA PILIHAN TERSEBUT MEMILIKI AKIBAT DALAM PENGERTIAN-PENGERTIAN SEGITIGA, BANGUN DATAR YANG LAIN BAHKAN DALAM PENGERTIAN BENDA RUANG, JUGA TITIK POTONG SEBUAH LINGKARAN DIPOTONG GARIS LURUS, BERAPA BANYAK TITIK POTONGNYA ?

Konsep apa saja yang terlibat?

dari beberapa konsep yang berhubungan Salah satu ukuran pemahaman konsep adalah kemampuan menyusun peta konsep dari beberapa konsep yang berhubungan

Bisa dibuat hubungan lebih lanjut?

Peta Konsep segiempat II: Belahketupat Segiempat TRAPESIUM Layang-layang Jajargenjang Persegi Persegipanjang Peta Konsep segiempat II:

Peta Konsep Segitiga I: Peta Konsep Segitiga II: samakaki samasisi

Peta Konsep Segitiga III: tumpul Siku-siku lancip tumpul samakaki siku-siku samakaki lancip samakaki lancip samasisi

Perlukah pola pikir deduktif dalam matematika?

?

AKSIOMA Apa itu?

Postulates Common notions 1. It is possible to draw a straight line from any point to any other point. 2. It is possible to produce a finite straight line continuously in a straight line. 3. It is possible to describe a circle with any center and any radius. 4. It is true that all right angles are equal to one another. 5. ("Parallel postulate") It is true that, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, intersect on that side on which are the angles less than the two right angles. Common notions 1. Things which are equal to the same thing are also equal to one another. 2. If equals be added to equals, the wholes are equal. 3. If equals be subtracted from equals, the remainders are equal. 4. Things which coincide with one another are equal to one another. 5. The whole is greater than the part.

The Peano axiomatization of natural numbers The mathematical system of natural numbers 1, 2, 3, 4, ... is based on an axiomatic system that was first written down by the mathematician Peano in 1901. He chose the axioms (see Peano axioms), in the language of a single unary function symbol S (short for "successor"), for the set of natural numbers to be: 1. There is a natural number 0. 2. Every natural number a has a successor, denoted by Sa. 3. There is no natural number whose successor is 0. 4. Distinct natural numbers have distinct successors: if a ≠ b, then Sa ≠ Sb. 5. If a property is possessed by 0 and also by the successor of every natural number it is possessed by, then it is possessed by all natural numbers.

aksioma yang “self evident truth” dan yang “non-self evident truth” Dalam matematika dikenal beberapa klasifikasi aksioma. Berikut ini diperkenalkan dua cara klasifikasi, yakni: aksioma yang “self evident truth” dan yang “non-self evident truth” aksioma “material”, “formal” dan “diformalkan”.

(a,b,c,d,p,q,r, dan s dalam semesta S Apakah kumpulan aksioma berikut membentuk sistem ? a+b=p a+b+c+d=r c+d=q p+q=s (a,b,c,d,p,q,r, dan s dalam semesta S

Teorema

TEOREMA KOMPONEN TEOREMA Latar Belakang Hipotesis Konsekuen (pernyataan yang diturunkan dari aksioma atau teorema terdahulu dan dapat dibuktikan kebenarannya) Bentuk lain : Lemma, Corollary, Kriteria KOMPONEN TEOREMA Latar Belakang Hipotesis Konsekuen SUATU TEOREMA UMUMNYA BERBENTUK IMPLIKASI yang secara simbolik dapat ditulis a  b

SIFAT-SIFAT INTEGRAL REIMANN

Contoh Aksioma-Teorema

Teorema?