Teori antrian Manajemen Operasional NOTE: To change the image on this slide, select the picture and delete it. Then click the Pictures icon in the placeholder to insert your own image. Manajemen Operasional Jurusan Manajemen, Fakultas Ekonomi, Universitas Islam Malang (UNISMA) Oleh: Fauziah, SE., MM

ANTRIAN Antrian timbul karena orang/sesuatu material/bahan tiba di suatu fungsi service atau pelayanan/proses produksi lebih cepat dibandingkan waktu mereka dilayani Hal ini terjadi karena konsumen datang dalam rentang waktu yang tidak tentu dan waktu pelayanan setiap konsumen juga tidak konstan. Sehingga antrian secara kontinuitas menjadi bertambah dan berkurang panjangnya dan kadang-kadang kosong dalam jangka panjang sesuai dengan frekuensi kedatangan konsumen yang tidak tentu/acak (random).

STRUKTUR SISTEM ANTRIAN 1 2 3 Garis tunggu atau antrian Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian Pelanggan keluar dari sistem n Fasilitas pelayanan Sistem antrian

ANALISIS ANTRIAN Waktu Rerata dalam Sitem (W ) Waktu Tunggu Rerata dalam Antrian (Wq ) Pelayanan Rerata kedatangan ( Jumlah Rerata dalam Antrian (Lq ) Laju ( Waktu Rerata dalam Sitem (W ) Jumlah Rerata dalam Sistem (L )

CONTOH SISTEM ANTRIAN Sistem Antrian/Garis Tunggu Fasilitas Pelayanan Lapangan terbang Pesawat menunggu di landasan Landasan pacu Bank Nasabah (orang) Kasir/teller Pencucian mobil Mobil Tempat pencucian mobil Bongkar muat barang Kapal dan truk Fasilitas bongkar muat Sistem komputer Program komputer CPU, printer, dll Bantuan pengobatan darurat Orang Ambulance Perpustakaan Member Pegawai perpustakaan Registrasi mahasiswa Mahasiswa Pusat registrasi Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Pengadilan

KOMPONEN SISTEM ANTRIAN Ukuran Populasi Kedatangan Tak terbatas (essentially infinite) Terbatas (finite) Pola kedatangan pada sistem Terjadwal Secara acak  distribusi Poisson Disiplin pelayanan First Come First Served (FCFS) Shortest Processing Time (SPT) Priority (jobs are in different priority classes) Fasilitas pelayanan Single channel Multiple channel

DESAIN SISTEM ANTRIAN Sistem Jalur Tunggal, Satu Tahap Kedatangan Antrian Fasilitas Pelayanan Keberangkatan Setelah Pelayanan Sistem Jalur Tunggal, Tahapan Berganda Kedatangan Antrian Fasilitas Pelayanan Tahap 1 Fasilitas Pelayanan Tahap 2 Keberangkatan Setelah Pelayanan

DESAIN SISTEM ANTRIAN Sistem Jalur Berganda, Satu Tahap Kedatangan Fasilitas Pelayanan Keberangkatan Setelah Pelayanan

DESAIN SISTEM ANTRIAN Sistem Jalur Berganda, Tahapan Berganda Kedatangan Antrian Fasilitas Pelayanan Tahap 1 Fasilitas Pelayanan Tahap 2 Keberangkatan Setelah Pelayanan

NOTASI DALAM ANALISIS SISTEM ANTRIAN n = Jumlah pelanggan dalam sistem. ‘ Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem. λ = Jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu. µ = Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu. po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem. P = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan. L = Jumlah rata-rata pelangan yang diharapkan dalam sistem. Lq = Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian. W = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem. Wq = Waktu yang diharapkan pelanggan selama menunggu dalam antrian. 1/µ = Waktu rata-rata pelayanan. 1A = Waktu rata-rata antar kedatangan. s = Jumlah fasilitas pelayanan.

Model antrian: single channel model (m/m/1)

ASUMSI M/M/1 Populasi input tidak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS Hanya ada satu fasilitas layanan dan Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ < μ) Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

RUMUS MODEL ANTRIAN M/M/1 Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu system antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani) atau Probabilitas bahwa pelayan menganggur Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan dilayani) Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani

CONTOH SOAL Kasus Pompa Bensin (SPBU) PT SGT mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang operator yang bernama John, Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan yaitu 20 kendaraan/mobil per jam. John dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam. Hitunglah soal-soal berikut ini untuk John: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p). Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan). Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian.

PENYELESAIAN Dari kasus SPBU, diketahui λ = 20 dan µ = 25 Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan atau p p = λ / μ = 20/25 = 0.80 Angka tersebut menunjukkan bahwa John akan sibuk melayani mobil selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya atau (1 - p) atau (1 - 0,80) yang sering disebut idle time akan digunakan John untuk istirahat, membersihkan pompa dan lain-lain. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam system (L) L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4 Angka 4 menunjukkan bahwa John dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem.

PENYELESAIAN Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian Angka tersebut menunjukkan bahwa, mobil yang menunggu untuk dilayan dalam antrian sebanyak 3 kendaraan. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit. Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2 -- 3

Model antrian: multi channel model (m/m/s)

MULTI CHANNEL MODEL (M/M/s) Dasar yang digunakan dalam multiple-channel model adalah sistem (M/M/s). Perbedaannya dengan single-channel model adalah terletak pada jumlah fasilitas pelayanan. Dalam multiple-channel model, fasilitas pelayanan yang dimiliki lebih dari satu. Huruf (s) yang terdapat dalam sistem (M/M/s) menyatakan jumlah fasilitas pelayanan.

ASUMSI M/M/s Populasi input tidak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS Ada beberapa fasilitas pelayanan (S) Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ < sμ) Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

RUMUS MODEL ANTRIAN M/M/s Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani

CONTOH SOAL Sebuah rumah sakit memiliki sebuah ruang gawat darurat (RGD) yang berisi tiga bagian ruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan memiliki satu orang dokter dan satu orang jururawat. Secara rata-rata seorang dokter dan jururawat dapat merawat 5 orang pasien per jam. A Rata-rata tingkat kedatangan pasien yaitu 12 pasien per jam. Dan diketahui Po = 0,20

PENYELESAIAN

PENYELESAIAN Pasien menunggu dalam sistem selama 0,968*60 = 58 menit Rata-rata pasien menunggu antrian selama 0,768*60 = 46 menit Pasien menunggu dalam sistem selama 0,968*60 = 58 menit Pihak rumah sakit mengharapkan 12 pasien berada di sistem

BIAYA MINIMUM ANTRIAN

MODEL BIAYA MINIMUM Persamaan biaya total per jam sebagai berikut: TC = SC + WC Keterangan: TC : total biaya per jam, SC : biaya pelayanan per jam, WC : biaya menunggu per jam per pelanggan. Jika biaya menunggu per jam per pelanggan adalah Cw dan rata-rata pelanggan menghabiskan waktunya: W jam dalam sistem, maka rata-rata biaya menunggu per pelanggan adalah WCw. Jika tingkat rata-rata kedatangan pelanggan per jam adalah λ, maka dengan persamaan L = λW, maka total biaya menunggu per jam adalah:  WC = λ(WcW) = (λW)cw = Lcw

CONTOH SOAL Masalah Bongkar Muat Barang Sebuah perusahaan membeli bahan dari berbagai sumber. Bahan diangkut dengan menggunakan truk dan rata-rata setiap hari menerima kedatangan satu truk. Pembongkaran dilakukan oleh sekelompok tenaga kerja baik langsung maupun tidak. Jumllah minimal anggota kelompok kerja adalah 2 orang Kelompok tenaga kerja memiliki (n) anggota dan dapat membongkar 0,8n truk per hari. Biaya yang harus dikeluarkan ketika truk ditahan karena sedang melakukan pembongkaran sebesar Rp. 300.000,00. Setiap pekerja yang bertugas melakukan pemuatan menerima upah sebesar Rp. 105.000,00 per hari. Tentukan jumlah optimum anggota kelompok kerja.

PENYELESAIAN Model antrian yang digunakan adalah sistem (M/M/1) dengan λ = 1 truk per hari. Tingkat pelayanan µ = 0,8n, di mana n = jumlah anggota kelompok kerja. Persoalannya adalah menentukan nilai n agar total biaya per hari minimum. Jika terdapat n pekerja dalam satu kelompok, maka biaya pelayanan adalah SC = 105.000n (Rp/hari). Maka biaya menunggu per hari: Cw = 300.000 (Rp/hari/truk), Persamaan total biaya:

PENYELESAIAN Persamaan total biaya di atas adalah total biaya per hari, sedangkan TC adalah fungsi dari variabel (n). Oleh karena itu kita harus menentukan (n) untuk meminimumkan TC. Dalam pembahasan ditentukan bahwa paling sedikit menggunakan 2 pekerja dalam kelompok kerja. Jumlah tenaga kerja optimum dalam kelompok kerja adalah sebanyak 3 orang pekerja, karena biaya paling rendah.

Soal Suatu rental komputer mempunyai tiga pengetik. Setiap pengetik dapat mengetik rata-rata 6 surat/jam. Jika surat-surat yang masuk rental tersebut sebanyak 15 surat/jam, tentukan: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan? Jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam antrian? Jumlah surat yang diharapkan menunggu dalam sistem? Waktu yang diharapkan oleh setiap surat selama dalam antrian ? Waktu yang diharapkan oleh setiap surat untuk menunggu dalam sistem?

Jawaban Soal Diketahui: λ = 15, μ = 6, s=3 p = λ / sμ = 15/(3)(6) = 0.833 Bahwa para pengetik akan sibuk mengetik surat selama 83,3% dari waktunya, = 3,5113 jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam antrian adalah sebanyak 3,5113 3. = 6,01124 jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam sistem adalah sebanyak 6,01124

Jawaban Soal = 0,2341 dimana = 0,04494 Jadi waktu rata-rata surat menunggu dalam antrian selama 0,2341 jam

Jawaban Soal = 0,2341 + (1/6) = 0,40075 Jadi waktu rata-rata surat menunggu dalam sistem selama 0,40075 jam

TUGAS KELOMPOK SISTEM ANTRIAN Observasi ke perusahaan yang menerapkan sistem antrian Tentukan model antrian yang ada Hitung data antrian yang ada Buat rekomendasi kepada perusahaan