REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR

HUBUNGAN LEBIH DARI DUA VARIABEL REGRESI LINEAR BERGANDA Apabila terdapat lebih dari dua variabel, maka hubungan linear dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linear berganda sebagai berikut : Y’= b0 + b1X1 + b2X2 + . . . + bkXk Disini ada satu variabel tidak bebas, yaitu Y’ dan ada k varibel bebas, yaitu X1, . . . , Xk

b0 n + b1 X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Y Untuk menghitung b0, b1, b2, . . . , bk kita gunakan metode kuadrat terkecil yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut : b0 n + b1 X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2  X1X2 + . . . + bk  X1Xk = X1Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2  X2X2 + . . . + bk  X2Xk = X2Y . . . . . b0 Xk + b1 X1 Xk + b2  X2Xk + . . . + bk  XkXk = XkY

Kalau persamaan ini dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1, b2, Kalau persamaan ini dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1, b2, . . . , bk. Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi linear berganda. Apabila persamaan regresi itu telah diperoleh, barulah kita dapat meramalkan nilai Y dengan syarat kalau nilai X1, X2, . . . ., Xk sebagai variabel bebas sudah diketahui. Misalkan: k =2, maka Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, satu variabel tak bebas(Y), dan dua variabel bebas (X1 dan X2), maka b0, b1, dan b2 dihitung dari persamaan normal berikut :

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut : b0 n + b1 X1 + b2 X2 = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2  X1X2 = X1Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2  X2X2 = X2Y Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut :

Variabel b dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : Dimana :

det(A) = (n) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2) + (X1X2) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (X1) det(A0) = (Y) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2Y) + (X2) (X1Y) (X1X2) – (X2Y) (X1X1) (X2) – (X1X2) (X1X2) (Y) – (X2X2) (X1Y) (X1)

det(A1) = (n) (X1Y) (X2X2) + (Y) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X2Y) – (X2) (X1Y) (X2) – (X2Y) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (Y)

det(A2) = (n) (X1X1) (X2Y) + (X1) (X1Y) (X2) + (Y) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (Y) – (X1X2) (X1Y) (n) – (X2Y) (X1) (X1)

Tabel 8.2 Y X1 X2 X1Y X2Y X1X2 Y2 X12 X22 23 10 7 230 161 70 529 100 49 2 3 14 21 6 4 9 15 60 30 8 225 16 17 102 68 24 289 36 184 138 48 64 22 5 154 110 35 484 25 40 12 84 42 18 196 20 140 80 28 400 19 114 57 361

Persamaan normal adalah sbb : b0 n + b1 X1 + b2 X2 = Y 10 b0 60 b1 40 b2 170 b0 X1 + b1 X1 X1 + b2  X1X2 = X1Y 60 b0 406 b1 267 b2 1.122 b0 X2 + b1 X1 X2 + b2  X2X2 = X2Y 40 b0 267 b1 182 b2 737 b0 = 3,92 b1= 2,50 b2= -0,48 Y = 3,92 + 2,50 X1 – 0,48 X2

Korelasi Berganda : Apabila kita mempunyai tiga variabel Y, X1, X2, maka korelasi X1 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

Korelasi X2 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :

Korelasi X1 dan X2 digambarkan dengan rumus berikut :

Kalau kita ingin mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya (misalnya antara Y dengan X1 dan X2), maka kita harus menggunakan suatu koefisien korelasi yang disebut koefisien korelasi linear berganda (KKLB) yang rumusnya adalah sebagai berikut :

Apabila KKLB dikuadratkan, maka akan diperoleh koefisien penentuan (KP), yaitu suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan dari beberapa variabel X terhadap variasi (naik-turunnya) Y. Kalau Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, KP mengukur besarnya sumbangan X1 dan X2 terhadap variasi, atau naik turunnya Y. Apabila dikalikan dengan 100% akan diperoleh persentase sumbangan X1 dan X2 terhadap naik-turunnya Y.

Koefisien Korelasi Parsial : Kalau variabel Y berkorelasi dengan X1 dan X2, maka koefisien korelasi antara Y dan X1 (X2 konstan), antara Y dan X2 (X1 konstan), dan antara X1 dan X2 (Y konstan) disebut Koefisien Korelasi Parsial (KKP)

Koefisien korelasi parsial X1 dan Y, kalau X2 konstan

Koefisien korelasi parsial X1 dan X2, kalau Y konstan

TREND PARABOLA Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi di mana variabel bebas X merupakan variabel waktu. Baik garis regresi maupun trend dapat berupa garis lurus maupun tidak lurus. Persamaan garis trend parabola adalah sebagai berikut : Y’ = a + bX + cX2

Perhatikan bahwa bentuk persamaa seperti persamaan garis regresi linear berganda adalah Y’ = b0 + b1X1 + b2X2 di mana b0 = a, b1 = b, b2 = c, X1 = X, dan X2 = X2 Dengan demikian cara menghitung koefisien a, b, dan c sama seperti menghitung b0, b1, dan b2, yaitu menggunakan persamaan normal sebagai berikut :

a n + b X + c X2 = Y a X + b X2 + c X3 = XY a X2 + b X3 + c X4 = X2Y

n = ganjil  ada 0 (nol) Tabel 8.4 n = genap tdk ada 0 Tahun X Y X2 1989 -5 23,2 25 -125 625 -116,0 580,0 1990 -4 31,4 16 -64 256 -125,6 502,4 1991 -3 39,8 9 -27 81 -119,4 358,2 1992 -2 50,2 4 -8 -100,4 200,8 1993 -1 62,9 1 -62,0 1994 76,0 1995 92,0 1996 2 105,7 8 211,4 422,8 1997 3 122,8 27 368,4 1.105,2 1998 131,7 64 526,8 2.107,2 1999 5 151,1 125 755,5 3.777,5 Jumlah

Tabel 8.6 Tahun X Y X2 X3 X4 XY X2Y (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1994 -5 2 25 -125 625 -10 50 1995 -3 5 9 -27 81 -15 45 1996 -1 8 1 -8 1997 15 1998 3 26 27 78 234 1999 37 125 185 925 Jumlah

TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA) Ada beberapa jenis trend yang tidak linear tetapi dapat dibuat linear dengan jalan melakukan transformasi (perubahan bentuk). Misalnya, trend eksponensial : Y’ = abx dapat diubah menjadi trend semi log: log Y’ = log a + (log b)X; log Y’ = Y’0 ; log a = a0 dan log b = b0. Dengan demikian, Y’0 = a0 + b0X, dimana koefisien a0 dan b0 dapat dicari berdasarkan persamaan normal.

TREND EKSPONENSIAL YANG DIUBAH Bentuk Y’ = abx dapat dikonversi dengan jalan menambahkan bilangan konstan k. Dengan demikian, persamaan menjadi: Y’ = k + abx Tergantung pada nilai a dan b, maka bentuk kurva Y’ = k + abx dapat berubah-ubah.

Oleh karena bentuk trend (regresi) eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan bentuk linear dengan jalan transformasi, maka untuk memperkirakan atau menghitung nilai koefisien a dan b tidak dapat digunakan metode kuadrat terkecil. Jadi disini harus dipergunakan cara lain, yaitu dengan memilih beberapa titik. Caranya adalah sebagai berikut :

Y k X 0 2 4

Kita peroleh tiga titik, yaitu : X = 0, X = 2, X = 4 Y1 = k + ab0 = k + a Y2 = k + ab2 Y3 = k + ab4 Dalam 3 persamaan diatas terdapat 3 bilangan konstan yang tidak diketahui, yaitu k, a, dan b. Dengan melakukan pemecahan terhadap persamaan diatas, kita peroleh:

Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3 bukan 2 tahun, akan tetapi t tahun, maka rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah sebagai berikut:

TREND LOGISTIK Trend logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang menggambarkan perkembangan/pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali, tetapi lambat laun agak lambat, dimana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai mencapai suatu titik jenuh.

Bentuk trend logistik misalnya sebagai berikut : Bilangan konstan k, a, dan b dapat dicari dengan cara seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu memilih beberapa titik.

Kita pilih 3 titik T1, T2, T3 dengan nilai (X = 0; Y0), (X = 2; Y2), dan (X = 4; Y4). Setelah nilai X dimasukkan ke persamaan trend logistik, kita dapat mencari persamaan untuk T sebagai berikut.

Dari 3 persamaan tersebut diatas, dapat kita peroleh pemecahan yang memberikan nilai b, a, dan k, sebagai berikut :

Pada umumnya, kalau titik yang diambil berjarak t tahun, maka.

TREND GOMPERTZ Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu. Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut : Di mana k, a, dan b konstan.

Kalau diambil lognya, log Y’ = log k + (log a)(bx). Selanjutnya kalau log Y’ = Y0; log k = k0 dan log a = a0, maka bentuknya menjadi Y’0 = k0 + a0bx, sama seperti trend eksponensial yang diubah.